第六章平面直角坐标系.docx
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第六章平面直角坐标系
第六章平面直角坐标系
【知识概念图表】
知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）
（一）平面直角坐标系
1.有序数对：
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）.
2.平面直角坐标系：
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：
水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：
对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
记作P（a，b）.
5.象限：
两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向依次叫第二象限（左上）、第三象限（左下）、第四象限（右下）。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
6.坐标平面内的点的坐标特征：
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
在第一象限
+
+
在第二象限
-
+
在第三象限
-
-
在第四象限
+
-
在x轴上
在正半轴上
+
0
在负半轴上
-
在y轴上
在正半轴上
0
+
在负半轴上
-
原点
0
0
（二）坐标方法的简单应用
1.用坐标表示地理位置
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的平面图的过程如下：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
（3）在坐标平面内描出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
2.用坐标表示平移
（1）点的平移：
在坐标平面内，将点（x，y）向右（或向左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）[或（x-a，y）]；将点（x，y）向上（或向下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）[或（x，y-b）].
（2）图形平移：
在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（减去）一个正数a，相应地新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数b，相应地新图形就把原图形向上（或向下）平移了b个单位长度。
深度理解
“有序”是指先后顺序不能颠倒。
深度理解
（1）书写坐标时，先横后纵再括号，中间隔开用逗号。
（2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标都相同。
（3）x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系。
方法指引
要领：
右加左减横坐标，上加下减纵坐标。
相应地，看坐标变化就知道图形在坐标平面内是怎样移动的。
【易混易错剖析】
1.对于坐标的意义理解不透，导致解坐标与距离的关系问题时出错.坐标说白了是数值，因而有正、负、0之分，而距离是不能为负的。
学生在解坐标与距离的关系的问题时往往出错。
典型示例：
填空：
已知点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且A点的横、纵坐标符号相反，则A点坐标是_。
常见错误：
填（5，2）或（2，-5）或（-2，5）
解析点评：
本题告诉：
点A到x轴的距离为2，那么该点的纵坐标就可能是±2，同样的，告诉了：
点A到y轴的距离为5，那么它的横坐标就可能是±5，而题目又说了：
A点的横、纵坐标符号相反，所以点A的坐标只可能为
。
因而正确答案是：
。
本题启示：
平面内点的坐标与该点到坐标轴的距离之间的联系是：
坐标平面内某一点到x轴的距离是等于其纵坐标的绝对值的，到y轴的距离是等于其横坐标的绝对值的。
要注意：
知道距离去写坐标时，千万不可将横、纵坐标写错了位置，并要根据具体情况进行分类讨论。
2.对于平移中坐标的变化规律掌握不准，导致解坐标与平移的关系问题时出错。
有口诀：
“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”就是说坐标的变化直接遥控着图形位置的变动，横坐标加（减），图形就向右（向左）移动，纵坐标加（减），图形就向上（下）移动，两者之间关联紧密。
应用时，千万不可弄错了方向。
当然若横、纵坐标都发生了变化，其移动后的图形可以看作是将原图形经过先后两次沿坐标轴平移变换得到的。
典型示例：
如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，AC=4，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（）
A．4B．8C．16D．
常见错误：
选A或B.
解析点评：
本题由于点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），显然AB=3，又AC=4，所以可得点C（1，4），而要将△ABC沿x轴向右平移，使点C落在直线y=2x－6上，在这个过程中，联想到“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”的规律，即：
左右平移，横坐标加减，其纵坐标不变；上下平移，其纵坐标加减，横坐标不变，那么点C的纵坐标是不变的，即平移后的点C’的纵坐标仍然是4，因而代入直线解析式得2x－6=4，解得x=5，所以平移后点C’的坐标是（5，4）。
由平移前的C（1，4）变为平移后的C’（5，4），其横坐标增加了4，说明整个三角形向右平移了4个单位，即图形上所有点的横坐标都增加了4，相应的线段BC也向右移动了4个单位，并且在这个平移过程中，它扫过的图形应当是□BB’C’C，如下图所示，其底BB’为4，这条底上的高就是A’C’的长，也是4，根据平行四边形的面积公式
所以线段BC所扫过的面积是16。
因而正确的答案应是C.
