完整版高等数学同济版多元函数微分学练习题册doc.docx
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第八章多元函数微分法及其应用
第一作
一、填空：
1.
函数
z
ln（1
2
）
yx
23
x
y
的定义域为
x
1
2.
函数f（x,y,z）
arccos
z
的定义域为
y2
x2
3.设f（x,y）x2
y2,
（x）
cosx,
（x）
sinx,则f[（x）,（x）]
.
sinxy
.
4.lim
x
ya
x0
二、（）：
1.
函数
1
的所有断点是:
sinxsiny
（A）x=y=2nπ（n=1,2,3,⋯）；
（B）x=y=nπ（n=1,2,3,⋯）；
（C）x=y=mπ（m=0,±1，±2，⋯）；
（D）x=nπ,y=mπ（n=0,±1，±2，⋯，m=0,±1,±2,⋯）。
答：
（
）
sin2（x2
y2
x2
y2
0
2.函数f（x,y）
x2
y2
在点（0，0）：
2,
x2
y2
0
（A）无定；
（B）无极限；
（C）有极限但不；
（D）。
答：
（
）
三、求lim
2
xy
4.
x
0
xy
y
a
四、明极限lim
x2y2
2不存在。
22
x
0
x
y
（xy）
y
0
71/13
第二节作业
一、填空题：
1
sin（x2y）,xy
0
1.设f（x,y）
xy
则fx（0,1）
.
x2
xy
0
2.设f（x,y）
x
（y1）arcsin
x,则fx（x,1）
.
y
二、选择题（单选）：
设z2xy2,则zy等于:
（A）y2xy2
ln4;（B）（xy2）2yln4;（C）2y（xy2）exy2;（D）2y4xy2.
答：
（
）
三、试解下列各题：
1.设zlntanx,求z,
z.
2.设z
arctany,求
2z.
y
x
y
x
xy
四、验证r
x2
y2
z2满足
2r
2r
2r
2.
x2
y2
z2
r
第三节作业
一、填空题：
1.
函数
z
y当
x2,y
时的全增量
z
全微分值
x
1,x0.1,y0.2
dz
.
y
2.
设z
ex,则dz
.
二、选择题（单选）：
1.函数z=f（x,y）在点P0（x0,y0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：
（A）充分条件；（B）充要条件；（C）必要条件；（D）无关条件。
答：
（）
72/13
2.f（x,y）在（x0,y0）处两个偏导数fx（x0,y0）,fy（x0,y0）存在是f（x,y）在该点连续的：
（A）充分必要条件；（B）必要非充分条件；
（C）充分非必要条件；（D）既非充分亦非必要条件。
答：
（）
三、试解下列各题：
1.设zxyx,求dz.2.设uxyz,求du.
y
3.求函数zln（1x2y2）当x1,y2时的全微分.
4.设zarccos
x
求dz.
x2
y2
四、证明：
f（x,）xy在点（0,0）处的偏导数存在，但在点（0,0）处不可微。
第四节作业
一、填空题：
1.设zex2y,而x
sint,yt3,则dz
.
dt
73/13
2.设z
u2lnv,而u
x,v3x2y,则z
.
y
x
3.设z
f（xy,x
y）,f可微,则dz
.
二、选择题（单选）：
1.设u
（xy）z,而z
x2
y2,则ux
uy等于:
（A）2[z（x
y）z
1
（x
y）（xy）zln（xy）];
（B）2z（x
y）z;
（C）2（x
y）z（x
y）ln（xy）;
（D）2（x
y）z1ln（xy）.
答：
（
）
2.设z
3xy,而x
f（y）且f可导,则dz等于:
dy
（A）3xy[y
xf'（y）]ln3;
（B）3xy[x
yf'（y）]ln3;
（C）
3xy
[x
yf'（y）];
（D）zxf'（y）
zy3xy[[xyf'（y）]ln3.
ln3
答：
（
）
2
3.设u
f（x
y,xz）有二阶连续偏导数
则
xz
（A）
f2'
xf11"
zf12"
xf12";
（B）xf12"
xf2'
xzf22"
;
（C）xf21"
xzf22"
;
（D）f2'
xf21"
xzf22".
