第六章 平面直角坐标系人教版七年级下doc.docx
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第六章平面直角坐标系人教版七年级下doc
第六章 平面直角坐标系
第一节：
知识梳理
一、学习目标
1.认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
2.能在方格纸上建立适当的坐标系，描述物体的位置.
3.在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标变化.
4.能灵活应用不同的方式确定物体的位置.
二、知识网络
根据知识网络结构图，按其中数码顺序，说出各个数码所指内容，以达到梳理知识的目的.
三、思想方法
1.“由特殊到一般”“由一般到特殊”的思想，如图形的平移过程是通过图形上的一个点或几个点的坐标变化研究的，这些都体现了“由特殊到一般”的思想，而“由点与图形的平移”规律去解决图形的平移问题，又体现了“由一般到特殊”的思想.
2.对应的思想，具体表现在平面直角坐标系中的一个点对应着一对有序数对，即点的坐标；而每一对有序数对确定的坐标对应着平面中的一个点.
3.数形结合的思想，具体表现在借助平面直角坐标系把几何问题转化为代数问题，同时也可以把代数问题转化为几何问题，就是每一个有序数对（坐标）对应着平面上的一个点.
第二节、错解剖析
【例1】小虎正确地描出了各点，把它们连接起来，涂上阴影，如图所示.
小虎兴奋地说：
“真没想到，分布在四个象限内的这些点，居然能连成一只可爱的小猫.”
不料，此话一出，又遭到小新的反对：
“你说的话有毛病，坐标系内的点并不是都分布在四个象限中，还有些点在坐标轴上，它们不属于任何一个象限.比如，本题中（-2，0），（2，0），（3，0）三个点在横轴上，（0，-2），（0，2），（0，4）三个点在纵轴上”.
小虎马上更正：
“我说错了，我忘了在坐标轴上的点不属于任何象限，就像在横轴上的点都不能在纵轴一样.”
没想到，小新又纠正道：
“这话也有问题，原点是一个特殊的点，它既在横轴上，也在纵轴上.”
这时，老师又问了小虎一个问题：
“你能根据这只猫眼睛的大致位置，说出它们的坐标分别是什么吗？
”
小虎思考了一下，答道：
“它两只眼睛的坐标分别是（-1.5，2.5）和（-0.5，2.5）.”
老师肯定了他的回答，又布置了一道思考题：
请在坐标系中，描出到横轴距离为4、到纵轴距离为5的点.
小虎一听，不假思索地说：
“这有什么难的，不就是描出坐标为（4，5）的点吗？
”他边说边在图中画出点M，没等画完就发现自己错了，急忙更正：
“哦——错了！
到横距离为4，不是说横坐标为4；到纵轴距离为5，也不是说纵坐标为5.所以，这个点的坐标不是（4，5），而应该是（5，4），这个点N才符合条件——这次，总该没错了吧.”
小新一听，说：
“你考虑得不全面，还有三个点呢.你看，点P（5，-4），Q（-5，-4）和R（-5，4）三个点是不是也符合条件，别忘了距离是非负数，一个点到横轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到纵轴的距离是它的横坐标的绝对值.”
第三节、思维点拨
一、坐标平面内三角形面积的求法
1.有一边在坐标轴上或平行于坐标轴
【例1】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？
【思考与解】根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值，所以三角形ABC的面积为S△ABC＝
BC×AO＝
×4×3＝6.
2.三边均不与坐标轴平行
【例2】平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？
【思考与分析】由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.
解：
如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以三角形ABC的面积为
（AD+CE）×DE-
AD×DB-
CE×BE=
×（4+6）×5－
×4×4－
×6×1＝14.
【小结】本题也可以把三角形ABC分割为两个三角形，转化为1中的情况求解，大家不妨试试.
二、平面直角坐标系内四边形面积的求法
【例3】如图，你能求出四边形ABCD的面积吗？
【思考与分析】四边形ABCD是不规则的四边形，面积不能直接求，我们可以利用分割或补形来求.
解法一：
将四边形ABCD分割成如上图所示的直角三角形和直角梯形.由各顶点坐标可知DE=3，CE=2，EF=3，CF=5，BF=2，AF=4.
所以四边形ABCD的面积为
DE×CE＋
BF×CF＋
×（DE+AF）×EF＝
×3×2＋
×5×2＋
（3＋4）×3＝18.5.
