切线的判定和性质 人教义务版.docx

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切线的判定和性质人教义务版

切线的判定和性质

【学习目标】

掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切点和圆心的连线与切线垂直等性质；并能应用它们证明有关问题．

【主体知识归纳】

1．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2．圆的切线垂直于经过切点的半径．

3．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

【基础知识讲解】

1．关于切线的判定定理应分清楚定理的题设和结论，应特别注意“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

2．切线的性质定理和两个推论可以用下面一个定理概括出来：

如果一条直线满足以下三个条件中的任意两条，那么就一定满足第三条：

（1）垂直于切线；

（2）经过切点；（3）经过圆心．

切线的性质定理和判定定理互为逆定理．

3．在直线与圆的位置关系中，相切是一种重要的位置关系．切线的性质主要有五个：

（1）切线和圆只有一个公共点；

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．

4．在解决有关切线的问题时，常需添加辅助线．其规律是：

（1）作过切点的半径或直径可得垂直关系．

（2）要证明一直线是圆的切线时，若已知直线过圆上的点，则作出过这点的半径或直径，证明直线垂直于这条半径或直径；若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．

【例题精讲】

例1：

如图7—123，已知△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝

BC，E、F分别是AB、AC的中点，以EF为直径作半圆O．

求证：

BC是半圆O的切线．

剖析：

本题是考查直线与圆的位置关系，本题中线段BC与⊙O的公共点没有确定，故需添加辅助线．

过点O作OM⊥BC，证明OM＝

EF即可．

证明：

连结EF，交AD于G，过圆心O作OＭ⊥BC，垂足为M．

∵E、F分别是AB、AC的中点，EF

BC，AD＝

BC，

∴EF＝AD，GD＝AG＝

AD＝

EF，OＭ＝GD＝

EF．

∴OＭ为半圆O的半径．

又OＭ⊥BC，∴BC是半圆O的切线．

说明：

证明圆的切线有以下两种方法：

方法

（1）是依据切线的定义，圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线，方法

（2）是依据判定定理，过半径外端点并垂直于半径的直线是圆的切线．选择哪种方法关键是在已知条件中寻找．若不能判定直线l与⊙O有公共点，则使用方法

（1），过圆心O作l的垂线OP，证明OP等于半径；方法

（1）简述为“作垂直，证半径”，若能判定直线l与⊙O有公共点A，则使用方法

（2），连结圆心O与点A，证明半径OA⊥l，方法

（2）简述为“连半径，证垂直”．

例2：

如图7—124，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于E，D是BC的中点．

求证：

直线DE是⊙O的切线．

证明：

连结OE、BE．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°

∴BE⊥AC，则∠BEC＝90°．

∵D是BC的中点，∴DE＝BD＝

BC

∴∠DBE＝∠DEB．

∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB

∵∠OBE＋∠DBE＝90°，∴∠DEB＋∠OEB＝90°，即OE⊥DE．

∴DE是⊙O的切线．

说明：

（1）此例是由直径对的圆周角、直角三角形斜边中线、切线的判定等知识构成的问题．

（2）证一条直线是圆的切线，常用的两个判定方法是：

直线过圆上一已知点，作过这点的半径转化证直线垂直这条半径，直径和圆的公共点位置如果是未知的，过圆心作到直线的距离，转化证距离等于半径．

（3）本例可以这样分析：

要证DE是圆的切线，而E在圆上，所以连结OE，证明DE⊥OE即可．

例3：

如图7—125，已知AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，PD⊥AD，AD、BC的延长线相交于E．

