六年级数学上册概念知识点整理人教版.docx
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六年级数学上册概念知识点整理人教版
六年级数学上册概念知识点整理（人教版）
第一单元分数乘法
一、分数乘法
（一）分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同.都是求几个相同加数的和的简便运算.
例如：
×5表示求5个
的和是多少,也表示
的5倍是多少.
2、一个数乘分数是求一个数的几分之几是多少.
例如：
×
表示求
的
是多少.
（二）分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：
分子与整数相乘的积做分子，分母不变.（整数和分母约分）
2、分数与分数相乘：
用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母.
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算.
注意：
当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算.
4、分数连乘的计算方法：
先约分，就是把所有的分子中可与分母相约的数先约分，再用分子乘分子作积的分子，分母乘分母作积的分母.
（三）、乘法规律：
（乘法中比较大小时）
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数.
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数.
一个数（0除外）乘1，积等于这个数.
（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同.
速记歌谣：
先乘除后加减，有了括号先算里，同级运算从左起，简便方法不忘记.
（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用.
乘法交换律：
ab=ba
乘法结合律：
（ab）c=a（bc）
乘法分配律：
（a+b）c=ac+bc
二、分数乘法的解决问题
（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）
1、画线段图：
（1）两个量的关系：
画两条线段图；
（2）部分和整体的关系：
画一条线段图.
2、找单位“1”：
一般在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面
3、求一个数的几倍：
一个数×几倍；求一个数的几分之几是多少：
一个数×
.
4、写数量关系式技巧：
（1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
（2）分率前是“的”：
单位“1”的量×分率=对应量（比较量）
（3）分率前是“多或少”：
单位“1”的量×（1
分率）=对应量（比较量）
三、倒数
1、倒数的意义：
乘积是1的两个数互为倒数.
强调：
互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在.
（要说清谁是谁的倒数）.
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：
交换分子分母的位置.
（2）、求整数的倒数：
把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置.
（3）、求带分数的倒数：
把带分数化为假分数，再求倒数.
（4）、求小数的倒数：
把小数化为分数，再求倒数.
3、1的倒数是1；0没有倒数.因为1×1=1；0乘任何数都得0，
（分母不能为0）
4、对于任意数
，它的倒数为
；非零整数
的倒数为
；分数
的倒数是
；
5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1.
第二单元位置与方向
1、位置与方向三要素：
方向、角度、距离.
方向：
上北下南，左西右东.
2、位置的相对性：
方向相反，角度相同，距离相等.
例如：
小明站在小华东偏南300方向200米处，那么小华站在小明西偏北300方向200米处.
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义：
乘法：
因数×因数=积除法：
积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算.
例如：
÷
表示已知两个因数的积是
，其中一个因数是
，求另一个因数是多少.
2、分数除法计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数.（甲数除以乙数（0除外），等于乘乙数的倒数）
例如：
÷
＝
×
3、除法规律（分数除法比较大小时）：
（1）、当除数大于1，商小于被除数；
（2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；
（3）、当除数等于1，商等于被除数.
4、“
”叫做中括号.一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的.
二、分数除法解决问题
（未知单位“1”的量（用除法）：
已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量.）
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”：
单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思：
单位“1”的量×（1
分率）=分率对应量
2、解法：
（建议：
最好用方程解答）
（1）方程：
根据数量关系式设未知量为X，用方程解答.
（2）算术（用除法）：
对应量÷对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几：
比较量÷单位“1”的量=分率
4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：
两个数的相差量÷单位“1”的量=多（少）的分率
或：
①求多几分之几：
大数÷小数–1
②求少几分之几：
1-小数÷大数
三、工程问题
用“1”表示工作总量，用
表示工作效率，用工作总量÷工作效率求出工作时间.
数量关系：
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作时间＝工作效率工作总量÷工作效率＝工作时间
第四单元比和比的应用
（一）、比的意义
1、比的意义：
两个数相除又叫做两个数的比.
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项.比的前项除以后项所得的商，叫做比值.比的后项不能为0，因为比的后项相当于除法中的除数，除数不能为0.
例如15：
10=15÷10=
（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）
∶∶∶∶
前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系.也可以表示两个不同量的比，得到一个新量.例：
路程÷速度=时间.
4、求比值的方法：
用比的前项除以比的后项.
5、区分比和比值
比：
表示两个数的倍数关系，有前项和后项
比值：
相当于商，是一个数，可以是整数、分数、或小数，不带单位名称.
6、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式.例如3：
2也可以写成
，仍读作“3:
2”.
7、 比和除法、分数的联系：
比
前项
比号“：
”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷”
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
8、比和除法、分数的区别：
除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的倍数关系.
