苏科版数学八年级上册期末满分突破专练平行线性质的计算题四 1Word文件下载.docx

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7，求∠CAG的度数．

6．问题：

已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．

（1）端点A、C同向：

如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝　　度；

如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝　　度．

（2）端点A、C反向：

如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC+（∠A﹣∠C）＝　　度

如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC与（∠A﹣∠C）有怎样的等量关系？

写出结论并说明理由．

7．[问题解决]如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．

[拓展延伸]如图2，上述结论还成立吗？

如果成立，请证明；

如果不成立，请写出它们的关系．

[拓展应用]如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．

若∠E1OEn＝m°

直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）

8．已知∠AOB与∠EDC两个角，∠EDC保持不动，且∠EDC的一边CD∥AO，另一边DE与直线OB相交于点F．若∠AOB＝40°

，∠EDC＝55°

，完成下列各题：

（1）如图1，当点E，O，D在同一条直线上，即点O与点F重合时，∠BOE＝　　．

（2）当点E，O，D不在同一条直线上时，根据图2、图3分别求出∠BFE的大小．

9．

（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝58°

，根据　　可得∠BCE＝　　°

②如图2，在①的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠DCM＝　　°

③如图3，在①、②的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN＝　　°

（2）尝试解决下面问题：

已知如图4，AB∥CD，∠B＝42°

，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．

10．已知直线AB∥CD，M是直线AB上一点，N是直线CD上一点，点P在AB，CD之间．

∠BMP+∠DNP＝∠MPN；

（2）如图2，NQ⊥CD，MQ⊥MP，若∠PND＝30°

，∠MPN＝100°

，直接写出∠MQN的度数．

参考答案

1．解：

（1）如图1，过点G作GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GH∥AB∥CD，

∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，

∵GM⊥GN，

∴∠MGN＝∠MGH+∠HGN＝∠AMG+∠CNG＝90°

答：

∠AMG+∠CNG的度数为90°

（2）如图2，过过点G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，

∵GK∥AB，AB∥CD，

∴GK∥CD，

∴∠KGN＝∠GND＝α，

∵GK∥AB，∠BMG＝40°

，

∴∠MGK＝∠BMG＝40°

∵MG平分∠BMP，

∴∠GMP＝∠BMG＝40°

∴∠BMP＝80°

∵ND平分∠GNP，

∴∠DNP＝∠GND＝α，

∴PQ∥CD，

∴∠QPN＝∠DNP＝α，

∴∠MGN＝40°

+α，∠MPN＝80°

﹣α，

∴∠MGN+∠MPN＝40°

+α+80°

﹣α＝120°

2．解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°

∵∠BEF＝64°

∴∠EFD＝180°

﹣64°

＝116°

∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，

∴∠MFP＝

EFP，∠NFP＝

∴∠MFN＝

（∠EFP+∠PFD）＝

EFD＝

＝58°

∵NH⊥FM，

∴∠NHF＝90°

∴∠FNH＝180°

﹣∠NHF﹣∠HFN＝180°

﹣90°

﹣58°

＝32°

（2）∠BEF＝2∠FNH，

证明：

设∠BEF＝x°

∵∠BEF＝x°

﹣x°

（180°

）＝90°

﹣

x°

﹣（90

）＝

即∠BEF＝2∠FNH．

3．解：

（1）∵AG⊥AC，∠GAB＝36°

∴∠CAH＝90°

﹣36°

＝54°

∴∠ACD+∠CAH＝180°

∴∠ACD＝126°

∵CM是∠ACD的平分线，

∴∠ACH＝∠DCM＝63°

（2）∵∠ACH＝∠DCM，

∴∠ACD＝2∠MCD，

由

（1）得ACD+∠CAH＝180°

∵AG⊥AC，

∴∠CAG＝90°

∴2∠MCD+90°

+∠GAB＝180°

∴2∠MCD+∠GAB＝90°

4．解：

（1）证明：

过点A作AD∥MN

∵MN∥PQ，AD∥MN

∴AD∥MN∥PQ

∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB

∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA

即：

（2）∵CD∥AB

∴∠A+∠ACD＝180°

∵∠ECM+∠ECN＝180°

又∠ECM＝∠ACD

∴∠A＝∠ECN；

（3）如图，延长CA交PQ于点H

∵∠ECM＝∠ACD，∠DCE＝∠ACE

∴∠MCA＝∠ACE＝∠ECD，

∵MN∥PQ

∴∠MCA＝∠AHB

∵∠CAB＝180°

﹣∠BAH＝∠AHB+∠PBA，且由

（2）知∠CAB＝∠ECN

∴∠ABP＝∠NCD

设∠MCA＝∠ACE＝∠ECD＝x

由

（1）可知∠CFB＝∠FCN+∠

FBQ

∴∠CFB＝270﹣2x

由

（1）可知∠CGB＝∠MCG+∠GBP

∴

解得：

x＝54°

∴∠AHB＝54°

∴∠ABP＝∠NCD＝180°

﹣54°

×

3＝18°

∴∠CAB＝54°

+18°

＝72°

5．解：

（1）如图1，过点E作EH∥AB，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠A+∠AEH＝180°