本题启示：
ⅰ要记牢坐标与平移的关系：
左右平移，横坐标加减，其纵坐标不变；上下平移，其纵坐标加减，横坐标不变。
用口诀表述就是：
“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”；ⅱ要求一个图形的面积，通常首先要弄清图形的形状，然后才能根据形状及其相关公式来计算其面积。
【考点命题突破】
考点分析:
必考点：
在平面直角坐标系中由坐标描出点的位置以及由点的位置写出其坐标.
常考点：
四个象限内的点的坐标特征及坐标轴上点的坐标特征,感受图形变换后，坐标平面内点的坐标变化规律，能应用坐标变化规律去描述图形的变换过程。
少考点：
新建坐标系，并运用不同的方式确定物体的位置，坐标平面内不在与两坐标轴平行的直线上的两点间的距离的求法
中考热点：
将坐标知识与特殊的三角形、四边形等结合出计算题，将坐标与图形变换结合出规律探究题、阅读理解问题和实际应用题。
考查方式：
多见于填空和选择题，也常常以解答题题型出现。
考点1由点的坐标来确定位置
选择：
过两点A（3，4），B（-2，4）作直线AB，则直线AB（）
A、经过原点B、平行于y轴
C、平行于x轴D、以上说法都不对
解题思路：
点A和B的纵坐标均为4，说明这两点都在x轴上方且到x轴的距离相等。
因而直线AB是平行于x轴的。
答案：
C
考点2由位置去确定点的坐标
选择：
如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，那么C点的位置可表示为（）
A、（0，3）B、（2，3）C、（3，2）D、（3，0）
解题思路：
本题告诉了A（0，0），那么点A就是坐标系的原点，同时又告诉了B（0，4），那么y轴的位置就确定了，就是过A、B的直线，那么与AB垂直且过点A的直线就是x轴所在的位置，因而x轴的位置也被确定下来，此时我们发现点C在第一象限，再由“平面内点的横坐标就从这一点向横轴作垂线所得垂足的坐标”所以其横坐标是3，由“平面内点的纵坐标就从这一点向纵轴作垂线所得垂足的坐标”所以得其纵坐标为2，根据“先横后纵再括号，中间隔开用逗号”得点C（3，2）。
答案：
C
难点突破和易错警示
难点突破：
要弄清平面内点的坐标与距离的关系。
易错警示：
往往容易出现把横、纵坐标写反了的情况。
本题关键是要能确定坐标系中两坐标轴的位置。
【中考典题回顾】
例1（2011湖南衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）
A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）
C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）
答案：
A
例2（2011安徽）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
（1）填写下列各点的坐标：
A4（，），A8（，），A12（，）；
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
答案：
⑴A4（2，0）；A8（4，0）；A12（6，0）；
⑵A4n（2n,0）；
⑶向上．
例3（2011贵州贵阳）
【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（
，
）．
【运用】
（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______；
（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
（例3图）
答案：
解：
（1）∵四边形ONEF是矩形，
∴点M是OE的中点．
∵O（0，0），E（4，3），
∴点M的坐标为（2，
）．
（2）设点D的坐标为（x，y）．
若以AB为对角线，AC，BC为邻边构成平行四边形，则AB，CD的中点重合
∴
，解得，
．
若以BC为对角线，AB，AC为邻边构成平行四边形，则AD，BC的中点重合
∴
，解得，
．
若以AC为对角线，AB，BC为邻边构成平行四边形，则BD，AC的中点重合
∴
，解得，
．
综上可知，点D的坐标为（1，-1）或（5，3）或（-3，5）．
要点提示：
例1关键要运用勾股定理和菱形的性质，以及平行于是x轴的直线上的点的坐标特征和x轴上的点的坐标特征来解题。
例2本题先观察出点的坐标，然后去寻求规律。
我们发现每四个一循环，横坐标依次增大，且与A的下标有直接联系。
诸如此类问题，可将下标值除以4，余数相同的那些点一定有相似的性状。
例3要会充分利用阅读材料所给的公式来解题。
有多种情况的问题一定要画图并分类讨论。
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