小学数学竞赛第十二讲 整除问题一.docx

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小学数学竞赛第十二讲整除问题一

第十二讲整除问题

（一）

　　在学习整数除法时，我们已经知道：

　　被除数＝除数×商数＋余数

　　这里要求除数不为零，且余数小于除数。

当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或者b整除a，也把a叫作b的倍数，b叫4a的约数，记作b｜a。

　　如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，

　　很显然，1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a，0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a｜0。

　　一般来说，整数a是否能被整数b整除，只要真正作除法就可判断。

但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。

一、数的整除的特征

　　1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。

因此，有下面的结论：

末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。

偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。

　　2．末位数字为零的整数必被10整除。

这种数总可表为10k（其中k为整数）。

　　3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。

　　4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。

　　如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。

　　由于4｜96

　　能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。

能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。

　　5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。

　　由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

　　如判断765432是否能被8整除。

　　因为765432＝765000＋432

　　显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。

由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。

　　能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。

　　由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；

　　125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；

　　125×7＝875；125×8＝10000

　　故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。

　　6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。

　　如478323是否能被3（9）整除？

　　由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3

　　＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3

　　＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）

　　前一括号里的各项都是3（9）的倍数，因此，判断478323是否能被3（9）整除，只要考察第二括号的各数之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。

而第二括号内各数之和，恰好是原数478323各个数位上数字之和。

　　∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27是3（9）的倍数，故知478323是3（9）的倍数。

　　在实际考察4＋7＋8＋3＋2＋3是否被3（9）整除时，总可将3（9）的倍数划掉不予考虑。

　　即考虑被3整除时，划去7、2、3、3，只看4＋8，考虑被9整除时，由于7＋2＝9，故可直接划去7、2，只考虑4＋8＋3＋3即可。

　　如考察9876543被9除时是否整除，可以只考察数字和（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3）是否被9整除，还可划去9、5＋4、6＋3，即只考察8

　　如问3是否整除9876543，则先可将9、6、3划去，再考虑其他数位上数字之和。

由于3|（8＋7＋5＋4），故有3|9876543。

　　实际上，一个整数各个数位上数字之和被3（9）除所得的余数，就是这个整数被3（9）除所得的余数。

　　7．一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。

（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。

）

　　如判断42559能否被11整除。

　　42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9

　　＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）

　　＋5×（11－1）＋9

　　＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋

　　（4－2＋5－5＋9）

　　＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋

　　（4－2＋5－5＋9）

　　前一部分显然是11的倍数。

因此判断42559是否11的倍数只要看后一部分4－2＋5－5＋9是否为11的倍数。

　　而4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9）－（2＋5）恰为奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和的差。

　　由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11是11的倍数，故42559是11的倍数。

　　现在要判断7295871是否为11的倍数，只须直接计算（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是否为11的倍数即可。

由25－14＝11知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是1的倍数，故11|7295871。

　　上面所举的例子，是奇数位数字和大于偶数位数字和的情形。

如果奇数位数字和小于偶数位数字和（即我们平时认为“不够减”），那么该怎么办呢？

　　如867493的奇数位数字和为3＋4＋6，而偶数位数字和为9＋7＋8。

显然3＋4＋6小于9＋7＋8，即13小于24。

　　遇到这种情况，可在13－24这种式子后面依次加上11，直至“够减”为止。

　　由于13－24＋11＝0，恰为11的倍数，所以知道867493必是11的倍数。

　　又如738292的奇数位数字和与偶数位数字和的差为

　　（2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24

　　7－24＋11＋11＝5（加了两次11使“够减”）。

由于5不能被11整除，故可立即判断738292不能被11整除。

　　实际上，一个整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11除所得的余数（不够减时依次加11直至够减为止）。

