苏科版数学八年级上册期末满分突破专练平行线性质的计算题四 1.docx

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苏科版数学八年级上册期末满分突破专练平行线性质的计算题四1

苏科版数学八年级上册期末满分突破专练：

平行线性质的计算题（四）

1．综合探究：

已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．

（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；

（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．

2．如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点EF，点P是射线EB上一点（与点E不重合）．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作NH⊥FM于点H．

（1）若∠BEF＝64°，求∠FNH的度数；

（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．

3．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．

（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD的度数；

（2）如图2，点G在CH上时，试说明2∠MCD+∠GAB＝90°．

4．如图，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，MN∥PQ．

（1）如图1，求证：

∠A＝∠MCA+∠PBA；

（2）如图2，过点C作CD∥AB，点E在PQ上，∠ECM＝∠ACD，求证：

∠A＝∠ECN；

（3）在

（2）的条件下，如图3，过点B作PQ的垂线交CE于点F，∠ABF的平分线交AC于点G，若∠DCE＝∠ACE，∠CFB＝

∠CGB，求∠A的度数．

5．如图，已知：

AB∥CD，E为平面内一动点，连接AE、CE．

（1）如图1，若∠A＝120°，∠C＝150°，则∠E＝　　°；

（2）如图2，∠EAB的角平分线与∠ECD的角平分线相交于点F．求证：

∠AEC+2∠AFC＝360°；

（3）如图3，在

（2）的条件下，作AH∥CE，连接AC，AC恰好平分∠EAH，过点E作PQ⊥DC，交DC延长线于点Q，交HA延长线于点P，若∠APQ：

∠ECF＝5：

7，求∠CAG的度数．

6．问题：

已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．

（1）端点A、C同向：

如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝　　度；

如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝　　度．

（2）端点A、C反向：

如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC+（∠A﹣∠C）＝　　度

如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC与（∠A﹣∠C）有怎样的等量关系？

写出结论并说明理由．

7．[问题解决]如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．

[拓展延伸]如图2，上述结论还成立吗？

如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．

[拓展应用]如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．

若∠E1OEn＝m°直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）

8．已知∠AOB与∠EDC两个角，∠EDC保持不动，且∠EDC的一边CD∥AO，另一边DE与直线OB相交于点F．若∠AOB＝40°，∠EDC＝55°，完成下列各题：

