概率竞赛题.docx - 冰点文库

资源描述

概率竞赛题.docx

《概率竞赛题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率竞赛题.docx（23页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

概率竞赛题.docx

概率竞赛题

概率复习题--列表法与树状图法

列表法与树状图法游戏公平性条形统计图一元一次不等式组

1.（2011•资阳）小国同学的父亲参加旅游团到某地旅游，准备买某种礼物送给小国．据了解，沿旅游线路依次有A、B、C三个地点可以买到此种礼物，其质量相当，价格各不相同，但不知哪家更便宜．由于时间关系，随团旅游车不会掉头行驶．

（1）若到A处就购买，写出买到最低价格礼物的概率；

（2）小国同学的父亲认为，如果到A处不买，到B处发现比A处便宜就马上购买，否则到C处购买，这样更有希望买到最低价格的礼物．这个想法是否正确？

试通过树状图分析说明．

解：

（1）∵在每一处都有价格最低，最高，较高的可能，

∴PA处买到最低价格礼物=

；

（2）作出树状图如下：

由树状图可知：

P购到最低价格礼物==，

∵

＞

，∴他的想法是正确的．

2.（2011•珠海）某校为庆祝国庆节举办游园活动，小军来到摸球兑奖活动场地，李老师对小军说：

“这里有A、B两个盒子，里面都装有一些乒乓球，你只能选择其中一只盒子中摸球．”获奖规则如下：

在A盒中有白色乒乓球4个，红色乒乓球2个，一人只能摸一次且一次摸出一个球，若为红球则可获得玩具熊一个，否则不得奖；在B盒中有白色乒乓球2个，红色乒乓球2个，一人只能摸一次且一次摸出两个球，若两球均为红球则可获得玩具熊一个，否则不得奖．

请问小军在哪只盒子内摸球获得玩具熊的机会更大？

说明你的理由．

解：

小军在A盒中摸球获得玩具熊的机会最大．

把小军从A盒中抽出红球的概率记为PA，

那么PA==

，

小军从B盒中摸出两球的所有可能出现的结果为：

白白，红白，白红，红红，共4种结果，

且4种结果出现的可能性相等，把小军从B盒中抽出两个红球的概率记为PB，

则PB=

，

∵PA＞PB，

∴小军在A盒中摸球获得玩具熊的机会最大．

3.（2011•湛江）一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，

（1）随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率；

（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小球的标号的和为5的概率．

解：

（1）共有4个球，标号为2的球有1个，所以概率为

共有16种情况，两次摸取的小球的标号的和为5的情况有4种，所以所求的概率为

4.（2011•营口）如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．

（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；

　转盘乙转盘甲-1012

-1（-1，-1）（-1，0）（-1，1）（-1，2）

-（-，-1）（-，0）（-，1）（-，2）

1（1，-1）（1，0）（1，1）（1，2）

由表格可知，所有等可能的结果有12种，其中|m+n|＞1的情况有5种，（7分）

所以|m+n|＞1的概率为P1=

；（8分）5.（2011•昭通）某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：

用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自已，并按如下游戏规则进行：

A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去．

（1）请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率．

（2）B班班长设计的游戏规则公平吗？

若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则

解：

（1）所有可能的结果如下表：

AB4678

1（1，4）（1，6）（1，7）（1，8）

2（2，4）（2，6）（2，7）（2，8）

3（3，4）（3，6）（3，7）（3，8）

5（5，4）（5，6）（5，7）（5，8）

一共16种结果，每各结果出现的可能性相同

P和为偶数的概率==

；所以A班去参赛的概率为

：

（2）由

（1）列表的结果可知：

A班去的概率为，B班去的概率为，所以游戏不公平，对B班有利．

游戏规则改为：

若和为偶数则A班得5分，若和为奇数则B班得3分，抽取8次后看总得分，分数高的去，则游戏是公平的．

6、（2011•烟台）“五•一”假期，某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：

（1）若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；

（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？

（3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：

“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”．试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？

解：

（1）设D地车票有x张，则x=（x+20+40+30）×10%，

解得x=10．

即D地车票有10张．

补全统计图如图所示．

（2）小胡抽到去A地的概率为=1/5．

（3）以列表法说明：

小李掷得数字

小王掷得数字1234

1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）

2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）

3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）

4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）

由此可知，共有16种等可能结果．

其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：

（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．

∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为=3/8．

则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为=5/8．

7、（2011•新疆）有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：

甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．

（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；

（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？

若公平，请说明理由；若不公平，试改动红盒子中的一个小球的编号，使游戏规则公平．

∴一共有12种等可能的结果，两球编号之和为奇数有5种情况，

∴P（甲胜）=5/12；

（2）∵P（乙胜）=7/12，

∴P（甲胜）≠P（乙胜），

∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平；

将红盒子中装有编号分别为1、2、3、5的四个红球，改为1、2、3、4的四个红球即可．

8（2011•威海）甲乙二人玩一个游戏：

每人分别抛掷一个质地均匀的小立方体（每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），落定后，若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜；若两个小立方体朝上的数字之和为奇数，则乙胜，你认为这个游戏公平吗？

