高等数学同济版多元函数微分学练习题册Word下载.docx

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的所有间断点是:

（A） 

x=y=2nπ（n=1,2,3,…）；

（B） 

x=y=nπ（n=1,2,3,…）；

（C） 

x=y=mπ（m=0,±

1，±

2，…）；

（D） 

x=nπ,y=mπ（n=0,±

2，…，m=0,±

1,±

2,…）。

答：

（）

⎧ 

2（ 

⎪

⎪2 

x 

在点（0，0）处：

（A）无定义；

（B）无极限；

（C）有极限但不连续；

（D）连续。

）

三、求 

-xy 

4

x→0xy

四、证明极限 

limx 

x→0 

y→0

不存在。

71 

/ 

13

1

⎩

二 

x

1） 

arcsin

：

二、选择题（单选）

设z 

x+ 

y2 

则z 

等于 

:

y

A） 

⋅ 

ln 

4;

（ 

B） 

（C 

y（ 

）e 

;

D） 

4 

三、试解下列各题：

x∂z 

∂z

y∂x 

∂y

∂ 

2z

∂x∂y

四、验证 

r 

=x 

z 

满足

∂x 

∂y 

∂z 

r

三 

dz 

当x 

2, 

1, 

∆x 

0.1, 

∆y 

-0.2时的全增量∆z 

全微分值

e 

则dz 

函数 

z=f（x,y）在点 

P0（x0,y0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：

（A）充分条件；

（B）充要条件；

（C）必要条件；

（D）无关条件。

72 

f（x,y）在（x0,y0）处两个偏导数 

fx（x0,y0）,fy（x0,y0）存在是 

f（x,y）在该点连续的：

（A）充分必要条件；

（B）必要非充分条件；

（C）充分非必要条件；

（D）既非充分亦非必要条件。

xy 

求dz.

求函数z 

）当x 

2时的全微分.

arccosx

四、证明：

f 

=xy 

在点（0,0）处的偏导数存在，但在点（0,0）处不可微。

四 

x-2 

而x 

t, 

t 

则 

dz

dt

73 

y∂x.

y）, 

f可微, 

设u 

而z 

则u 

u 

xy

2[ 

z（ 

z-1 

y）（ 

ln（x 

y）];

（C 

ln（ 

y）;

z+1 

y）.

y）且f可导, 

则

[ 

xf 

'

y）]ln 

3;

）[ 

yf 

3

dy

[[ 

3.

∂x∂z

"

zf 

xzf 

211121212222

2122

21 

22

1.设 

arctan（xy）, 

而y 

求

dx

求下列函数的一阶偏导数（其中 

具有一阶连续偏导数）：

（1） 

）.

（2） 

xy, 

xyz）.

74 

x∂ 

y∂x∂y

设 

z=f（x,u,v）,u=2x+y,v=xy,其中 

具有连续偏导数，求全微分 

dz。

5. 

且f具有连续的一阶偏导数, 

u, 

v 

试以u, 

v为新的自变

∂z∂z

∂x∂y

四、设 

1 

五 

75 

y）由方程x 

10 

0所确定, 

∂x

4.由方程xyz 

+x 

=2所确定的函数z 

y）在点（1,0,-1）处的全微分

=.

⎧x 

yv 

函数y 

z）由方程xyz 

所确定, 

是 

1）

A）;

x（1 

y）

yz

y（1 

xz）

2.已知x 

xe 

tan 

11

-;

=0

0 

zy∂x∂y

33

76 

v, 

uv, 

试求

四、设Φ（u,v）具有连续偏导数，证明由方程Φ（cx-az,cy-bz）=0 

所确定的函数

z=f（x,y）满足 

a

b 

c.

六 

1.曲线x 

2e 

在相应于t 

0点处的切线与oz轴夹角的正弦

γ 

2.曲线y 

x）, 

g 

y）（其中f 

x）和g 

y）皆可微）上点（ 

）处的切线方

000

程是.

xyz 

1.曲线⎨上（2,1,1）点处的一个切向量与oz轴正向成锐角, 

则此切向量与oy

⎩ 

轴正向所夹角为 

π

3π 

2π 

2.曲面xy 

12上点（1,-2,2）处的切平面方程是 

3z 

5;

7;

（D） 

9.