（1）求证：

AB＝AE；

（2）当PA：

PB等于多少时，△ABE为正三角形．

证明：

（1）连结OC，则OC⊥PD．

又∵PD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠E＝∠OCB．

∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB＝∠E，∴AB＝AE．

（2）由

（1）知△ABE为等腰三角形，若∠ABE＝60°，则△ABE为正三角形．

这时有∠P＝30°．

∴PB＝BC＝OB＝

AB．

∴PA：

PB＝3．

因此，当PA：

PB＝3时，△ABE为正三角形．

说明：

观察、分析、联想、添加辅助线、综合运用是解答几何问题的几个重要环节，本例的解答过程体现了这几个环节的应用．

【思路拓展题】

为什么汽油桶、热水瓶等都是圆柱形的？

汽油桶、热水瓶等，都是装液体的容器．平时你注意过没有，装液体的容器，往往都是圆柱形的．这能不能用数学知识来解释呢？

能．

我们生产一件容器，都希望能用最省的材料，来装一定的体积的液体．或者说，用同样的材料，要使做成的容器的容积最大．

在平面几何里，我们学了计算圆面积和一些正多边形的面积或周长的方法．譬如：

一个面积为100平方厘米的正方形周长为40厘米；同样面积的正三角形的周长约等于45.6厘米；而同样面积的圆的周长只有35.4厘米．这就是说，面积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的周长较小，圆的周长最小．所以，装同样体积的液体的容器中，如果容器的高度一样，那么，侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省．因此，汽油桶、热水瓶等装液体的容器，大都是圆柱形的．

有没有比圆柱形更为省料的形状呢?

有的．根据数学的原理，在同样的材料做的一些容器中，球形的容器的容积要比圆柱形的更大．也就是说，做球形的容器，可以更节约材料．但是，球形的容器很容易滚动，放不稳，它的盖子也不容易做，所以不实用．

放固体的容器，如盒子、箱子、柜子等，为什么不做成圆柱形的呢?

虽然做圆柱形的容器比较省料，但是，装起固体东西来却不经济，所以通常把它们做成长方体的．

【同步达纲练习】

1．选择题

（1）AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是

A．AB与⊙O相切于直线CD上的点CB．CD经过圆心O

C．CD是直径D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O

（2）以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，这三个圆的半径分别是

A．3、4、5B．

、2、

C．3、4、

D．15、20、12

（3）如图7—126，AB是半圆直径，直线MN切半圆于C，AM⊥ＭN，BN⊥ＭN，若AM＝a，BN＝b，则半圆的半径是

A．

（a＋b）

B．a＋b

C．

（a＋b）

D．

（a＋b）

（4）如图7—127，⊙O的直径AB与弦AC的夹角是30°，过C点的切线交AB的延长线于D．如果OD＝3cm，那么⊙O的半径长是

A．3cmB．2cmC．

cmD．1cm

（5）如图7—128，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P＝70°，则∠C等于

A．70°

B．55°

C．110°

D．140°

（6）△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，⊙O的直径MN在AB上，AC、BC分别切⊙O于D、E，则MN的长

A．4cm

B．4

cm

C．6

cm

D．13

cm

（7）已知如图7—129，AB是半圆O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆O于点C，若

＝

则∠P的度数是

A．60°

B．45°

C．30°

D．15°

（8）如图7—130，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，BC切⊙O于B．若AD：

BC＝1：

2，则AO：

OB等于

A．2：

1

B．1：

1

C．3：

2

D．2：

1.5

（9）如图7—131，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D，AB＝6，BC＝8，则BD的长为

A．4

B．4.8

C．5.2

D．6

2．填空题

（1）若⊙O的两条平行切线间的距离为8cm，则⊙O的半径等于________cm；

（2）两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，则AB＝________；

（3）已知⊙O的直径为AB，在圆上取一点C，作CD⊥AB于D，且CD＝3cm，OD＝4cm，那么⊙O的直径AB＝________cm；

（4）已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离是①3cm、②5cm、

③7cm，那么直线l和⊙O的位置关系分别是①________，②________，③________；

（5）如图7—132，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，则∠ABD＝_________________；

（6）如图7—133，AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC切⊙O于C点，∠DAC＝30°，OD＝30cm，则⊙O的半径长等于________cm，AC的长等于________cm．

（7）如图7—134，PB与⊙O相切于点B，OP交⊙O于点A，BC⊥OP于C，OA＝3cm，OP＝4cm，则AC＝______________m．

（8）如图7—135，已知BC是⊙O的直径，A是CB的延长线上一点，AD切⊙O于点D，且∠A＝30°，那么可以得出AD⊥OD，∠AOD＝60°，△OBD为等边三角形等结论．但结论还有很多，请再补充两个结论：