解法二：
如下图，分别过点A、D作平行于y轴的直线，与过点C平行于x轴的直线交于点E、F.
由各顶点坐标可知AB=6，AE=5，CE=4，EF=1，FC=3，DF=2.
所以四边形ABCD的面积为
（CE+AB）×AE－
DF×CF-
（DF+AE）×EF=
×（4＋6）×5－
×2×3－
（2+5）×1＝18.5.三、由点的位置确定坐标
【例4】如图，小强告诉小华，图中A点和B点的坐标分别为（－1，7）和（-3，5），小华一下就说出了C在同一坐标系下的坐标，你知道是多少吗？
【思考与分析】我们先由A点和B点的坐标确定它们所在的坐标系，从而确定C点的位置.
解：
C点的坐标是（3，5）.
四、由坐标确定图的形状和位置
【例5】在平面直角坐标系中，描出下列各组点，并用线段顺次连结起来，观察所得到的图形，说说它像什么？
（1）（1，1），（2，0），（7，0），（8，2），（6，1），（1，1）；
（2）（6，1），（6，8）；
（3）（5，7），（7，8），（7，3），（5，4），（5，7）；
（4）（2，1），（6，7）.
【思考与解】解决本题，首先要理解本题的顺次连结，就是将每一组中的各点顺次连结起来.建立平面直角坐标系，通过描点，连线，可以发现，所得到的图案是一只帆船（如图）.
五、由坐标确定坐标系
【例6】如下图，Ｂ，Ｃ两点的坐标分别是Ｂ（２，３），Ｃ（４，３），那么（０，０），（０，４），（4，0），（０，－２），（２，－１）及（４，－１）各是哪点的坐标？
图中有和x轴平行的线段吗？
有和y轴平行的线段吗？
有互相平行的线段吗？
【思考与分析】由Ｂ点和Ｃ点的坐标可知，图中的单位长度等于小正方形的边长，根据有序数对（a，b）的有序性，先在x轴上找到a，再在y轴找到b，分别过a，b作x，y轴的垂线，两垂线的交点就是有序数对（a，b）的对应点.
解：
（０，０），（０，４），（4，0），（０，-2），（２，－１）及（4，-1）对应的点分别是O、A、D、G、F、E.
ＢＣ、EF平行于x轴，ＣＥ、BF平行于y轴；ＢＣ平行于ＥＦ，BF平行于AG、CE.
【例7】在纸上建立直角坐标系，根据点的坐标描出下列各点：
（0，0），（5，3），（3，0），（5，1），（5，-1），（4，-2），然后按照（0，0）→（5，3）→（3，0）→（5，1）→（5，-1）→（3，0）→（4，-2）→（0，0）的顺序用线段连结起来.
（1）看看你得到的图案像什么？
（2）如果把这些点的横坐标都加上1，纵坐标都减去2.再按照原来的顺序将得到的各点用线段连结起来，这个图案与原图案在大小、形状、位置上有什么变化？
【思考与解】
（1）建立平面直角坐标系，将各点描出，连结后我们可以得到一条可爱的小鱼，如图1.
（2）如果把这些点的横坐标都加上1，纵坐标都减去2，再按原来的顺序连结，仍得到一条小鱼，这条小鱼的大小、形状与原来的完全一样，它的位置可以看作将原来的小鱼向右平移1个单位长度，然后再向下平移两个单位长度得到，如图2.
【例8】如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心.此时，M是线段PQ的中点.
如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，….对称中心分别是A、B、O、A、B、O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.
【思考与解】根据所给的坐标可以知道O为坐标原点.由于点P1与点P2关于点A对称，且P1的坐标是（1，1），所以P2的坐标是（1，-1）；点P2与点P3关于点B对称，所以P3的坐标是（-1，3）；点P3与P4关于点O对称，所以P4的坐标是（1，-3）；点P4与点P5关于点A对称，所以P5的坐标是（1，3）；点P5与点P6关于点B对称，所以P6的坐标是（-1，-1）；点P6与点P7关于点O对称，所以P7的坐标是（1，1），这样的话P7与P1重合.依次类推，反复循环，可以知道P8与P2重合、P9与P3重合、P10与P4重合、P11与P5重合、P12与P6重合、P13与P7重合（即与P1重合），由此推断，点Pn是以6为一个周期进行循环的.因此100除以6商是16余数为4，因此Pn的坐标与P6的坐标相等为（1，-3）.答案为P2（1，-1），P7（1,1），P100（1，-3）.