答：
（
）
三、试解下列各题
：
1.设zarctan（xy）,而yex,求dz.dx
2.求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）：
（1）uf（x2y2,exy）.
（2）uf（x,xy,xyz）.
74/13
3.设xf（x,x）,f具有二阶连续偏导数,求2z.
yxy
4.设z=f（x,u,v）,u=2x+y,v=xy,其中f具有连续偏导数，求全微分dz。
5.设zf（x,y）,且f具有连续的一阶偏导数,而xu,y2vu2,试以u,v为新的自变量交换方程:
yzxz0.
xy
四、设z
y
其中f（u）为可导函数,验证:
1
z
1
z
z.
f（x
2
y2）
x
x
y
y
y2
第五节作业
一、填空题：
1.设lnx2
y2
arctany,则dy
.
xdx
75/13
2.
设
z
由方程
x
2
y
2
z
2
2x
4y
所确定
则
z（x,y）
4z100
z
.
x
3.
设
z
由方程
xz
y
arctany
所确定
则
2z
.
z（x,y）
0
xy
4.
由方程
xyz
x
2
y
2
z
2
2
所确定的函数
z
z（x,y）
在点
处的全微分
（1,0,1）
dz
.
5.
设函数
x
x（u,v）
和
由方程组x
u
yv所确定
则
x
.
y（u,v）
y
v
xu
u
二、选择题（单选）：
1.函数y
y（x,z）由方程xyz
exy所确定,则y是:
x
（A）
y（x
1）
（B）
y
;
（C）
yz
y（1
xz）
x（1
;
x（1
1
;
（D）
.
y）
y）
y
x（1
y）
答：
（
）
2.
已知x
y
z
ex,xex
tant,y
cost,则dz
dtt0
1
;
（B）
1
（C）1;
（D）0.
（A）
;
2
2
答：
（
）
三、试解下列各题：
1.设x
lnz,求z及z.
z
y
x
y
2.设z3
3xyza3,求
2z.
xy
76/13
3.设
x
eu
cosv,y
eu
sinv,z
uv,试求
z和
z.
x
y
四、设Φ（u,v）具有连续偏导数，证明由方程Φ（cx-az,cy-bz）=0所确定的函数
z
z
z=f（x,y）
满足
a
b
c.
x
y
第六节作业
一、填空题：
1.
曲线
x
t
t
t在相应于
t
点处的切线与
轴夹角的正弦
ecost,y
esint,z
2e
0
oz
sin
.
2.
曲线y
f（x）,z
g（x,y）（其中f（x）和g（x,y）皆可微）上点（x0,y0,z0）处的切线方
程是
.
二、选择题（单选）：
1.曲线xyz
2
0
上（2,1,1）点处的一个切向量与
oz轴正向成锐角,则此切向量与oy
x
y
z
轴正向所夹角为
:
（A）;
（B）
3
（C）
;
2
;
（D）.
4
4
3
3
答：
（
）
2.曲面xy2
z3
12上点（1,
2,2）处的切平面方程是:
（A）x
y
3z
5;
（B）x
y
3z
7;
（C）
x
y
3z
3;
（D）x
y
3z
9.
答：
（
）
3.曲线2x=y2,z=x2在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的
x值
等于：
（A）1;
（B）1;
（C）1;
（D）2.
2
3
答：
（
）
77/
13
三、试解下列各题：
1.求曲线xtsint,y1cost,z4sint在点（1,1,22）的切线方程及法平面
22
方程.
2.求椭球面x22y2z21上平行于平面xy2z0的切平面方程.
x2
y2
z2
50
3.求曲线
y2
z2
在（3,4,5）点处的切线方程.
x2
四、试证曲面xyza（a0）上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和
等于a.
78/13
第七节作业
一、填空题：
1.