　　同学们还会发现：

任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被11整除。

　　如186这个三位数，连写两次成为六位数186186。

由于这个六位数的奇数位数字和为6＋1＋8，偶数位数字和为8＋6＋1，它们的差恰好为零，故186186是11的倍数。

数位数字和为c＋a＋b，偶数位数字和为b＋c＋a，它们的差恰为零，

　　象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被7整除呢？

　　如186186被7试除后商为26598，余数为零，即7｜186186。

能否不做186186÷7，而有较简单的判断办法呢？

　　由于186186＝186000＋186

　　＝186×1000＋186

　　＝186×1001

　　而1001＝7×11×13，所以186186一定能被7整除。

　　这就启发我们考虑，由于7×11×13＝1001，故若一个数被1001整除，则这个数必被7整除，也被11和13整除。

　　或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为1001的倍数，另一部分为7（11或13）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。

　　如判断2839704是否是7的倍数？

　　由于2839704＝2839000＋704

　　＝2839×1000＋704

　　＝2839×1001－2839＋704

　　＝2839×1001－（2839－704）

　　∵2839－704＝2135是7的倍数，所以2839704也是7的倍数；2135不是11（13）的倍数，所以2839704也不是11（13）的倍数。

　　实际上，对于283904这样一个七位数，要判断它是否为7（11或13）的倍数，只需将它分为2839和704两个数，看它们的差是否被7（11或13）整除即可。

　　又如判断42952是否被13整除，可将42952分为42和952两个数，只要看952－42＝910是否被13整除即可。

由于910＝13×70，所以13|910，

　　8．一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

　　另法：

将一个多位数从后往前三位一组进行分段。

奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。

　　如3546725可分为3，546，725三段。

奇数段的和为725＋3＝728，偶数段为546，二者的差为

　　728－546＝182＝7×26＝7×2×13

二、整除的几条性质

　　整除的以下性质是最基本的，也是最常用的。

（1）a｜a（a为非零整数）；

（2）若a｜b，且b｜a，那么a＝b；

　　（3）若c｜b，且b｜a，那么c｜a；

　　（4）若c｜a，且c｜b那么c｜（a＋b）；若a≥b，那么c｜（a－b）；

　　（5）若m是非零整数，且b｜a，则必有bm｜am；反之，若bm｜am，则必有b｜a；

　　（6）如果b｜a，c｜a，且b、c没有除1以外的公共约数（此时称b、c互质），那么bc｜a。

　　对于（3），如由2｜4，4｜12，可推出2｜12。

　　对于（4），如由4｜36，4｜16，可推出4｜（36＋16），4｜（36－16）。

　　对于（5），如由3｜9可推出3×4｜9×4。

反之，由3×4｜9×4可推出3｜9。

　　对于（6），如由3｜24，2｜24，且3和2之间没有1以外的公共约数（即3与2互质），可推出3×2｜24。

这一性质在很多情况下将被多次使用。

例1求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。

分析：

由于要求被9整除，可只考虑数字和、又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。

解：

一个以5为首位的六位数5×××××，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。

　　但是501234的数字和为5＋0＋1＋2＋3＋4＝15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7。