9、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0.
体育比赛中出现两队的分是2：
0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系.
（二）、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变.
分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变.
比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变.
2、最简整数比：
比的前项和后项都是整数，并且是互质数（只有公因数1），这样的比就是最简整数比.
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比（最简比）.
依据
比的
基本
性质：
4.化简比：
①整数比：
用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数.
（1）②分数比：
用前项后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比，再化成最简比.
③小数比：
前项后项同时扩大相同的倍数，化成整数比，再化成最简比.
（2）用求比值的方法.
如：
15∶10=15÷10=
=3∶2
5、求比值与化简比的区别
求比值：
用前项除以后项，结果是一个数；化简比：
依据比的基本性质，前项后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），结果是一个最简比.
6、路程相同，速度比和时间比成反比.（如：
路程相同，速度比是4：
5，时间比则为5：
4）
工作总量相同，工作效率和工作时间成反比.
（如：
工作总量相同，工作时间比是3：
2，工作效率比则是2：
3）
（三）比的应用题
1、求每份数的方法
和÷总份数=每份数相差数÷相差份数=每份数部分数÷对应份数=每份数
2、图形求比的常见公式
长方体：
（长+宽+高）的和=棱长和÷4长方形：
（长+宽）的和=周长÷2
3、相遇问题
速度和=路程÷相遇时间
4、按比例分配：
把一个数量按照一定的比来进行分配.这种方法通常叫做按比例分配.
按比例分配应用题的结构特征：
已知总数和各部分数的比，求各部分数.
方法与步骤：
1、根据比先求出总份数.
2、求出各部分数占总数的几分之几.
3、运用分数乘法列式计算，求出各部分数.
4、答题并检验.
第五单元圆
一、认识圆
1、圆的定义：
圆是由曲线围成的一种封闭图形.
2、圆心：
将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心.
一般用字母O表示.
3、半径：
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径.一般用字母r表示.
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径.
4、直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.一般用字母d表示.
直径是一个圆内最长的线段.
5、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径.所有的半径都相等，所有的直径都相等.
6、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的
.
用字母表示为：
d＝2r或r＝
d
7．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形.
折痕所在的这条直线叫做对称轴.
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴.这些图形都是轴对称图形.
10、只有1一条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆.
只有2条对称轴的图形是：
长方形
只有3条对称轴的图形是：
等边三角形
只有4条对称轴的图形是：
正方形;
有无数条对称轴的图形是：
圆、圆环.
二、圆的周长
1、圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长.用字母C表示.
2、圆周率实验：
（1）绳测法：
用绳子绕圆一圈，拉直后用直尺量出长度即求出圆的周长.
（2）滚动法：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长.
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）.圆的周长总是它直径的3倍多一些.
3．圆周率：
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率.
用字母π（pai）表示.圆周率π是一个无限不循环小数.在计算时，一般取π≈3.14.
（1）在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍或3倍多一些.
（2）世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之.
4、圆的周长公式：
C=πdd=C÷π
或C=2πrr=C÷π÷2
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长.
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽.
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1）周长的一半：
等于圆的周长÷2计算方法：
2πr÷2即
C=πr
（2）半圆的周长：
等于圆的周长的一半加直径.计算方法：
C半圆=πd÷2＋d
C半圆=πr＋2r
三、圆的面积
1、圆的面积：
圆所占平面的大小叫做圆的面积.用字母S表示.
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形.顶点在圆心的角叫做圆心角.
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想：
体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体.
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形.
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系.
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为：
长方形面积=长×宽
所以：
圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
S圆=πr×r=πr2
圆的面积公式：
S圆=πr2r2=S÷π
圆的面积公式：
S=πr2÷2或S=
πr2
圆的面积公式：
S=πr2÷4或S=
πr2
4、环形的面积：
（环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差）
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r.（R＝r＋环的宽度．）
S环=πR²－πｒ² 或
环形的面积公式：
S环=π（R²－ｒ²）.
求环形的面积，一定要先想法分别求出外圆的半径（R）和内圆的半径（r）
再代入公式计算.一步一步的来，这样不容易错误.注意用公式S环=π（R²－ｒ²）
计算时，要先算出2个平方数，再相减.切忌相减后再平方.
5、扇形的面积计算公式：
S扇=πr2×
（n表示扇形圆心角的度数）
6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数.
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍.例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍.
7、两个圆：
半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方.例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：
4∶π
圆的周长是直径的π倍，圆的周长与直径的比是π：
1
圆的周长是半径的2π倍，圆的周长与半径的比是2π：
1
9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小.反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短.