【小结】通过以上分析，在平面直角坐标系中，与点的坐标有关的探索问题中点的变化都是有周期性变化的.希望同学们认真探索、总结，以便做到熟能生巧.
第四节、竞赛数学
【例1】如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1－x，y-1）关于原点的对称点P在第几象限？
【分析】若抓住对称点的坐标特性这一解题关键，则可由点M（1-x,1-y）与点N（1－x,y-1）的横坐标相等、纵坐标互为相反数，知两点关于x轴对称，从而可确定出点N在第三象限.于是，点N关于原点的对称点P在第一象限.
解法一：
∵点M（1-x，1-y）在第二象限，
∴1-x＜0，1-y＞0.
∴y-1＜0，则点N（1－x，y-1）在第三象限.
∵点P与点N关于原点对称，
∴点P在第一象限.
解法二：
∵点M（1-x，1-y）与点N（1－x，y-1）关于x轴对称，且点M在第二象限，
∴点N在第三象限.
∵点P与点N关于原点对称，
∴点P在第一象限.
【小结】
（1）若不能根据题设条件获得1－x与y-1的正、负情况，就没有解法一；
（2）若不能发现点M与点N之间的对称关系，就没有解法二.
（3）有序实数对与坐标上的点一一对应，这就使得数与形结合起来.解题时可根据条件，运用数形结合的思想灵活解题.
【例2】国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种.国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多；“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个４×４的小方格棋盘，图中的“皇后Ｑ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.
在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Ｑ”，她所在的位置可用“（２，３）”来表示，请说明“皇后Ｑ”所在的位置“（２，３）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Ｑ”所控制的四个位置.
【分析与解】注意行与列的区别，点（2，3）的意义是第3行、第2列.故“皇后Q”可控制整个第3行和第2列，还可以控制（１，4），（3，２），（４，1）和（１，2），（３，4）.不能被该“皇后Q”所控制的四个位置是（１，１），（３，１），（４，２），（４，４）.
【例3】如图．围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为（C，4），白棋②的位置可记为（E，3），则白棋⑨的位置应记为________．
【思考与解】本题平面直角坐标系中的横坐标用英文字母表示，根据坐标点位置的意义，易知白棋⑨的位置应记为（D，6）．
【例4】五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：
15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图；（甲执黑子先行，乙执白子后走），
观察棋盘思考：
若A点的位置记做（8，4），甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？
为什么？
【思考与分析】由对弈规则可知：
只有当任一方向（包括直线和斜线）上有五个子连在一起时才能获胜，观察棋盘，不难发现，甲必须首先截断乙方的（2，6），（3，5）和（4，4）三颗白子，故必须在（1，7）或（5，3）处落子，方可不败．
解：
甲必须在（1，7）或（5，3）处落子，因为若甲不首先截断以上两处之一，而让乙在（1，7）或（5，3）处落子，则不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．
第五节、本章训练
基础训练题
1.如图，将平行四边形ABCD向右平移2个单位长度，可以得到平行四边形A′B′C′D′，再将平行四边形A′B′C′D′向上平移2个单位长度，可以得到平行四边形A″B″C″D″，画出平移后的图形，并写出平行四边形A″B″C″D″各个顶点的坐标.
2.在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只马的位置分别是A（b，3），B（d，5），C（f，7），D（h，2），请在图中描出它们的位置.
3.如图是一个8×8的球桌，小明用A球撞击B球，到C处反弹，再撞击桌边D处.请选择适当的坐标系，并用坐标表示各点的位置.
答案
1.解：
如图，A″（1，0），B″（5，0），C″（6，3），D″（2，3）.
2.解：
如图：
3.解：
以A为坐标原点，则B（2，1），C（6，3），D（-1，6）.
提高训练题
1.如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（7，3），D（3，6），你能求出这个四边形的面积吗？
2.已知长方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，-2），则长方形的面积是多少？
答案
1.解：
如图：
S四边形ABCD＝S四边形AEFG －S三角形ADG－S三角形BCE－S三角形CDF
＝7×6－
×6×3－
×（7-5）×3－
×（7-3）×（6-3）
＝42-9-3-6
＝24.
