15级高一数学期末复习专题第四讲平面向量 教程.docx
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15级高一数学期末复习专题第四讲平面向量教程
成都七中（林荫校区高2015级上学期期末复习专题五
命题人:
江海兵审题人:
廖学军
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念:
①向量:
既有大小又有方向的量向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:
长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0
与任意向量平行
③单位向量:
模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量:
方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量:
长度相等且方向相同的向量
2、向量加法:
设,ABaBCb==
则a+b=ABBC+=AC
（1aaa=+=+00;（2向量加法满足交换律与结合律;
ABBCCDPQQRAR+++++=
但这时必须“首尾相连”
.3、向量的减法:
①相反向量:
与a长度相等、方向相反的向量,叫做a
的相反向量
②向量减法:
向量a加上b的相反向量叫做a
与b的差。
③作图法:
ba-可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a
、b有共同起点
4、实数与向量的积:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa
它的长度与方向规定如下:
（Ⅰaa
⋅=λλ;（Ⅱ当0>λ时,λa的方向与a的方向相同;当0<λ时,λa的方向与a
的方向相反;当0=λ时,0
=aλ,方向是任意的
5、两个向量共线定理:
向量b与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b=a
λ
6、平面向量基本定理:
如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a
有且只有一对实数21,λλ使:
2211eea
λλ+=,其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示ji,分别为与x轴,y轴正方向相同的单位向量
1平面向量的坐标表示:
平面内的任一向量a可表示成axiyj=+
记作a=（x,y。
2平面向量的坐标运算:
（1若（（1122,,,axybxy==,则（1212,abxxyy±=±±
（2若（（2211,,,yxByxA,则（2121,ABxxyy=--
（3若a=（x,y,则λa=（λx,λy（4若（（1122,,,axybxy==,则1221//0abxyxy⇔-=
（4若（（1122,,,axybxy==,则1212abxxyy⋅=⋅+⋅
若ab⊥,则02121=⋅+⋅yyxx
三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=︱a
︱·︱b︱cosθ
叫做a
与b的数量积（或内积规定00a⋅=
2向量的投影:
︱b︱cosθ=||
ab
a⋅∈R,称为向量
b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义:
a·b等于a的长度与b在a
方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:
22||aaaa⋅==
5乘法公式成立:
（（2
222abababab+⋅-=-=-;（
2
222ab
aa
bb±=±⋅+222aabb=±⋅+
6平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:
abba⋅=⋅
②对实数的结合律成立:
（（（（ababab
Rλλλλ⋅=⋅=⋅∈
③分配律成立:
（abcacbc±⋅=⋅±⋅（
cab=⋅±
特别注意:
（1结合律不成立:
（（
abcabc⋅⋅≠⋅⋅
;（2消去律不成立abac
⋅=⋅不
bc=⋅
（3ab⋅
=0不能
a=0
或b=0
7两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量1122（,,（,axybxy==
则a·
b=1212xxyy+8向量的夹角:
已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ（001800≤≤θ叫做向量a
与b
的夹角
cosθ=cos,ab
abab
∙<>=∙=
2
2
222
12
12
121yxyxyyxx+⋅
++
当且仅当两个非零向量a与b同方向时,θ=00,当且仅当a与b反方向时θ=1800
同时0与其它任何非零
向量之间不谈夹角这一问题9垂直:
如果a与b的夹角为900
则称a与b垂直,记作a⊥b
10两个非零向量垂直的充要条件:
a⊥b⇔a
·b=O⇔02121=+yyxx平面向量数量积的性质
11、向量的三角不等关系bababa+≤±≤-注意取等条件（共线一、教材例题选讲1、点C在线段AB上,且
2
5=CB
AC则=AC=BCAB,AB
2、已知任意两个不共线的向量ba,,作baOCbaOBbaOA3,3,+=+=+=,判断CBA,,三点是否共线。
3、判断212122,eebeea+-=-=是否共线
4、向量ba,成什么位置关系时,baba-=+
5、已知平行四边形ABCD的三个顶点CBA,,坐标分别是4,3（,3,1（,1,2（--,试求顶点D的坐标
6、设点P是线段21PP上的一点,21,PP的坐标分别是,（,,（2211yxyx
（1当P是线段21PP的中点时,求点P的坐标;（2当P是线段21PP的一个三等分点时,求点P的坐标.
7、已知点5,1（,1,1（-BA及ABAEABADABAC2
1,2,2
1-
===,求点EDC,,的坐标.
8、已知4,3==ba,且ba,不共线,k为时,bka+与bka-互相垂直?
9、设4,6（,7,5（--=-=ba,求ba,之间的夹角
10、已知（（
61232,3,4=+⋅-==bababa,求ba,之间的夹角11、612,10,8=+==baba求ba,之间的夹角12、（baba//,2,1,3且==,求a的坐标
13、已知（,2,4=a求与a垂直的单位向量的坐标14、如果ba,是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是（
2
2
2
2
..1
..baDb
aC
baBb
aA===⋅=
15、对于任意向量ba,,下列命题中正确的是（babababaA>>同向,则与且满足若,,.
babaB+≤+若.babaC≥⋅若.babaD-≤-若.
16、在四边形ABCD中,若ADABAC+=,则（是平行四边形
是正方形
是菱形
是矩形
ABCDDABCDCABCDBABCDA....
18、设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是（aaDaaCa
aBaaA⋅=-≥-λλλλλ（2
的方向相同
与的方向相反
与
19、教材118P复习参考题A组2,5,8,9,10,11,12,13,B组1,2,3,4,5,6,7,8
平面几何与向量,函数与向量专题
题型一:
函数（三角函数向量综合题
题型二:
同起点终点共线三向量关系
例2:
设,,,OABC是平面中的四个点,OCmOAnOB=+
证明:
若1mn+=,则,,ABC三点共线,
反之亦然.
变式练习1:
设一直线上三点,,ABP满足（1,APPBOλλ=≠
是空间内的一点,则OP可用,OAOB表示
为（
..（111..11AOPOAOB
BOPOAOBOAOB
COP
DOPOAOB
λλλλλ
λ
λ
=+=+-+=
=+
+-题型三:
利用共线向量性质求线段比例
例3.如图所示,在ABC∆中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且2,ANNCAM=与BN相交于点P,求证:
:
4:
1APPM=
P
A
B
C
MN
题型四:
利用平面向量基本定理
例4△ABC中,点D在边AB上,CD平分ACB∠,若,,||1,||2CBaCAbab====
则CD=（
12213443（33335555
Aab
Bab
Cab
Dab++++
题型五:
求系数和
例5在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线
ABAC于不同的两点,MN,若,ABmAMACnAN==
则mn+的值为
22
（2,cos,（,sin,,,=2,2mabmmabm
λλλααλα=+-=+例1:
为实数,若取值范围是（
l
B
O
P
AO
A
M
C
B
N
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