中位线定理.docx

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中位线定理

教材单元分析

教材

人教版

单元内容

三角形中位线定理

课本页码

第页至第页

年级

初二

教师

1.本单元教材的作用与地位：

三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。

在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。

2.教学指导思想：

本课以探究活动层层深入，环环紧扣，让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。

3.教学目标：

1）知识目标：

理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。

2）能力目标：

通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。

3）情感目标：

让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。

4.教材的重点、难点与关键：

重点：

理解并应用三角形中位线定理。

难点：

三角形中位线定理的运用。

5.教学方法和手段的设计：

采用了“引导探究”式的教学模式，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。

6.关于思想教育、行为习惯的培养及学习方法指导的设计：

本节课在实验操作的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交

流互动，启迪学生的思维，让学生掌握实验与观察、分析与比较、讨论与释疑、概括与归纳、巩固与提高等科学的学习方法；学会举一反三，灵活转换的学习方法，学会运用化归思想去解决问题。

7.课时安排：

2课时

8.组成部分及辅助材料：

人教版的初中数学教材、练习册

9.其他：

导师评议：

符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。

注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。

精品教案设计表

在导师指导下编写一节课的教案，并在备课组或教研组活动中说课。

执教教师

授课班级

初二

课型

课题

三角形中位线定理

教材

人教版

时间

第周第次

课时

人数

学情分析

学习材料分析：

（学习材料的特点、先前教学经验反思等）

在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用。

另外，课本在三角形中位线定理的推理过程中应用了同一法思想，这是中学教材第一次出现同一法，要求学生了解这种思想，它对拓展学生的思维有着积极的意义。

学生情况分析：

（学生认知基础、学习能力、习惯、学习兴趣及差异状况等）学生普遍学习基础较好，学习能力较高，较好的学习习惯，较强的学习兴趣，相当一

部分学生已经在教师讲解新课前进行了预习，对一次函数有了初步的了解，因此教师在讲

课时一要多注意学习的细节和新旧知识的联系；二要进行知识的延伸和扩充，向中考题型

进行有意识的靠近。

教学目标

2）知识目标：

理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。

2）能力目标：

通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。

3）情感目标：

让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。

教学重难点

重点：

理解并应用三角形中位线定理。

难点：

三角形中位线定理的运用。

教学过程

教学内容

教师活动

学生活动

过程目标

导入

（准备部分）

（一）设置情景，导入新课

大家能将这个三角形分为四个全等的三角形吗？

提出问题

思考

新授

（基本部分）

（二）引导探究，获得新知

（1）根据同学们对这个问题的解决，我们提出了三角形中位线定义：

连接三角形两边的中点的线段就叫做三角形的中位线。

（2）三角形中位线定理

①如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，那么DE与BC之间存在什么样的数量关系呢

②学生提出猜想

猜想：

三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

③证明：

△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，

∴　

．

∵　∠A＝∠A，

∴　△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），

∴　∠ADE＝∠ABC，

（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），

∴　DE∥BC且

④思考：

本题还有其它的解法吗？

证明：

可延长DE到F，使EF＝DE，连接CF

△ABC中，E是AC的中点，CE=AE

∵∠CEF＝∠AEDEF＝DE

∴△CEF∽△AED

∴CF=AD∠ECF＝∠A

∴　AD∥CF

∵点D是AB的中点

∴AD=BD∴CF=BD

∵AD∥CF即BD∥CF

∴四边形BCFD为平行四边形

∴DF＝BCDF∥BC

∴DE∥BC，DE＝

BC

（3）师生总结定理

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

（3）指导应用，鼓励创新

（1）例题讲解

例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

已知：

　如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。

求证：

　AE、DF互相平分。

分析：

由图形知道AE、DF是两条相交的线段，要证AE、DF互相平分，我们只需证明四边形ADEF为平行四边形即可。

要证四边形ADEF为平行四边形，则要证明DE∥AC，EF∥AB。

在由三角形中位线定理可以证明DE∥AC，EF∥AB。

所以结论成立。

证明连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC

∴DE∥AC

同理EF∥AB

∴四边形ADEF是平行四边形

因此AE、DF互相平分。

例2已知：

在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：

四边形EFGH是平行四边形。

分析：

要证四边形EFGH是平行四边形，则要证明

思路一：

连结AC，证：

EF＝HG,EF∥HG

思路二：

连结BD，证：

EH＝FG,EH∥FG

思路三:

:

连结AC、BD证:

EF∥HG,EH∥FG

思路四：

连结AC、BD证：

EF＝HG,EH＝FG

证明：

连结AC、BD

在△ABC中，,E、F分别是AB、BC的中点.

