高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何.docx

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高中数学竞赛教材讲义第十六章平面几何

2019-2020年高中数学竞赛教材讲义第十六章平面几何

一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）

梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则

梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若则三点共线。

塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则

塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是

广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB•CD+BC•AD≥AC•BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。

斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有

AP2=AB2•+AC2•-BP•PC.

西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。

九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。

蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。

（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）

欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且

二、方法与例题

1．同一法。

即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。

例1在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：

A，P，Q三点共线。

[证明]设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有

，②，③④

由②，③，④得。

又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。

2．面积法。

例2见图16-1，◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：

AP为∠BPD的平分线。

[证明]设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则

又因为S◇ABCD=SΔADF，又BE=DF。

所以h1=h2，所以PA为∠BPD的平分线。

3．几何变换。

例3（蝴蝶定理）见图16-2，AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。

求证：

PM=MQ。

[证明]由题设OMAB。

不妨设。

作D关于直线OM的对称点。

连结，则

要证PM=MQ，只需证，又∠MDQ=∠PFM，所以只需证F，P，M，共圆。

因为∠=1800-=1800-∠=1800-∠。

（因为OM。

AB//）

所以F，P，M，四点共圆。

所以Δ≌ΔMDQ。

所以MP=MQ。

例4平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：

存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。

[证明]在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A1，B1，C1，则ΔABC与ΔA1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。

4．三角法。

例5设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。

[解]见图16-3，记∠ADE=α，∠EDC=β，

由题设∠FDA=-α，∠BDF=-β，

由正弦定理：

，

得

，

又由角平分线定理有，又，所以

，

化简得，同理，即

所以，所以sinβcosα-cosβsinα=sin（β-α）=0.

又-π<β-α<π,所以β=α。

所以，所以A=π。

5．向量法。

例6设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：

PA+PB+PC>3PG.

[证明]因为

，又G为ΔABC重心，所以

（事实上设AG交BC于E，则，所以）

所以，所以

又因为不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。

6．解析法。

例7H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：

X，Y，Z三点共线。

[解]以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角坐标系，用（xk,yk）表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为，直线HL斜率为，直线HL的方程为x（xP-xA）+y（yP-yA）=0.

又直线HA的斜率为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,②又点C在直线BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.

同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.

又因为X是BC与HL的交点，所以点X坐标满足①式和②式，所以点X坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB.④同理点Y坐标满足xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤点Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA.

由③知④，⑤，⑥表示同一直线方程，故X，Y，Z三点共线。

7．四点共圆。

例8见图16-5，直线l与⊙O相离，P为l上任意一点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：

直线AB过定点。

[证明]过O作OCl于C，连结OA，OB，BC，OP，设OP交AB于M，则OPAB，又因为OAPA，OBPB，OCPC。

所以A，B，C都在以OP为直径的圆上，即O，A，P，C，B五点共圆。

AB与OC是此圆两条相交弦，设交点为Q，

又因为OPAB，OCCP，

所以P，M，Q，C四点共圆，所以OM•OP=OQ•OC。

由射影定理OA2=OM•OP，所以OA2=OQ•OC，所以OQ=（定值）。

所以Q为定点，即直线AB过定点。

三、习题精选

1．⊙O1和⊙O2分别是ΔABC的边AB，AC上的旁切圆，⊙O1与CB，CA的延长线切于E，G，⊙O2与BC，BA的延长线切于F，H，直线EG与FH交于点P，求证：

PABC。

2．设⊙O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证：

E，O，F三点共线。

3．已知两小圆⊙O1与⊙O2相外切且都与大圆⊙O相内切，AB是⊙O1与⊙O2的一条外公切线，A，B在⊙O上，CD是⊙O1与⊙O2的内公切线，⊙O1与⊙O2相切于点P，且P，C在直线AB的同一侧，求证：

P是ΔABC的内心。

4．ΔABC内有两点M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求证：

5．ΔABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点M，直线FD和AC相交于点N，求证：

（1）OBDF，OCDE；

（2）OHMN。

6．设点I，H分别是锐角ΔABC的内心和垂心，点B1，C1分别是边AC，AB的中点，已知射线B1I交边AB于点B2（B2≠B），射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于点K，A1为ΔBHC的外心。

试证：

A，I，A1三点共线的充要条件是ΔBKB2和ΔCKC2的面积相等。

7．已知点A1，B1，C1，点A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上，B2C1交B1C2于点M，C1A2交A1C2于点N，B1A2交B2A1于L。

求证：

M，N，L三点共线。

8．ΔABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。

9．ΔABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为，求证：

三点共线的充要条件是OH=2R。

2019-2020年高中数学竞赛教材讲义第十四章极限与导数

一、基础知识

1．极限定义：

（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f（x）极限为A，称右极限。

类似地表示x小于x0且趋向于x0时f（x）的左极限。

2．极限的四则运算：

如果f（x）=a,g（x）=b，那么[f（x）±g（x）]=a±b,[f（x）•g（x）]=ab,

3.连续：

如果函数f（x）在x=x0处有定义，且f（x）存在，并且f（x）=f（x0），则称f（x）在x=x0处连续。

4．最大值最小值定理：

如果f（x）是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f（x）在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：