这时，5＋0＋1＋2＋3＋7＝18是9的倍数，故501237是9的倍数。

　　即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小的六位数。

例2老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。

你能帮助补上这两个数字吗？

（□13.7□元，□中为看不清的数字）。

分析：

首先将□13.7□元化为分，这样总钱数就是□137□分（整数分）。

由于每本书价格相同，所以72｜□137□。

但72＝8×9，所以8和9都应整除□137□。

　　由于8整除□137□，所以8｜37□。

由此可知，当37□＝376时，才有8｜376。

故原数为□1376。

　　又由于9整除□1376，所以其数字和□＋1＋3＋7＋6必为9的倍数。

　　即9｜（□＋17）。

而□只能是1到9中的某个数，所以□只能是1。

　　因此，原数为11376分，即113.76元。

例3在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能的小。

数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：

（1）数字和（5＋6＋8＋a＋b＋c）是3的倍数；

　　（3）末位c为0或5。

　　又因3｜（5＋6＋8＋a＋b＋c），即3｜（5＋6＋8＋a＋b＋0），所以

　　当b＝2时，3｜（5＋6＋8＋a＋2），a可为0，3，6，9。

　　当b＝4时，3｜（5＋6＋8＋a＋4），a可为1，4，7。

　　当b＝6时，3｜（5＋6＋8＋a＋6），a可为2，5，8。

　　当b＝8时，3｜（5＋6＋8＋a＋8），a可为0，3，6，9

　　当b＝0时，3｜（5＋6＋8＋a＋0），a可为2，5，8。

例4求能被26整除的六位数□1993□。

分析与解：

由于26＝2×13，所以所求六位数□1993□应分别被2和13整除。

　　被2整除的数个位只能是0，2，4，6，8；所求六位数被13整除，必有□19与93□的差（93□－□19）是13的倍数。

（1）当原数个位为0时，930＝71×13＋7，故□19也应满足被13除余7。

　　□19＝100×□＋13＋6＝7×13×□＋9×□＋13＋6

　　＝13（7×□＋1）＋9×□＋6

　　即9×□＋6＝13K＋7

　　∴9×□－1应是13的倍数，故□只能是3。

即六位数为319930。

（2）当原数个位数为2时，932＝71×13＋9，故□19也应满足被13除余9。

　　由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6

　　∴9×□＋6＝13K＋9，故9×□－3应是13的倍数，□只能是9。

即六位数为919932。

　　（3）当原数个位数为4时，934＝71×13＋11，故□19也应被13除余11。

　　由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6

　　∴9×□＋6＝13K＋11，即9×□－5应是13的倍数，故□只能是2。

即六位数为219934。

　　（4）当原数个位数为6时，936＝72×13，所以□19也应被13整除。

　　由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6

　　∴9×□＋6＝13K，9×□－7＋13＝13K，故9×□－7应是13的倍数，□只能是8。

即六位数为819936。

　　（5）当原数个位数为8时，938＝72×13＋2，故□19也应被13除余2。

　　由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6

　　∴9×□＋6＝13K＋2，即9×□＋4应是13的倍数，□只能是1。

即六位数为119938。

　　综合以上情况，满足条件的六位数有：

　　319930，919932，219934，819936，119938，共五个。

例5将自然数1，2，3…依次写下去组成一个数12345678910111213…。

如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，问这个自然数是多少？

分析与解：

由于要求恰好第一次能被72整除，因此，应以从前往后的顺序去寻找。

　　如果先考虑被8整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是8的倍数。

　　因而依次看三位数

　　234，456，678，810，112，314，516，718，192，920，202，212，122，222，232，324，242，252，526，262，272，728，282，930，132，334，536，738，394…中哪些是8的倍数。

　　如知456、112为8的倍数，就要再看123456以及123456789101112是否为9的倍数。

由于123456的数字和为21，123456789101112的数字和为56，都不是9的倍数，所以不满足题目的条件。

满足条件的数要在其它8的倍数中寻找。

　　象这样试验三位偶数能否被8整除，速度较慢，由于被8整除的数一定能被4整除，故只须对被4整除的数（这种数极易看出）进行检验即可。

　　经检验，形如123456…，末三位为516，192、920，232、272、728的自然数都不是9的倍数。

而当末三位为536时，才满足题目的条件，即

　　123456789101112…33343536

　　恰被72整除，故所求自然数为36。

　　现在换一种方法，先考虑被9整除，再考虑被8整除，由于数123456789101112…18192021…前九个数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过九的数是否被整除时，前九个数字可不再看；

　　接下来，由于101112131415161718的数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过27位的数是否被9整除时，前27个数字可不再看；

　　1920212223242526的数字之和为36，是9的倍数，因而在考察位数超过43位的数是否是9的倍数时，前43个数字可不再看；

　　272829303的数字的之和为36，是9的倍数，因而在考察位数超过52位的数是否被9整除时，前52个数字可不再看；

　　1323的数字和为9，因而在考察位数超过56位的数是否被9整除时，前56个数字可不再看；

　　33343536的数字和为27，因而在考察位数超过63位的数是否被9整除时，前63个数字可不看。

　　以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为9的倍数，即

　　123456789｜101112131415161718｜1920212223242526｜27｜2829303｜132333435｜36｜…

　　然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为8的倍数。

　　789、718、526、627、303、435都不是8的倍数，但536是8的倍数。

　　即写到36时，第一次恰好是72的倍数。

　　这样做比先考虑被8整除，后考虑被9整除要快速简单得多。