所以EF为△ABC的中位线由中位线定理有：

EF∥ACEF＝

AC

同理可证：

HG∥ACHG＝

AC

所以EF＝HG,EF∥HG

故四边形EFGH是平行四边形

（2）变式训练

若上例中的四边形换成等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？

从中可以总结出什么结论吗？

（3）学生练习

1.已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE=EB,

求证：

OE∥BC。

2.已知：

△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．

求证：

四边形DEFG是平行四边形．

提出

中位线定理

证明

提出问题

证明

例题讲解

理解记忆

大胆猜想

积极思考

归纳总结

巩固练习

理解三角形中位线的定义。

通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。

掌握三角形中位线定理及其应用。

掌握三角形中位线定理及其应用。

通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。

通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。

总结

（1）本节课基本内容为：

（2）从实验操作中发现添加辅助线的方法．

（3）转化思想的应用——将三角形问题转化为平行四边形问题。

归纳总结

导师评议：

符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。

注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。

教学设计

学校

年级班级

执教时间

课题

三角形中位线定理

执教教师

学科

数学

目标

与

要求

3）知识目标：

理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。

2）能力目标：

通过小组活动，提高了同学们的

动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位

线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，

分析问题及解决问题的能力。

3）情感目标：

让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。

设计要点

在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。

教学过程的组织与实施

让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。

自

我

评

价

本节课的第一个亮点就是本课的探究活动层层深入，环环紧扣，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。

比如：

探究活动中，让学生用桌上三角形，剪刀，直尺剪拼三角形让同学们发现四个小三角形全等。

不仅让同学知道了三角形中位线的作用，同时又让课堂气氛十分活跃，有利于同学们的学习。

第二个亮点是老师让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同。

更有利于同学们学习。

导

师

评

价

符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。

注重启发和引导，教学过程设计面向全体学

生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。

说课提纲

姓名

说课题目

三角形中位线定理

本课指导思想

本课以探究活动层层深入，环环紧扣，让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。

教材分析

三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。

在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。

学情分析

学生普遍学习基础较好，学习能力较高，较好的学习习惯，较强

的学习兴趣，相当一部分学生已经在教师讲解新课前进行了预习，对一次函数有了初步的了解，因此教师在讲课时一要多注意学习的细节和新旧知识的联系；二要进行知识的延伸和扩充，向中考题型

进行有意识的靠近。

教法教学的运用

为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，我采用了“引导探究”式的教学模式，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。

教学过程

导入

（开始部分）

（一）设置情景，导入新课

大家能将这个三角形分为四个全等的三角形吗？

新授

（基本部分）

（二）引导探究，获得新知

（1）根据同学们对这个问题的解决，我们提出了三角形中位线定义：

连接三角形两边的中点的线段就叫做三角形的中位线。

（2）三角形中位线定理

①如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，那么DE与BC之间存在什么样的数量关系呢

②学生提出猜想

猜想：

三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

③证明：

△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，

∴　

．

∵　∠A＝∠A，

∴　△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），

∴　∠ADE＝∠ABC，

（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），

∴　DE∥BC且

④思考：

本题还有其它的解法吗？

证明：

可延长DE到F，使EF＝DE，连接CF

△ABC中，E是AC的中点，CE=AE

∵∠CEF＝∠AEDEF＝DE

∴△CEF∽△AED

∴CF=AD∠ECF＝∠A

∴　AD∥CF

∵点D是AB的中点

∴AD=BD∴CF=BD

∵AD∥CF即BD∥CF

∴四边形BCFD为平行四边形

∴DF＝BCDF∥BC

∴DE∥BC，DE＝

BC

（3）师生总结定理

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

（4）指导应用，鼓励创新

（1）例题讲解

例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

已知：

　如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。

求证：

　AE、DF互相平分。

分析：

由图形知道AE、DF是两条相交的线段，要证AE、DF互相平分，我们只需证明四边形ADEF为平行四边形即可。

要证四边形ADEF为平行四边形，则要证明DE∥AC，EF∥AB。

在由三角形中位线定理可以证明DE∥AC，EF∥AB。

所以结论成立。

证明连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC

∴DE∥AC

同理EF∥AB

∴四边形ADEF是平行四边形

因此AE、DF互相平分。

例2已知：

在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：

四边形EFGH是平行四边形。

分析：

要证四边形EFGH是平行四边形，则要证明

思路一：

连结AC，证：

EF＝HG,EF∥HG

思路二：

连结BD，证：

EH＝FG,EH∥FG

思路三:

:

连结AC、BD证:

EF∥HG,EH∥FG

思路四：

连结AC、BD证：

EF＝HG,EH＝FG

证明：

连结AC、BD

在△ABC中，,E、F分别是AB、BC的中点.

所以EF为△ABC的中位线由中位线定理有：

EF∥ACEF＝

AC

同理可证：

HG∥ACHG＝

AC

所以EF＝HG,EF∥HG

故四边形EFGH是平行四边形

（2）变式训练

若上例中的四边形换成等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？

从中可以总结出什么结论吗？

（4）学生练习

1.已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE=EB,

求证：

OE∥BC。

2.已知：

△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．

求证：

四边形DEFG是平行四边形．

总结

（1）本节课基本内容为：

（2）从实验操作中发现添加辅助线的方法．

（3）转化思想的应用——将三角形问题转化为平行四边形问题。

预计效果

让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学

中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同。

导师评议

符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。

注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，

基础性训练与拓展性训练有机结合。