平行四边形性质证明.doc

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3.1平行四边形性质的证明

教学目标：

1.经历探索、猜想、证明平行四边形性质定理的过程，进一步发展推理论证的能力。

2.初步应用平行四边形的性质解决问题。

教材分析：

学生在初二上学期通过直观的方法获得了平行四边形的性质定理和判断方法，在初二下学期学习了证明

（一），初三上学期学习了证明

（二），已经初步掌握了综合法证明命题的思路和方法。

同时经历了三角形全等、等腰三角形性质和判断定理的证明过程的探究，从而为本章的学习奠定了基础。

教学重点：

1、能用综合法证明平行四边形的性质定理。

2、平行四边形的性质机应用。

教学难点：

理解平行四边形的性质并应用它们解决实际问题。

教学过程：

一、复习回顾，引入课题：

初二年级我们已经探索过平行四边形的性质及判别条件，让我们回顾一下：

问题1、什么叫做平行四边形？

平行四边形有哪些性质？

（从四边形的边的关系看，平行四边形有哪些性质）

（从四边形的角的关系看，平行四边形有哪些性质）

（从四边形的对角线的关系看，平行四边形有哪些性质）

问题2、你能利用公理和已有的定理证明它们吗？

本节课老师将和同学们一起来探索平行四边形的性质的证明过程。

二、讲授新课：

平行四边形性质的证明：

（1）定理：

平行四边形的对边相等。

已知：

如图，四边形ABCD是平行四边形。

求证：

AB=CD,AD=BC

分析：

证明线段相等的主要方法有：

“全等三角形的对应边相等”，“等腰三角形的两腰相等”。

连结AC，得到ABC和CDA,只要证明ABC≌CDA.则问题解决。

证明：

法一，如图，连结AC四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD,AD∥BC.∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD.

在ABC和CDA中，

∠BAC=∠DCA，AC=CA，∠ACB=∠CAD

∴ABC≌CDA

∴AB=CD,AD=BC

法二，如图，连结BD,四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD,AD∥BC.∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD

在△ABD和△CDB中，

∠ABD=∠CDB,BD=DB,∠ADB=∠CBD

∴ABD≌CDB

∴AB=CD,AD=BC

（2）定理：

平行四边形的对角相等。

问题：

观察上述证明过程，你还能得出什么结论？

（通过以上的证明过程，还能得到平行四边形的对角相等）

证明：

法一，如图，四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD,AD∥BC.

∴∠A+∠B=180，∠C+∠D=180,∠A+∠D=180，∠B+∠C=180，

∴∠A=∠C,∠B=∠D，

法二，如图，ABC≌CDA，∠BAC=∠DCA，

∠ACB=∠CAD

∴∠B=∠D，∠BAC+∠CAD=∠DCA+∠ACB

∴∠BAD=∠DCB,即∠A=∠C

法三，（略）

通过以上两个问题的证明过程，学生初步体会了将平行四边形中线段相等，角相等的相关问题转化为全等三角形全等的问题，丰富了探究证明过程的方法和思路。

（3）定理：

平行四边形的对角线互相平分。

如图，在平行四边形ABCD中，连结AC,BD交于点O.

求证：

OA=OC,OB=OD.

分析：

欲证OA=OC,OB=OD，只需要证明△AOD≌△BOC即可

证明：

法一，四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC,AD//BC

∴∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC

在AOD和BOC中，∠OAD=∠OCB,AD=BC,∠ODA=∠OBC

∴△AOD≌△BOC

∴OA=OC,OB=OD.

法二，四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD,AB//CD

∴∠OBA=∠ODC,∠OAB=∠OCD

在△AOB和△COD中，∠OBA=∠ODC,AB=CD,∠OAB=∠OCD

△AOB≌△COD

∴OA=OC,OB=OD

三、课后思考：

是否存在将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分的线段？

如果存在，这样的线段有多少条？

你能发现满足条件的这些线段有什么特征？

分析：

根据“平行四边形的对边相等，对角线互相平分”的证明过程，容易得到

ABC≌CDA，ABD≌CDB，对角线AC、BD均符合题意。

设AC、BD交于点O,猜想探究过点O与一组对边相交的线段是否符合题意？

四、总结：

五、作业布置：

六、板书设计：

平行四边形的性质：

1、平行四边形的对边平行.

2、平行四边形的对边相等

3、平行四边形的对角相等.

4、平行四边形的对角线互相平分.

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