，∠DCE+∠CEH＝180°

∴∠AEC＝360°

﹣∠A﹣∠DCE＝90°

故答案为：

90；

（2）过点E作MN∥AB，过点F作PQ∥AB，

∵MN∥AB，PQ∥AB，CD∥AB，

∴AB∥MN∥PQ∥CD，

∵AB∥PQ，

∴∠AFP＝∠BAF，

又∵AF平分∠BAE，

∴∠BAE＝2∠BAF＝2∠AFP，

同理，∠ECD＝2∠CFP，

∵AB∥MN，

∴∠AEM＝∠BAE＝2∠AFP，

同理，∠CEM＝2∠CFP，

∴∠AEC+2∠AFC＝∠AEM+∠CEM+∠AEC＝360°

（3）过P作MN∥AB，

∵∠APQ：

7，

∴可设∠APQ的度数为5m，则∠ECF度数为7m，

∴∠AHD度数＝90+5m，

∵CF平分∠ECD，

∴∠ECD度数为14m，

∵CE∥AH，

∴∠ECH＝∠AHD，

即14m＝90+5m，

m＝10，

∴∠BAH＝40°

设∠CAG＝α，∠GAH＝β，

∵AC平分∠EAH，

∴∠EAC＝∠CAH＝α+β，

∴∠EAF＝2α+β，

∵AF平分∠EAB，

∴∠BAF＝∠EAF＝2α+β，

∴∠BAH＝2α＝2∠CAF＝40°

∴∠CAG＝

∠BAH＝20°

6．解：

（1）如图1，过点P作PE∥AB，

∴∠A＝∠APE，

∴EP∥CD，

∴∠C＝∠CPE，

∵∠APC＝∠APE+∠CPE，

∴∠APC＝∠A+∠C，

∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0°

如图2，过点P作PF∥AB，

∴∠A+∠APF＝180°

∴FP∥CD，

∴∠C+∠CPF＝180°

∴∠A+∠APF+∠C+∠CPF＝360°

∵∠APC＝∠APF+∠CPF，

∴∠APC+∠A+∠C＝360°

即∠APC+（∠A+∠C）＝360°

0，360；

（2）∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°

如图3，过点P作PG∥AB，

∴∠A+∠APG＝180°

∴GP∥CD，

∴∠C＝∠CPG，

∵∠APG＝∠APC﹣∠CPG，

∴∠APC﹣∠C+∠A＝180°

即∠APC+（∠A﹣∠C）＝180°

如图4，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°

，理由如下：

过点P作PH∥AB，

∴∠A＝∠APH，

∴HP∥CD，

∴∠C+∠CPH＝180°

∵∠CPH＝∠APC﹣∠APH，

∴∠APC﹣∠A+∠C＝180°

即∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°

180；

7．解：

[问题解决]∠1+∠2+∠3＝360°

．理由如下：

过点O作OH∥AB，如图1，

∴∠1+∠EOH＝180°

∴OH∥CD，

∴∠2+∠FOH＝180°

∴∠1+∠EOH+2+∠FOH＝360°

即∠1+∠2+∠3＝360°

[拓展延伸]∠1＝∠2+∠3．理由如下：

过点O作OH∥AB，如图2，

∴∠1＝∠EOH，

∴∠2＝∠FOH，

又∵∠EOH＝∠3+∠FOH，

∴∠1＝∠2+∠3；

[拓展应用]过E2点作E2H2∥AB，过E3作E3H3∥AB，…，过点En﹣2作En﹣2Hn﹣2∥AB，过点En﹣1作En﹣1Hn﹣1∥AB，如图3，

∴∠AE1E2+∠E1E2H2＝∠H2E2E3+∠H3E3E2＝…＝∠Hn﹣2En﹣2+∠Hn﹣1En﹣1En﹣2＝∠Hn﹣1En﹣1En+∠En﹣1EnC＝180°

∴∠AE1E2+∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝（n﹣1）•180°

∵∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O，∠E1OEn＝m°

∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnEn﹣1），

过点O作OH∥AB，

∴∠AE1O＝∠E1OH，

∴∠CEnO＝∠En﹣1OH，

∴∠AE1O+∠CEnO＝∠E1OEn＝m°

∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2m°

∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）═（n﹣1）•180°

﹣2m°

8．解：

（1）∵CD∥AO，

∴∠D＝∠AOE＝55°

∵∠AOB＝40°

∴∠BOE＝15°

15°

（2）①如图2，当点E，O，D不在同一条直线上时，过点F作GF∥AO．

∵CD∥AO，

∴GF∥CD．

∴∠GFE＝∠EDC＝55°

，∠GFB＝∠AOB＝40°

∴∠BFE＝∠GFE﹣∠GFB＝55°

﹣40°

＝15°

②如图3，过点F作GF∥AO．

∴∠BFE＝∠GFE+∠GFB＝55°

+40°

＝95°

9．解：

（1）①已知AB∥CD，∠ABC＝58°

，根据两直线平行，同旁内角互补；

可得∠BCE＝122°

两直线平行，同旁内角互补；

122；

②∵AB∥CD，∠ABC＝58°

∴∠BCD＝58°

∵CM平分∠BCD，

∴∠BCM＝∠DCM＝

∠BCD＝29°

29；

③∵CN⊥CM，

∴∠NCM＝90°

∵∠DCM＝29°

∴∠BCN＝61°

61．

（2）∵AB∥CD，

∴∠B+∠BCE＝180°

∵∠B＝42°

∴∠BCE＝180°

﹣∠B＝180°

﹣42°

＝138°

又∵CN是∠BCE的平分线，

∴∠BCN＝138°

÷

2＝69°

∵CN⊥CM，

∴∠BCM＝90°

﹣∠BCN＝90°

﹣69°

＝21°

10．

（1）证明：

过P作PG∥AB，

∴AB∥CD∥PG，

∴∠BMP＝∠MPG，∠GPN＝∠PND，

∴∠BMP+∠PND＝∠MPG+∠GPN，

∴∠MPN＝∠BMP+∠PND；

（2）解：

∵NQ⊥CD，MQ⊥MP，

∴∠QMP＝∠QND＝90°

∵∠PND＝30°

∴∠QNP＝90°

﹣30°

＝60°

∵∠MPN＝100°

∴∠MQN＝360°

﹣100°

﹣60°

＝110°