2.解：
因为点B的坐标为（3，-2），所以AB＝|-2|＝2，BC=3.
所以长方形的面积为2×3＝6.
强化训练题
1.某学校校门在北侧，进校门向南走30米是旗杆，再向南走30米是教学楼，从教学楼向东走60米，再向北走20米是图书馆，从教学楼向南走60米，再向北走10米是实验楼，请你选择适当的比例尺，画出该校的校园平面图.
2.小明家在学校以东150m，再向北100m处，张明同学家在学校以西50m，再往南200m处，王玲同学家在学校以南150m处，建立适当的直角坐标系，在直角坐标系中画出这三位同学家的位置，并用坐标表示出来.
2.如图为一辆公交车的得驶路线示意图，“●”表示停靠点，现在请你帮助小明完成对该公交车行驶的路线描述：
起点站→（1，1）→…→终点站.
答案
1.解：
如图：
2.解：
如图：
3.解：
起点站→（1，1）→（2，2）→（4，2）→（5，1）→（6，2）→（6，4）→（5，5）→（3，5）→（1，5）→（1，7）→（2，8）.
综合训练题
一、填空题（每题7分，共35分）
1.已知点M（－4，2），将坐标系先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度,则点M在新坐标系内的坐标为 .
2.小红将直角坐标系中的点A的横坐标乘2再加2，纵坐标减2再除以2，点A恰好落在原点上，则点A的坐标是 .
3.若A（a，6），B（0，2）两点在同一条直线上，则a的值为 .
4.已知点（a，b）在x轴负半轴上，则点（a－b，b－a）在 象限.
5.如图所示，如果小力的位置可表示为（2，3），则小红的位置应表示为 .
二、选择题（每题7分，共35分）
6.平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比（ ）.
A.横坐标不变,纵坐标加3
B.纵坐标不变,横坐标加3
C.横坐标不变,纵坐标乘以3
D.纵坐标不变,横坐标乘以3
7.小明家的坐标为（1，2），小丽家的坐标为（－2，－1），则小明家在小丽家的（ ）.
A.东南方向 B.东北方向
C.西南方向 D.西北方向
8.在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A′点，则A与A′的关系是（ ）.
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.将A点向x轴负方向平移一个单位
9.一只小虫子在一个小方格的线路上爬行，它起始的位置是A（2，2），先爬到B（2，4），再爬到C（5，4），最后爬到D（5，5），则小虫一共爬行了（ ）个单位.
A.7 B.6 C.5 D.4
10.已知点M1（-1，0）、M2（0，-1）、M3（-2，-1）、M4（5，0）、M5（0，5）、M6（-3，2），其中在x轴上的点的个数是（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、解答题（每题15分，共30分）
1.如图是某城市的交通网络图，横向的行称为“道”，如第一大道，第二大道等，纵向的列称为“路”，如1路，2路等.如图中的车，就在“第一大道2路”的位置.
（1）想一想，如果只用“道”或“路”能不能确定一个点的位置？
（2）如图的车，要到第五大道3路处，又要使路程最短，你能想出几种方法?
12.已知点P（2，3）
（1）在坐标平面内画出点P；
（2）分别求出点P关于x轴、y轴的对称点P1、P2.
（3）求三角形P1PP2的面积.
答案
一、1.（-1，5） 2.（-1，2） 3.0
4.第二 5.（3，4）
二、6.A 7.B 8.B 9.B 10.B
三、11.【解题思路】
（1）在平面上确定点的位置至少需要两个数据.
（2）车到第五大道3路去的路线很多，可先列出几条较近的再择优选取.
解：
（1）只用“道”或“路”一个数，不能确定点的位置.
（2）要使路程最短，共有五种方法.
①（1，2）→（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）
②（1，2）→（2，2）→（3，2）→（4，2）→（4，3）→（5，3）
③（1，2）→（2，2）→（3，2）→（3，3）→（4，3）→（5，3）
④（1，2）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（5，3）
⑤（1，2）→（1，3）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（5，3）
12.【解题思路】我们可以看到，本题分三问，每一问都是下一问的基础，因此我们不能因为前边的问题简单而麻痹大意，因为一步错，步步错.所以我们必须认真对待，一丝不苟的完成
解：
（1）如图：
（2）P1（2，-3），P2（-2，3）.
（3）如图：
=
PP1×PP2＝
×6×4＝12.
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