第一章集合与常用逻辑用语11集合的概念.docx
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第一章集合与常用逻辑用语11集合的概念
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
课时作业1 集合的概念
知识点一集合的概念
1.下列对象能组成集合的是（ ）
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
答案 C
解析 对于A，“著名”无明确标准；对于B，“快”的标准不确定；对于D，“高”的标准不确定，因而A，B，D均不能组成集合．而对于C，上海市的中学生是确定的，能组成集合．
2．由实数－a，a，|a|，
所组成的集合最多含有的元素个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案 B
解析 当a＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a≠0时，
＝|a|＝
所以组成的集合中有两个元素，故选B.
知识点二元素与集合的关系
3.给出下列关系：
①
∈R；②
∉Q；③|－3|∉N；④|－
|∈Q；⑤0∉N.其中正确的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案 B
解析 ①②正确；③④⑤不正确．
4．集合A中的元素x满足
∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
答案 0,1,2
解析 ∵
∈N，x∈N，∴当x＝0时，
＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，
＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，
＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x＞3时，
＜0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.
知识点三集合中元素特性的应用
5.已知集合A由a，a＋b，a＋2b三个元素组成，B由a，ac，ac2三个元素组成，若集合A与集合B相等，求实数c的值．
解 分两种情况进行讨论．
①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0.
当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0.所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，不符合题意．
②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0.
由①知a≠0，所以2c2－c－1＝0，即（c－1）（2c＋1）＝0.
解得c＝－
或c＝1（舍去），当c＝－
时，
经验证，符合题意．
综上所述，c＝－
.
易错点忽视集合中元素的互异性致误
6.方程x2－（a＋1）x＋a＝0的解集中含有几个元素？
易错分析 本题产生错误的原因是没有注意到字母a的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
正解 x2－（a＋1）x＋a＝（x－a）（x－1）＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a.
若a＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a≠1，则方程的解集中含有两个元素1，a.
一、选择题
1．下列各组对象中不能构成集合的是（ ）
A．正三角形的全体
B．所有的无理数
C．高一数学第一章的所有难题
D．不等式2x＋3>1的解
答案 C
解析 因为A，B，D三项可以确定其元素，而C中难题的标准无法确定．因此选C.
2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是（ ）
A．5B．6
C．7D．8
答案 C
解析 根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.
3．已知x，y都是非零实数，z＝
＋
＋
可能的取值组成集合A，则（ ）
A．2∈AB．3∉A
C．－1∈AD．1∈A
答案 C
解析 ①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A由元素－1,3组成．
∴－1∈A.
4．下列说法中，正确的个数是（ ）
①集合N*中最小的数是1；
②若－a∉N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2.
A．0B．1
C．2D．3
答案 C
解析 N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，a∉N*，故②错误；若a∈N*，则a的最小值是1，同理，b∈N*，b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性，知④错误．
5．已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1
C．－1或－2D．－2或－3
答案 C
解析 由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C.
6．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A，2∈A，则（ ）
A．a＞－4B．a≤－2
C．－4＜a＜－2D．－4＜a≤－2
答案 D
解析 ∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，
∴－4＜a≤－2.
二、填空题
7．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点（2,7）与点集P的关系为（2,7）________P（填“∈”或“∉”）．
答案 ∈
解析 直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．
由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故（2,7）∈P.
8．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.
答案 2或4
解析 若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故a＝2或4.
9．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0,1,2三个元素组成，且集合A与集合B相等．下列三个关系：
①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
答案 201
解析 可分下列三种情形：
（1）若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；
（2）若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；（3）若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
三、解答题
10．已知集合A由0,1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值．
解 因为x2∈A，
所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.
若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．
综上所述，x＝－1.
课时作业2 集合的表示
知识点一用列举法表示集合
1.用列举法表示下列集合：
（1）15的正约数组成的集合；
（2）不大于10的正偶数集；
（3）方程组
的解集．
解
（1）因为15的正约数为1,3,5,15，
所以所求集合可表示为{1,3,5,15}．
（2）因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10，
所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．
（3）解方程组
得
所以所求集合可表示为{（－3,0）}.
知识点二用描述法表示集合
2.用描述法表示下列集合：
（1）正偶数集；
（2）被3除余2的正整数的集合；
（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解
（1）偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
（2）设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数的集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
（3）坐标轴上的点（x，y）的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）|xy＝0}．
3．用描述法表示图中阴影部分（含边界）内的点构成的集合．
解 用描述法表示为
.