若函数f（x）在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy（Δy=f（x0+Δx）-f（x0））.若存在，则称f（x）在x0处可导，此极限值称为f（x）在点x0处的导数（或变化率），记作（x0）或或，即

。

由定义知f（x）在点x0连续是f（x）在x0可导的必要条件。

若f（x）在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

导数的几何意义是：

f（x）在点x0处导数（x0）等于曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：

（1）=0（c为常数）；

（2）（a为任意常数）；（3）（4）;（5）;（6）;（7）；（8）

7．导数的运算法则：

若u（x）,v（x）在x处可导，且u（x）≠0,则

（1）

；

（2）

；（3）（c为常数）；（4）；（5）

。

8．复合函数求导法：

设函数y=f（u）,u=（x），已知（x）在x处可导，f（u）在对应的点u（u=（x））处可导，则复合函数y=f[（x）]在点x处可导，且（f[（x）]=.

9.导数与函数的性质：

（1）若f（x）在区间I上可导，则f（x）在I上连续；

（2）若对一切x∈（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递增；（3）若对一切x∈（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递减。

10．极值的必要条件：

若函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则

11.极值的第一充分条件：

设f（x）在x0处连续，在x0邻域（x0-δ,x0+δ）内可导，

（1）若当x∈（x-δ,x0）时，当x∈（x0,x0+δ）时，则f（x）在x0处取得极小值；

（2）若当x∈（x0-δ，x0）时，当x∈（x0,x0+δ）时，则f（x）在x0处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：

设f（x）在x0的某领域（x0-δ,x0+δ）内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。

（1）若，则f（x）在x0处取得极小值；

（2）若，则f（x）在x0处取得极大值。

13．罗尔中值定理：

若函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且f（a）=f（b），则存在ξ∈（a,b），使

[证明]若当x∈（a,b），f（x）≡f（a），则对任意x∈（a,b），.若当x∈（a,b）时，f（x）≠f（a），因为f（x）在[a,b]上连续，所以f（x）在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f（a），不妨设最大值m>f（a）且f（c）=m，则c∈（a,b），且f（c）为最大值，故，综上得证。

14．Lagrange中值定理：

若f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则存在ξ∈（a,b），使

[证明]令F（x）=f（x）-,则F（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且F（a）=F（b），所以由13知存在ξ∈（a,b）使=0，即

15．曲线凸性的充分条件：

设函数f（x）在开区间I内具有二阶导数，

（1）如果对任意x∈I,,则曲线y=f（x）在I内是下凸的；

（2）如果对任意x∈I,,则y=f（x）在I内是上凸的。

通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

16．琴生不等式：

设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。

（1）若f（x）是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f（a1x1+a2x2+…+anxn）≤a1f（x1）+a2f（x2）+…+anf（xn）.

二、方法与例题

1．极限的求法。

例1求下列极限：

（1）；

（2）；（3）

；（4）

[解]

（1）=；

（2）当a>1时，

当0

当a=1时，

（3）因为

而

所以

（4）

例2求下列极限：

（1）（1+x）（1+x2）（1+）…（1+）（|x|<1）；

（2）；（3）。

[解]

（1）（1+x）（1+x2）（1+）…（1+）

=

（2）

=

（3）

=

2．连续性的讨论。

例3设f（x）在（-∞,+∞）内有定义，且恒满足f（x+1）=2f（x），又当x∈[0,1）时，f（x）=x（1-x）2，试讨论f（x）在x=2处的连续性。

[解]当x∈[0,1）时，有f（x）=x（1-x）2，在f（x+1）=2f（x）中令x+1=t，则x=t-1，当x∈[1,2）时，利用f（x+1）=2f（x）有f（t）=2f（t-1），因为t-1∈[0,1）,再由f（x）=x（1-x）2得f（t-1）=（t-1）（2-t）2,从而t∈[1,2）时,有f（t）=2（t-1）•（2-t）2；同理，当x∈[1,2）时，令x+1=t，则当t∈[2,3）时，有f（t）=2f（t-1）=4（t-2）（3-t）2.从而f（x）=

所以

所以

，所以f（x）=f（x）=f

（2）=0，所以f（x）在x=2处连续。

3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

[解]因为点（2,0）不在曲线上，设切点坐标为（x0,y0），则，切线的斜率为，所以切线方程为y-y0=，即。

又因为此切线过点（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-（x-2），即x+y-2=0.

4．导数的计算。

例5求下列函数的导数：

（1）y=sin（3x+1）；

（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=（1-2x）x（x>0且）。

[解]

（1）

3cos（3x+1）.

（2）

（3）

（4）

（5）

5．用导数讨论函数的单调性。

例6设a>0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x∈（0,+∞））的单调区间。

[解]

，因为x>0,a>0，所以x2+（2a-4）x+a2>0；x2+（2a-4）x+a+<0.