______________，____________________．

3．如图7—136，在⊙O中，AB是直径，AC、AD是弦，且AD平分∠BAC，过D作AC的垂线，交AC的延长线于E．

求证：

DE是⊙O的切线．

4．在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆弧交OA于E．在AB上取一点C，使BC＝OA，连结CE．

求证：

CE是圆弧的切线．

5．如图7—137，AB是⊙O的直径，MN切⊙O于C点，AD⊥ＭN，D为垂足，AD、BC的延长线交于E．

求证：

AB＝AE．

6．已知：

如图7—138，Rt△ABC中∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于E，OD∥AB．

求证：

（1）ED是⊙O的切线；

（2）2DE2＝BE·OD．

7．如图7—139，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：

AC平分∠DAB．

8．已知：

如图7—140，DE与⊙O相切于D点，DC垂直于直径AB于C，CE⊥DE于点E．

求证：

2DC2＝CE·AB．

9．要在一块形状为直角三角形的铁皮上（如图7—141所示）裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出半圆，使它的圆心在AC上，且与AB、BC都相切．请你用直尺和圆规画出来（保留作图痕迹，不要求写出作法、证明和讨论）．

10．如图7—142，CB是半圆的直径，AC与半圆相切于C点，AB与半圆相交于D点，在AC上任取一点E，连结BE交半圆于F点．求证：

AB·BD＝EB·BF．

11．如图7—143，⊙O是以Rt△ABC的直角边AC为直径的圆，且与斜边AB相交于点D，过D作DH⊥AC，垂足为H，又过D点作直线交BC于E，使∠ＨDE＝2∠A．

求证：

（1）DE是⊙O的切线；

（2）OE是Rt△ABC的中位线．

12．如图7—144，在半径为R的⊙O上取点A，以A为圆心，r为半径作一圆，再在⊙A上取点B，过B点作⊙A的切线交⊙O于P、Q两点．

求证：

AP与AQ的积为定值．

参考答案

【同步达纲练习】

1．

（1）D

（2）C（3）C（4）C（5）B（6）D（7）C（8）C（9）B

2．

（1）4

（2）2

cm（3）10（4）相交、相切、相离（5）45°（6）15，15

（7）0．75

（8）BD＝

BC，∠C＝30°，AB＝BO，AD＝DC（任选两个）

3．证明：

连结OD，

∴DE与⊙O相切．

4．连结OC，∵BC＝OA＝OB,∴∠2＝∠3．

又∠2＝∠1＋∠BOD，∠3＝∠4＋∠A，

∠BOD＝∠A＝45°，

∴∠1＝∠4，

∴△OCD≌△OCE，∠ODA＝90°，

∴∠CEO＝90°，

即可证CE是圆弧的切线．

5．连结OC、AC．

∵BO＝OA,OC∥AE,

∴BC＝CE．

又∵AC⊥BE,

∴△ABE是等腰三角形，即AB＝AE．

6．

（1）连结OE，利用平行及OA＝OE，可证明

∠COD＝∠EOD，OC＝OE，

所以△COD≌△EOD．

∴∠OED＝∠OCD＝90°．

∴ED是⊙O的切线．

（2）连结CE，得BC2＝BE·BA．

在Rt△BCE中，可证得BC＝2DE．

∵OD∥AB,OA＝OC,∴AB＝2OD．

∴（2DE）2＝BE·2OD．∴2DE2＝BE·OD．

7．连结OC，OC⊥CD，OC∥AD．

证∠DAC＝∠CAO即可．

8．连结OD，证明△OCD∽△DEC即可．

9．

10．连结DF、CD．

则∠DFB＝∠DCB＝∠A，∠ABE是公共角，∴△BDF∽△ABE．

11．

（1）连结OD、CD．∠ADC＝∠DHA＝90°,∴∠HDC＝∠A．

∵∠HDE＝2∠A,∴∠CDE＝∠A＝∠ODA．

∵∠ADC＝90°,∴∠ODE＝90°．

∴DE是⊙O的切线．

在Rt△CDB中，CE＝DE，可得CE＝BE，OA＝OC．

∴OE是Rt△ABC的中位线．

12．连结AB、AO，延长AO交⊙O于M，连结PM．

证△ABQ∽△APM，即得AP·AQ＝2Rr．