（1）如图1，当点E，O，D在同一条直线上，即点O与点F重合时，∠BOE＝　　．

（2）当点E，O，D不在同一条直线上时，根据图2、图3分别求出∠BFE的大小．

9．

（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝58°，根据　　可得∠BCE＝　　°；

②如图2，在①的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠DCM＝　　°；

③如图3，在①、②的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN＝　　°．

（2）尝试解决下面问题：

已知如图4，AB∥CD，∠B＝42°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．

10．已知直线AB∥CD，M是直线AB上一点，N是直线CD上一点，点P在AB，CD之间．

（1）如图1，求证：

∠BMP+∠DNP＝∠MPN；

（2）如图2，NQ⊥CD，MQ⊥MP，若∠PND＝30°，∠MPN＝100°，直接写出∠MQN的度数．

参考答案

1．解：

（1）如图1，过点G作GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GH∥AB∥CD，

∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，

∵GM⊥GN，

∴∠MGN＝∠MGH+∠HGN＝∠AMG+∠CNG＝90°；

答：

∠AMG+∠CNG的度数为90°；

（2）如图2，过过点G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，

∵GK∥AB，AB∥CD，

∴GK∥CD，

∴∠KGN＝∠GND＝α，

∵GK∥AB，∠BMG＝40°，

∴∠MGK＝∠BMG＝40°，

∵MG平分∠BMP，

∴∠GMP＝∠BMG＝40°，

∴∠BMP＝80°，

∵ND平分∠GNP，

∴∠DNP＝∠GND＝α，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠QPN＝∠DNP＝α，

∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，

∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°．

2．解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∵∠BEF＝64°，

∴∠EFD＝180°﹣64°＝116°，

∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，

∴∠MFP＝

EFP，∠NFP＝

，

∴∠MFN＝

（∠EFP+∠PFD）＝

EFD＝

＝58°，

∵NH⊥FM，

∴∠NHF＝90°，

∴∠FNH＝180°﹣∠NHF﹣∠HFN＝180°﹣90°﹣58°＝32°；

（2）∠BEF＝2∠FNH，

证明：

设∠BEF＝x°，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∵∠BEF＝x°，

∴∠EFD＝180°﹣x°，

∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，

∴∠MFP＝

EFP，∠NFP＝

，

∴∠MFN＝

（∠EFP+∠PFD）＝

EFD＝

（180°﹣x°）＝90°﹣

x°，

∵NH⊥FM，

∴∠NHF＝90°，

∴∠FNH＝180°﹣∠NHF﹣∠HFN＝180°﹣90°﹣（90

x°）＝

x°，

即∠BEF＝2∠FNH．

3．解：

（1）∵AG⊥AC，∠GAB＝36°，

∴∠CAH＝90°﹣36°＝54°，

∵AB∥CD，

∴∠ACD+∠CAH＝180°，

∴∠ACD＝126°，

∵CM是∠ACD的平分线，

∴∠ACH＝∠DCM＝63°．

（2）∵∠ACH＝∠DCM，

∴∠ACD＝2∠MCD，

由

（1）得ACD+∠CAH＝180°，

∵AG⊥AC，

∴∠CAG＝90°，

∴2∠MCD+90°+∠GAB＝180°，

∴2∠MCD+∠GAB＝90°．

4．解：

（1）证明：

过点A作AD∥MN

∵MN∥PQ，AD∥MN

∴AD∥MN∥PQ

∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB

∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA

即：

∠A＝∠MCA+∠PBA；

（2）∵CD∥AB

∴∠A+∠ACD＝180°

∵∠ECM+∠ECN＝180°

又∠ECM＝∠ACD

∴∠A＝∠ECN；

（3）如图，延长CA交PQ于点H

∵∠ECM＝∠ACD，∠DCE＝∠ACE

∴∠MCA＝∠ACE＝∠ECD，

∵MN∥PQ

∴∠MCA＝∠AHB

∵∠CAB＝180°﹣∠BAH＝∠AHB+∠PBA，且由

（2）知∠CAB＝∠ECN

∴∠ABP＝∠NCD

设∠MCA＝∠ACE＝∠ECD＝x

由

（1）可知∠CFB＝∠FCN+∠

FBQ

∴∠CFB＝270﹣2x

由

（1）可知∠CGB＝∠MCG+∠GBP

∴

∴

解得：

x＝54°

∴∠AHB＝54°

∴∠ABP＝∠NCD＝180°﹣54°×3＝18°

∴∠CAB＝54°+18°＝72°．

5．解：

（1）如图1，过点E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠A+∠AEH＝180°，∠DCE+∠CEH＝180°，

∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝90°，

故答案为：

90；

（2）过点E作MN∥AB，过点F作PQ∥AB，

∵MN∥AB，PQ∥AB，CD∥AB，

∴AB∥MN∥PQ∥CD，

∵AB∥PQ，

∴∠AFP＝∠BAF，

又∵AF平分∠BAE，

∴∠BAE＝2∠BAF＝2∠AFP，

同理，∠ECD＝2∠CFP，

∵AB∥MN，

∴∠AEM＝∠BAE＝2∠AFP，

同理，∠CEM＝2∠CFP，

∴∠AEC+2∠AFC＝∠AEM+∠CEM+∠AEC＝360°；

（3）过P作MN∥AB，

∵∠APQ：

∠ECF＝5：

7，

∴可设∠APQ的度数为5m，则∠ECF度数为7m，

∴∠AHD度数＝90+5m，

∵CF平分∠ECD，

∴∠ECD度数为14m，

∵CE∥AH，

∴∠ECH＝∠AHD，

即14m＝90+5m，

解得：

m＝10，

∴∠BAH＝40°，

设∠CAG＝α，∠GAH＝β，

∵AC平分∠EAH，

∴∠EAC＝∠CAH＝α+β，

∴∠EAF＝2α+β，

∵AF平分∠EAB，

∴∠BAF＝∠EAF＝2α+β，

∴∠BAH＝2α＝2∠CAF＝40°，

∴∠CAG＝

∠BAH＝20°．

6．解：

（1）如图1，过点P作PE∥AB，

∴∠A＝∠APE，

∵AB∥CD，

∴EP∥CD，

∴∠C＝∠CPE，

∵∠APC＝∠APE+∠CPE，

∴∠APC＝∠A+∠C，

∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0°；

如图2，过点P作PF∥AB，

∴∠A+∠APF＝180°，

∵AB∥CD，

∴FP∥CD，

∴∠C+∠CPF＝180°，

∴∠A+∠APF+∠C+∠CPF＝360°，

∵∠APC＝∠APF+∠CPF，

∴∠APC+∠A+∠C＝360°，

即∠APC+（∠A+∠C）＝360°，

故答案为：

0，360；

（2）∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，

如图3，过点P作PG∥AB，

∴∠A+∠APG＝180°，

∵AB∥CD，

∴GP∥CD，

∴∠C＝∠CPG，

∵∠APG＝∠APC﹣∠CPG，

∴∠APC﹣∠C+∠A＝180°，

即∠APC+（∠A﹣∠C）＝180°，

如图4，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，理由如下：

过点P作PH∥AB，

∴∠A＝∠APH，

∵AB∥CD，

∴HP∥CD，

∴∠C+∠CPH＝180°，

∵∠CPH＝∠APC﹣∠APH，

∴∠APC﹣∠A+∠C＝180°，

即∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°．

故答案为：

180；

7．解：

[问题解决]∠1+∠2+∠3＝360°．理由如下：

过点O作OH∥AB，如图1，

∴∠1+∠EOH＝180°，

∵AB∥CD，

∴OH∥CD，

∴∠2+∠FOH＝180°，

∴∠1+∠EOH+2+∠FOH＝360°，

即∠1+∠2+∠3＝360°；

[拓展延伸]∠1＝∠2+∠3．理由如下：

过点O作OH∥AB，如图2，

∴∠1＝∠EOH，

∵AB∥CD，

∴OH∥CD，

∴∠2＝∠FOH，

又∵∠EOH＝∠3+∠FOH，

∴∠1＝∠2+∠3；

[拓展应用]过E2点作E2H2∥AB，过E3作E3H3∥AB，…，过点En﹣2作En﹣2Hn﹣2∥AB，过点En﹣1作En﹣1Hn﹣1∥AB，如图3，

∴∠AE1E2+∠E1E2H2＝∠H2E2E3+∠H3E3E2＝…＝∠Hn﹣2En﹣2+∠Hn﹣1En﹣1En﹣2＝∠Hn﹣1En﹣1En+∠En﹣1EnC＝180°，

∴∠AE1E2+∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝（n﹣1）•180°，

∵∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O，∠E1OEn＝m°，

∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnEn﹣1），

过点O作OH∥AB，

∴∠AE1O＝∠E1OH，

∵AB∥CD，

∴OH∥CD，

∴∠CEnO＝∠En﹣1OH，

∴∠AE1O+∠CEnO＝∠E1OEn＝m°，

∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2m°，

∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）═（n﹣1）•180°﹣2m°．

8．解：

（1）∵CD∥AO，

∴∠D＝∠AOE＝55°，

∵∠AOB＝40°，

∴∠BOE＝15°，

故答案为：

15°；

（2）①如图2，当点E，O，D不在同一条直线上时，过点F作GF∥AO．

∵CD∥AO，

∴GF∥CD．

∴∠GFE＝∠EDC＝55°，∠GFB＝∠AOB＝40°．

∴∠BFE＝∠GFE﹣∠GFB＝55°﹣40°＝15°；

②如图3，过点F作GF∥AO．

∵CD∥AO，

∴GF∥CD．

∴∠GFE＝∠EDC＝55°，∠GFB＝∠AOB＝40°．

∴∠BFE＝∠GFE+∠GFB＝55°+40°＝95°．

9．解：

（1）①已知AB∥CD，∠ABC＝58°，根据两直线平行，同旁内角互补；可得∠BCE＝122°；

故答案为：

两直线平行，同旁内角互补；122；

②∵AB∥CD，∠ABC＝58°，

∴∠BCD＝58°，

∵CM平分∠BCD，

∴∠BCM＝∠DCM＝

∠BCD＝29°；

故答案为：

29；

③∵CN⊥CM，

∴∠NCM＝90°，

∵∠DCM＝29°，

∴∠BCN＝61°；

故答案为：

61．

（2）∵AB∥CD，

∴∠B+∠BCE＝180°，

∵∠B＝42°，

∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣42°＝138°．

又∵CN是∠BCE的平分线，

∴∠BCN＝138°÷2＝69°．

∵CN⊥CM，

∴∠BCM＝90°﹣∠BCN＝90°﹣69°＝21°．

10．

（1）证明：

过P作PG∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥PG，

∴∠BMP＝∠MPG，∠GPN＝∠PND，

∴∠BMP+∠PND＝∠MPG+∠GPN，

∴∠MPN＝∠BMP+∠PND；

（2）解：

∵NQ⊥CD，MQ⊥MP，

∴∠QMP＝∠QND＝90°，

∵∠PND＝30°，

∴∠QNP＝90°﹣30°＝60°，

∵∠MPN＝100°，

∴∠MQN＝360°﹣100°﹣60°﹣90°＝110°．