知识点三集合表示法的综合应用
4.用列举法表示集合A＝
＝________.
答案 {－2,2,4,5}
解析 ∵x∈Z且
∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－1时，
∉N；当x＝0时，
∉N；当x＝1时，
∉N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时，
∉N；当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2,2,4,5}．
5．已知集合A＝{x|x<5且x∈N*}，B＝{（a，b）|a＋b2＝1，b∈A}，试用列举法表示集合B＝________.
答案 {（0,1），（－3,2），（－8,3），（－15,4）}
解析 ∵x∈N*，且x<5，∴x＝1,2,3,4，∴A＝{1,2,3,4}．又∵a＋b2＝1，且b∈A，
∴当b＝1时，a＝0；当b＝2时，a＝－3；
当b＝3时，a＝－8；当b＝4时，a＝－15.
∴B＝{（0,1），（－3,2），（－8,3），（－15,4）}．
6．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．
解 应根据a是否为0分两种情况进行讨论：
①a＝0，此时A＝
，符合题意；
②a≠0，则必须且只需Δ＝4－4a＝0，即a＝1.
所以a＝0或a＝1.
易错点忽略元素形式而出错
7.下列说法：
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1,0,1}；
②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；
③方程组
的解集为{x＝1，y＝2}．
其中说法正确的个数为（ ）
A．3B．2
C．1D．0
易错分析 ①易忽略代表元素x∈N，导致判断错误；②出错是对常用数集的符号理解不到位；③出错是对“方程组的解为有序实数对”这一点认识不到位．
答案 D
正解 由x3＝x，即x（x－1）（x＋1）＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}．故①不正确．
集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R.故②不正确．
方程组
的解是有序实数对，其解集应为
.故③不正确．
一、选择题
1．方程组
的解组成的集合是（ ）
A．{2,1}B．（2,1）
C．{（2,1）}D．{－1,2}
答案 C
解析 先求出方程组的解
再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对（2,1），故选C.
2．下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3,2}，N＝{（3,2）}
答案 B
解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3,2}＝{2,3}．
3．－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
答案 A
解析 由题意可知（－5）2－a×（－5）－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a＝0}＝{2}，则其所有元素和为2.故选A.
4．集合
可表示为（ ）
A.
B.
C.
D．
答案 D
解析 ∵3＝
，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n，则分子为2n＋1，且n∈N*，∴集合为
.
5．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是（ ）
A．x1x2∈AB．x2x3∈B
C．x1＋x2∈BD．x1＋x2＋x3∈A
答案 D
解析 由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又由x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．
二、填空题
6．已知集合A＝{（x，y）|y＝2x＋1}，B＝{（x，y）|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a为________．
答案 （2,5）
解析 由题知，a∈A，a∈B，所以a是方程组
的解，解得
即a为（2,5）．
7．若集合A＝{－2,2,3,4}，集合B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________.
答案 {4,9,16}
解析 当t＝－2,2,3,4时，x＝4,4,9,16，故集合B＝{4,9,16}．
8．给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{（x，y）|x>0，y>0}；
②方程
＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}是不相等的．
其中正确的是________（填序号）．
答案 ①③
解析 对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点（x，y），所以①正确；对于②，方程
＋|y＋2|＝0的解为
解集为{（2，－2）}或
，所以②不正确；对于③，因为集合{y|y＝x2－1，x∈R}等于集合{y|y≥－1}，集合{y|y＝x－1，x∈R}等于R，故这两个集合不相等，所以③正确．
三、解答题
9．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
解 将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－（a＋1）x＋b＝0.
因为A＝{－3,1}，
所以方程x2－（a＋1）x＋b＝0的两根为－3,1.
由根与系数的关系得
解得
所以y＝x2＋3x－3.
将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2
，所以B＝{－3－2
，－3＋2
}．
10．用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集．
（1）方程x2（x＋1）＝0的解组成的集合；
（2）平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合；
（3）自然数的平方组成的集合．
解
（1）由x2（x＋1）＝0，得x＝－1或x＝0，所以该集合可表示为{－1,0}．故该集合为有限集．
（2）平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合可表示为{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}．故该集合为无限集．
（3）自然数的平方组成的集合用列举法可表示为{0,12,22,32，…}，用描述法可表示为{x|x＝n2，n∈N}．故该集合为无限集．
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