10、周长计算公式：
知道半径求周长：
C=2πr知道直径求周长：
C=πd
已知周长：
D=C÷π圆周长的一半：
周长（曲线）
半圆的周长：
周长+直径C=πr＋2r
面积计算公式：
（无论是知道直径或者周长，都应该先求出半径，再求面积）
知道半径求面积：
S=πr2知道直径求面积：
S=π（d÷2）2
知道周长求面积：
S=π（C÷π÷2）2
11、确定起跑线：
（1）每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度.
（2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度.（因此起跑线不同）
（3）每相邻两个跑道相隔的距离是：
2×π×跑道的宽度
（4）当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米.
12、常用各π值结果：
π=3.14
2π=6.28
3π=9.42
5π=15.7
6π=18.84
7π=21.98
9π=28.26
10π=31.4
16π=50.24
36π=113.04
64π=200.96
96π=301.44
4π=12.568π=25.1225π=78.5
13、常用平方数结果
=121
=144
=169
=196
=225
=256
=289
=324
=361
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：
表示一个数是另一个数的百分之几.
百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比.
百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”，百分数后面不能带单位名称.
2、千分数：
表示一个数是另一个数的千分之几.
3、百分数和分数的主要联系与区别：
（1）联系：
都可以表示两个量的倍比关系.
（2）区别：
①、意义不同：
百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位.
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数.
③、百分数的读法和分数的读法大体相同，也是先读分母，后读分子，但要注意读百分数的分母时，不能读成一百分之几，而只能读作“百分之几”
4、百分数的写法：
通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示.
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：
把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号.
2.百分数化成小数：
把小数点向左移动两位，同时去掉百分号.
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数.
2、分数化成百分数：
①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式.
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数.
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
=0.5=50%
=0.2=20%
=0.625=62.5%
=0.25=25%
=0.4=40%
=0.125=12.5%
=0.75=75%
=0.6=60%
=0.375=37.5%
=0.0625=6.25%
=0.8=80%
=0.875=87.5%
=0.04=4﹪
=0.08=8﹪
=0.12=12﹪
=0.16=16﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
①合格率=
②发芽率=
③出勤率=
④达标率=
⑤成活率=
⑥出粉率=
⑦烘干率=
⑧含水率=
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%.（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%.）
2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”：
单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思：
单位“1”的量×（1
分率）=分率对应量
3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”.
解法：
（建议：
最好用方程解答）
（1）方程：
根据数量关系式设未知量为X，用方程解答.
（2）算术（用除法）：
分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：
两个数的相差量÷单位“1”的量×100%或：
1求多百分之几：
（大数÷小数–1）×100%
②求少百分之几：
（1-小数÷大数）×100%
（二）、折扣
1、折扣：
商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣.通称“打折”.
几折就表示十分之几，也就是百分之几十.例如八折=
=80﹪,六折五=0.65=65﹪
2、 一成是十分之一，也就是10%.三成五就是十分之三点五，也就是35%
几成”就是十分之几，也就是百分之几十.如：
五成表示（）%
“折扣”表示某种商品降价的幅度.如：
75折就表示现价是原价（）%
（三）、纳税
1、纳税：
纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家.
2、纳税的意义：
税收是国家财政收入的主要来源之一.国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业.
3、应纳税额：
缴纳的税款叫做应纳税额.
4、税率：
应纳税额与各种收入的比率叫做税率.
5、应纳税额的计算方法：
应纳税额=总收入×税率
（四）利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法.
2、储蓄的意义：
人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入.
3、本金：
存入银行的钱叫做本金.
4、利息：
取款时银行多支付的钱叫做利息.
5、利率：
利息与本金的比值叫做利率.
6、利息的计算公式：
利息＝本金×利率×时间
7、注意：
如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）
8、本息=本金+利息
第七单元统计
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系.
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）.
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：
可以清楚的看出各种数量的多少.
2、折线统计图：
不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况.
3、扇形统计图：
能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系.
三、扇形的面积大小：
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大.（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比.）
补充内容
一、数对
1、用数对确定点的位置，如（3，5）表示：
（第三列，第五行）
几列几行
↓↓
竖排叫列 横排叫行
一般（从左往右看）（从前往后看）
2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述.
3、图形左、右平移：
行不变图形上、下平移：
列不变
二、“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题的特点：
题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量.
“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、猜测法
2、假设法
（1）假如都是兔
（2）假如都是鸡
（3）古人“抬脚法”：
解答思路：
假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”.这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半.这种思维方法叫化归法.关系式：
鸡兔总脚数÷2-鸡兔总数=兔的只数；鸡兔总数-兔的只数=鸡的只数.
3、列方程法
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