（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+（2a-4）x+a2>0，即（x）>0,f（x）在（0,+∞）上单调递增；

（2）当a=1时，对x≠1,有x2+（2a-4）x+a2>0，即，所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f（x）在x=1处连续，因此f（x）在（0,+∞）内递增；（3）当00，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f（x）在（0,2-a-）内单调递增，在（2-a+,+∞）内也单调递增，而当2-a-

6．利用导数证明不等式。

例7设，求证：

sinx+tanx>2x.

[证明]设f（x）=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，

（因为0f（0）=0，即sinx+tanx>2x.

7.利用导数讨论极值。

例8设f（x）=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f（x）在x1与x2处是取得极大值还是极小值。

[解]因为f（x）在（0,+∞）上连续，可导，又f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以

解得

所以

.

所以当x∈（0,1）时，，所以f（x）在（0,1]上递减；

当x∈（1,2）时，，所以f（x）在[1，2]上递增；

当x∈（2,+∞）时，，所以f（x）在[2，+∞）上递减。

综上可知f（x）在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。

例9设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x的最小值。

[解]首先，当x∈[0,π],y∈[0,1]时，

f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x=（1-y）2x

=（1-y）2x

，令g（x）=,

当时，因为cosx>0,tanx>x，所以；

当时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；

又因为g（x）在（0,π）上连续，所以g（x）在（0,π）上单调递减。

又因为0<（1-y）xg（x），即，

又因为，所以当x∈（0,π）,y∈（0,1）时，f（x,y）>0.

其次，当x=0时，f（x,y）=0；当x=π时，f（x,y）=（1-y）sin（1-y）π≥0.

当y=1时，f（x,y）=-sinx+sinx=0；当y=1时，f（x,y）=sinx≥0.

综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f（x,y）取最小值0。

三、基础训练题

1．=_________.

2．已知，则a-b=_________.

3．

_________.

4．_________.

5．计算

_________.

6．若f（x）是定义在（-∞,+∞）上的偶函数，且存在，则_________.

7．函数f（x）在（-∞,+∞）上可导，且，则

_________.

8．若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_________.

9．函数f（x）=x-2sinx的单调递增区间是_________.

10．函数的导数为_________.

11．若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.

12.求sin290的近似值。

13．设0

四、高考水平练习题

1．计算=_________.

2．计算_________.

3．函数f（x）=2x3-6x2+7的单调递增区间是_________.。

4．函数的导数是_________.

5．函数f（x）在x0邻域内可导，a,b为实常数，若，则

_________.

6．函数f（x）=ex（sinx+cosx）,x的值域为_________.

7．过抛物线x2=2py上一点（x0,y0）的切线方程为_________.

8．当x>0时，比较大小：

ln（x+1）_________x.

9.函数f（x）=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________.

10．曲线y=e-x（x≥0）在点M（t,e-t）处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为_________.

11．若x>0，求证：

（x2-1）lnx≥（x-1）2.

12．函数y=f（x）在区间（0,+∞）内可导。

导函数是减函数，且>0，x0∈（0,+∞）.y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程，另设g（x）=kx+m，

（1）用x0,f（x0）,表示m；

（2）证明：

当x∈（0,+∞）时，g（x）≥f（x）；（3）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥在（0,+∞）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。

13.设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn+,证明：

xn≤1（n∈N+）.

五、联赛一试水平训练题

1．设Mn={（十进制）n位纯小数0•只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则_________.

2．若（1-2x）9展开式的第3项为288，则_________.

3．设f（x）,g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，

，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集为_________.

4．曲线与的交点处的切线夹角是_________.

5．已知a∈R+，函数f（x）=x2eax的单调递增区间为_________.

6．已知在（a,3-a2）上有最大值，则a的取值范围是_________.

7．当x∈（1,2]时，f（x）=恒成立，则y=lg（a2-a+3）的最小值为_________.

8．已知f（x）=ln（ex+a）（a>0），若对任意x∈[ln（3a）,ln（4a）]，不等式|m-f-1（x）|+ln[]<0恒成立，则实数m取值范围是_________.

9.已知函数f（x）=ln（1+x）-x,g（x）=xlnx,

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）设0

0

10.

（1）设函数f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）（0

（2）设正数p1,p2,…,满足p1+p2+p3+…+=1，求证：

p1log2p1+p2log2p2+…+log2≥-n.

11.若函数gA（x）的定义域A=[a,b），且gA（x）=,其中a,b为任意的正实数，且a

（1）求gA（x）的最小值；

（2）讨论gA（x）的单调性；

（3）若x1∈Ik=[k2,（k+1）2],x2∈Ik+1=[（k+1）2,（k+2）2]，证明：

六、联赛二试水平训练题

1．证明下列不等式：

（1）

；

（2）。

2．当0

3．已知x,y∈（0,1）求证：

xy+yx>1.