对数平均不等式专题训练.docx

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对数平均不等式专题训练

对数平均不等式

1.定义：

设a,b0,ab,则ababab其中ab被称为

2lnalnblnalnb

对数平均数

2.几何解释：

反比例函数fx1x0的图象，如图所示，

x

APBCTUKV，MNCDx轴，Aa,0,Pa,1,Bb,0,Qb,1,ab

Tab,1,作fx在点Kab,2处的切线分别与AP,BQ交于ab2ab

因为S曲边梯形ABQP>S梯形ABFE=S矩形ABNM，所以

b12

dx=lnb-lna>（b-a）

axa+b

11

2（lnb-lna）=2S曲边梯形ABQP，

根据右图可知，

b-a

S曲边梯形AUTP

b（b-a）

桫a+b÷（b-a）

综上，结合重要不等式可知：

1（b-a）<2（ba）

1+1÷（b-a）<1（b-a），即ba+bab2?

桫ab÷a

b>a+b>b-a>ab>2>a（b>a>0）.④

2lnb-lna1+1

a+b

等价变形：

lnalnb2（ab）.（ab0）

ab

3.典例剖析

对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以

用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含

多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．

b>lnbb--lana>a（a>0）的应用

例1（2014年陕西）设函数f（x）ln（1x），g（x）xf（x）其中f（x）

是f（x）的导函数．

（1）

（2）（略）

3）设nN，比较g1g2gn与nfn的大小，并加

以证明．

解析（3）因为gxx，

1x

而nfnnlnn1，因此，比较g1g2gn与nfn的大小，即只需比较1213n11与lnn1的大小即可．

根据b>a>0时，b>b-a，即1（b-a）

lnb-lnab

1

令a=n,b=n+1,则

n+1

111

所以ln2ln1ln2，ln3ln2，,ln（n1）lnn，

23n1

将以上各不等式左右两边相加得：

111lnn1，

23n1

故g1g2gnnfn.

评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．

当b>a>0时，b-a>a，即lnb-lna<1（b-a）,令a=n,b=n+1,lnb-lnaa

全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）

1111

则ln（n+1）-lnn<,可得：

ln（n+1）<1+++L+.

n23n

明：

Snlnn1．

根据b>a>0时，a+2b>lnbb--lana，即

a+2b>lnbb--lana（b>a>0）的应用

111

例3.设数列an的通项an1，证明：

anln2n1．

23n

解析根据b>a>0时，a+2b>lnbb--lana，即lnb-lna>2（ab+-ba），

1

令b=2n+1,a=2n-1,则ln（2n+1）-ln（2n-1）>，易证anln2n1．

n

（1,f

（1））处的切线方程为y=x-1．

1）用a表示出b,c；

（2）（略）

解析

（1）b=a-1,c=1-2a；

ln（n+1）-lnn<12?

桫1n+n+11÷÷,将以上各不等式左右两边分别相加得：

11

++

n÷2（n+1）

11111

即ln（n+1）<1++++L++

234n2（n+1）

故1+12+13+L+1n>ln（n+1）+2（nn+1）

五）lnbb--lana>ab（b>a>0）的应用

例5.（2014福建预赛）已知f（x）aln（x1）13x1．x1

（1）（略）

切正整数n均成立．

4122142321434214nn21141ln（2n1）对一切正整数n均

成立．

评注本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值a2时，

2ln（x1）13x10,即13x12lnx1，结合待证不等式的x1x1

1），

特征，

整理得：

8k82k1k11

48kk2812ln22kk11，即4kk21141ln2k1ln2k1,借此作

令x2k21kN*，得

1

2

1

2k1

3

2

2k1

12ln（

2

2k1

为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？

对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：

通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.

强化训练

1.（2012年天津）已知函数fxxlnxaa0的最小值为

0．

（1）

（2）

n2

（略）（3）证明：

ln2n12nN*.

i12i1

解析

（3）易求a1，待证不等式等价于

2222ln2n1．

3572n1

根据b>a>0时，b>b-a，即（b-a）

令a=2n-

22

1,b=2n+1,则=

2

3

22

ln1,

57

2（n+21）-1

加得：

ln2n1

22222

3572n12n1

x1x2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数fxln1x

1x

（1）若x0时,fx0,求的最小值；

111

2）设数列an的通项an1111，证明：

23n

1

a2nanln2．

4n2

解析

（1）易得f00,fx12x2x．

（1x）2

12

令fx0,则x0,x,

若0，则当x0时，fx0,fx是增函数，fxf00,

112

不符合题意；若0，则当0x时，fx0,fx是

2

1

增函数，fxf00,不符合题意；若12，则当x0时，

fx0,fx是减函数，fxf00,符合题意；综上，的

1

最小值是12．

（2）当b>a>0时，lnbb--lana>1+21，即nlbnl-a<121?

桫a1+bb÷（a-），

+

ab

令a=n,b=n+1,则ln（n+1）-lnn<1?

1+1÷,

2?

桫nn+1÷

所以ln（n+1）-lnn<12?

桫n1+n+11÷,

ln（n+2）-ln（n+1）<21?

桫n1+1+n+12÷÷,ln（n+3）-ln（n+2）<21?

桫n+12+n+13÷,Lln2n-ln（2n-1）<1?

1+1÷,将以上各不等式左右两边分

2?

桫2n-12n÷

别相加得：

1

评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值12时，

x2x1

ln1xx0加以赋值，并进行变形，令x1，有

22xk

111

亦即ln1klnk

2kk1

达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式

链的方法简捷

2

121（b>a>0）的应用+

ab