曲线 

2x=y2,z=x2 

在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的 

值

等于：

1;

77 

tπ

22

方程.

求椭球面x 

1上平行于平面x 

0的切平面方程.

在（3,4,5）点处的切线方程.

⎪⎩x 

四、试证曲面

a.

a 

（a 

>

0）上任何点处的切平面在各坐标轴上 

的截距之和

78 

七 

z=x2+y2 

在点（1,2）处沿从点（1,2）到点 

（2,2 

+3） 

的方向导数等于。

数量场 

f（x,yz）=x+2y+3z 

在（-1,2,0）点处的梯度是。

f（x,y）=x2-xy+y2，则 

f（x,y）在点（1,1）变化率最大方向上的单位向量为。

ρρρρ

yz 

3在点（11,1）沿I 

2i 

j 

k的方向导数等于 

1111

）;

5533

（

方向导数.

+

1在这点的内法线方向的

求函数 

u=xyz 

在点 

M（1,1,1）沿从点（1,1,1）到点（2,5,3）的方向的方向导数。

f（x,y,z）=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求 

gradf（1,1,1）.

79 

ρ

=6 

8 

u,v 

都是 

x,y,z 

的函数，u,v 

的各偏导数存在且连续，

证明：

grad（uv）=vgradu+ugradv.

八 

f（x,y）=4（x-y）-x2-y2 

的极大值为。

设函数 

z=z（x,y）由方程 

x2+2y2+3z2+xy-z-9=0 

所确定，则函数 

的驻点为。

z=xy 

在闭区域 

x≥0，y≥0, 

x+y≤1 

上的最大值为。

y在满足x 

5的条件下的极小值为 

A）5;

）2 

5.

z=x2+y3 

在（0,0）处：

（A）有极大值；

（B）有极小值；

（C）没有极值；

（D）既有极大值又有极小值。

f（x,y）=（6x-x2）（4y-y2）的极值。

80 

要造一个容积等于 

k 

的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。

四、将周长为 

2p 

的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使

圆柱体的体积为最大？

章 

综 

合 

一、填空题（每小题 

分，共 

20 

分）

1.已知u 

zx, 

则gradu

（1,2,3） 

xye 

x2 

arctan 

4.曲面z 

2在点（1,1,4）处的法线方程是

y）在点（ 

）处存在一阶偏导数, 

且在（ 

）处取得极值则必有

0000

成立.

二、选择题（单选）（每小题 

5 

lim3xy

x→0xy 

（A）3；

（B）6；

（C）不存在；

（D）∞.

若函数 

f（x,y）在点（x0,y0）处：

（A）偏导数存在，则 

f（x,y）在该点一定可微；

（B）连续，则 

f（x,y）在该点偏导数一定存在；

（C）有极限，则 

f（x,y）在该点一定连续；

（D）可微，则 

f（x,y）在该点连续且偏导数一定存在。

81 

3.曲线x 

t在对应于t 

π处的切线与xoy面的夹角是 

πππ1

B）;

arccos.

2343

4.函数 

z=2x3-4x2+2xy-y2 

的极值点为：

（A）（0，0）；

（B）（1，1）；

（C）（0，0）与（1，1）（D）无极值点。

三、试解下列各题（每小题 

7 

28 

求df 

（1,1,1）.

ϕ 

cosθ 

θ 

ϕ, 

求 

∂u 

∂r 

∂θ 

∂ϕ

z, 

）, 

其中f具有二阶连续偏导数, 

求u+ 

u+ 

xxyyzz

四、求曲面 

e

4在点（ln 

2,1）处的切平面及法线方程 

（7分）.

82 

3x 

五、求曲线 

⎨在点（1,1,1）处的切线及法平面方程（7 

分）。

5z 

六、求函数 

u=x+y+z 

M0（0，0，1）处沿球面 

x2+y2+z2=1 

在这点外法线方向的方向

导数（8 

七、试证当 

λ 

<

2时,函数f 

λ（e 

1）sin 

y在原点一定有极

小值（10 

83