223数学必修二直线和平面平行的性质.docx
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223数学必修二直线和平面平行的性质
数学必修二直线和平面平行的性质
一、选择题
1．已知直线a、b、c及平面α，下列哪个条件能确定a∥b（ ）
A．a∥α，b∥α B．a⊥c，b⊥c
C．a、b与c成等角D．a∥c，b∥c
[答案] D
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是（ ）
A．AC∥截面BA1C1B．AC与截面BA1C1相交
C．AC在截面BA1C1内D．以上答案都错误
[答案] A
[解析] ∵AC∥A1C1，
又∵AC⊄面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1.
3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是（ ）
A．相交B．平行
C．异面D．相交或异面
[答案] B
[解析] 这是线面平行性质定理的条件，则l∥m.
4．已知直线m∥直线n，直线m∥平面α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．以上均有可能
[答案] A
[解析] ∵m∥α，α∩β＝a，m⊂β，
∴m∥a.又m∥n，∴n∥a.
5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．平行或异面
[答案] C
[解析] ∵a∥α，a⊂β，α⊂β＝b，
∴a∥b.
∴α内与b相交的直线与a异面．
6．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是（ ）
A．异面B．平行
C．相交D．以上均有可能
[答案] B
[解析] ∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.
又AB∥A1B1，∴DE∥AB.
7．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线（ ）
A．至少有一条B．至多有一条
C．有且只有一条D．没有
[答案] B
[解析] 设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交．设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，a⊂平面β，则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．
8．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．不确定
[答案] A
[解析] ∵EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
∵EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴EH∥BD.
9．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是（ ）
A．梯形B．菱形
C．平行四边形D．任意四边形
[答案] A
[解析] 由性质定理得截面四边形有一组对边平行．
10．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（ ）
A．1B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1，又P为AO1的中点，∴PQ＝
AB1＝
.
二、填空题
11．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是________．
[答案] 平行或相交
12．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点B、D、A1，且α与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与B1D1的位置关系是________．
[答案] 平行
13．如图所示，AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点，
＝2，则
＝________.
[答案] 2
[解析] 如图，连接AD交平面α于E点，连接ME和NE.
∵平面ACD∩α＝ME，CD∥α，CD⊂平面ACD，
∴CD∥ME.∴
＝
.
同理，
＝
，
∴
＝
.
∴
＝2.
14．如下图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是其四边上的点且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，
＝________.
[答案]
[解析]
＝
＝
＝
，而EF＝FG.
三、解答题
15．求证，如果一条直线和两个相交平面平行，那么该直线与相交平面的交线平行．
[分析] 写出已知、求证，画出图形．由于图形比较单一，要添加辅助平面，利用线面平行性质定理先得线线平行，再由平行公理证明．
[解析] 已知：
a∥α，a∥β，且α∩β＝b.
求证：
a∥b.
证明：
如图，在平面α上任取一点A，且使A∉b.∵a∥α，∴A∉a.
故点A和直线a确定一个平面γ，设γ∩α＝m.
同理，在平面β上任取一点B，且使B∉b，
则B和a确定平面δ，设δ∩β＝n.
∵a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m，∴a∥m.
同理a∥n，则m∥n.
又m⊄β，n⊂β，∴m∥β.
又∵m⊂α，α∩β＝b，∴m∥b.又a∥m，∴a∥b.
[点评] 本题利用线面平行的判定和性质定理，完成了平面问题和空间问题的相互转化．转化的思想是一种重要的数学思想．本节常用的转化为：
16．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求证：
EFHG是一个平行四边形．
[证明] ∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB⊂平面ABC，∴EG∥AB.
同理，FH∥AB，∴EG∥FH.
同理，EF∥GH.
∴四边形EFHG是一个平行四边形．
17．如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1、D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F、G.
求证：
FG∥平面ADD1A1.
[证明] ∵EH∥A1D1，又A1D1∥B1C1
∴EH∥B1C1
∴EH∥平面BCC1B1
又平面EHGF∩平面BCC1B1＝FG
∴EH∥FG ∴FG∥A1D1 又FG⊄平面ADD1A，A1D1⊂平面ADD1A1，
∴FG∥平面ADD1A1.
18．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝
CD.试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？
若能，请确定E点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
[解析] 在PC上取点E，使
＝
，
则BE∥平面PAD.
证明如下：
延长DA和CB交于点F，连接PF.
梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝
CD.
∴
＝
＝
，
∴
＝
.
又
＝
，
∴△PFC中，
＝
，
∴BE∥PF，
而BE⊄平面PAD，PF⊂平面PAD.
∴BE∥平面PAD.
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