函数z=x2+y2在点（1,2）处沿从点（1,2）到点（2,2
3）的方向导数等于
。
2.
数量场f（x,yz）=x+2y+3z在（-1,2,0）点处的梯度是
。
3.
设f（x,y）=x
2-xy+y2，则f（x,y）在点（1,1）变化率最大方向上的单位向量为
。
二、选择题（单选）：
函数yxyz
2yz
3在点（11,1）沿I
2i
2j
k的方向导数等于:
（A）
1
;
（B）
1
;
（C）
1
1
5
5
;
（D）.
3
3
答：
（
）
三、试解下列各题：
1.
求函数
x2
y2
在点
（
a
b
处沿曲线x2
y2
在这点的内法线方向的
z1（a2
b2）
2,
2）
a2
b2
1
方向导数.
2.求函数u=xyz在点M（1,1,1）沿从点（1,1,1）到点（2,5,3）的方向的方向导数。
3.设f（x,y,z）=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求gradf（1,1,1）.
79/13
4.设n是曲面2x2
3y2
z2
6在点P（1,1,1）处的指向外侧的法向量
求函数
u
6x2
8y2
在点P处沿方向n的方向导数.
z
四、设u,v都是x,y,z的函数，u,v的各偏导数存在且连续，证明：
grad（uv）=vgradu+ugradv.
第八
节作业
一、填空题：
1.
函数f（x,y）=4（x-y）-x2-y2的极大值为
。
2.
设函数z=z（x,y）由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0
所确定，则函数
z的驻点为
。
3.
函数z=xy在闭区域x≥0，y≥0,x+y≤1上的最大值为
。
二、选择题（单选）：
1.zx2y在满足x2y25的条件下的极小值为:
（A）5;（B）5;（C）25;（D）25.
答：
（）
2.函数z=x2+y3在（0,0）处：
（A）有极大值；（B）有极小值；（C）没有极值；（D）既有极大值又有极小值。
答：
（）
三、试解下列各题：
1.求函数f（x,y）=（6x-x2）（4y-y2）的极值。
80/13
2.要造一个容积等于k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。
四、将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，
问矩形的边长各为多少时，
才可使
圆柱体的体积为最大？
第八章综合作业
一、填空题（每小题
4分，共20分）：
1.已知u
xy
yz
zx,则gradu（1,2,3）
.
2.设z
xyex2
y2
sinx
则z
.
y2
x
3.设z
arctanx
y,则dz
.
x
y
4.曲面z
x2
3y2在点（1,1,4）处的法线方程是
5.设z
f（x,y）在点（x0,y0）处存在一阶偏导数
且在（x0,y0）处取得极值则必有
成立.
二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）：
3xy
1.lim
x
0
xy1
1
y
0
（A）3；
（B）6；
（C）不存在；
（D）∞.
答：
（）
2.若函数f（x,y）在点（x0,y0）处：
（A）偏导数存在，则f（x,y）在该点一定可微；
（B）连续，则f（x,y）在该点偏导数一定存在；
（C）有极限，则f（x,y）在该点一定连续；
（D）可微，则f（x,y）在该点连续且偏导数一定存在。
答：
（）
81/13
3.曲线x
sint,y
cos2t,z
sintcost在对应于t
处的切线与xoy面的夹角是:
（A）
;
（B）
;
（C）;
1
（D）arccos.
2
3
4
3
答：
（
）
4.函数z=2x3-4x2+2xy-y2的极值点为：
（A）（0，0）；
（B）（1，1）；
（C）（0，0）与（1，1）
（D）无极值点。
答：
（
）
三、试解下列各题（每小题
7分，共28分）：
1.设f（x,y,z）z
x,求
df（1,1,1）.
2.
设ez
xyz
0,求
2z.
y
xy
2.设ux2
y2
z2,xrsincos,yrsinsin,zrcos,求u,u,u.
r
4.设uf（xyz,x2y2z2）,其中f具有二阶连续偏导数,求uxxuyyuzz.
x
y
四、求曲面ez
ez
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