试说明理由．

∴一共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，其中两个数字之和为偶数的有18种，数字之和为奇数的有18种，

9（2011•山西）小明与小亮玩游戏，他们将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌兖分洗匀后，背面朝上放在桌面上．规定游戏规则如下：

先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数．则小明胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数．则小亮胜．

你认为这个游戏规则对双方公平吗？

请用画数状图或列表的方法说明理由．

由树状图（或表格）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，

分别是：

22，23，24，32，33，34，42，43，44，

而且每种结果出现的可能性都相同，

而其中组成的两位数是2的倍数的结果共有6种，是3的倍数的结果共有3种．

∴P（小明胜）=2/3，

∴P（小亮胜）=1/3

∴P（小明胜）＞P（小亮胜），∴这个游戏规则对双方不公平

10.（2011•青岛）小明和小亮用图中的转盘做游戏：

分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明得1分，否则小亮得1分．你认为游戏是否公平？

若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平．

一共有16种等可能的结果，两次数字之差（大数减小数）大于或等于2的有6种情况，

∴P（小明得1分）==3/8，P（小亮得1分）==5/8，

∴小明得分：

1×3/8=3/8；小亮得分：

1×5/8=5/8；

∵≠．

∴游戏不公平．

游戏规则改为：

分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明得5分，否则小亮得3分．

11.（2011•徐州）小明骑自行车从家去学校，途经装有红、绿灯的三个路口．假设他在每个路口遇到红灯和绿灯的概率均为，则小明经过这三个路口时，恰有一次遇到红灯的概率是多少？

请用树状图的方法加以说明．

解：

树状图如下：

∴P（1次红灯，2次绿灯）=3/8，

12.（2011•武汉）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．

（1）试用树状图或列表法中的一种列举出这辆汽车行驶方向所有可能的结果；

（2）求至少有一辆汽车向左转的概率．

5/9

13.（2011•乌鲁木齐）在一个袋子中，有完全相同的4张卡片，把它们分別编码为1，2，3，4．

（1）先从袋子中随机取两张卡片，求取出的卡片的编号之和等于4的概率；

（2）先从袋子中随机取一张卡片，记该卡片的编号为a，然后将其放回袋中，再从袋中随机取出一张卡片，记该卡片的编号为b，求满足a+2＞b的概率

．

1/6

13/16

14.（2011•温州）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．

（1）求摸出1个球是白球的概率；

（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为5/7．求n的值．

∴一共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，

∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为4/9；

由题意得：

n+1/n+4=5/7解得：

n=4．

经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，

∴n=4．

15.（2011•潍坊）甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球．甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球．从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍．

（1）求乙盒中蓝球的个数；

（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率．

解：

（1）设乙盒中有x个蓝球，则从乙盒中任意摸取一球，摸得蓝球的概率为：

P1=x/x+3，

从甲盒中任意摸取一球，摸得蓝球的概率P2=1/4；

依题意得：

x/x+3=1/2，

解得：

x=3，

∴乙盒中蓝球的个数是3个

∴可能的结果有24，其中均为篮球的有3种，

∴从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，这两球均为蓝球的概率为3/24=1/8．

16.（2011•潼南县）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，一超市为了吸引消费者，增加销售量，特此设计了一个游戏，其规则是：

分别转动如图所示的两个可以自由转动的转盘各一次，每次指针落在每一字母区域的机会均等（若指针恰好落在分界线上则重转），当两个转盘的指针所指字母都相同时，消费者就可以获得一次八折优惠价购买粽子的机会．

（1）用树状图或列表的方法（只选其中一种）表示出游戏可能出现的所有结果；

（2）若一名消费者只能参加一次游戏，则他能获得八折优惠价购买粽子的概率是多少？

（2）∵一共有6种等可能的结果，当两个转盘的指针所指字母都相同时的结果有一个，

∴P=1/6

一元一次不等式组的应用．

17．（2011•天水）某电脑公司各种品牌、型号的电脑价格如下表，育才中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选择一种型号的电脑．

甲A6000B4000C2500乙型号D5000E2000单价（元/台）

（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）．如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？

（2）该中学预计购买甲、乙两种品牌电脑共36台，其中甲品牌电脑只选了A型号，学校规定购买费用不能高于10万元，又不低于9.2万元，问购买A型号电脑可以是多少台？

共6种情况，A型号电脑被选中的情况数有2种，所以概率为1/6；

（2）①选D电脑

设A电脑有x台，则D电脑有（36-x）台．

92000≤6000x+5000（36-x）≤100000，

-88≤x≤-80不合题意，舍去；

②设A电脑有y台，则E电脑有（36-y）台．

92000≤6000y+2000（36-y）≤100000，

-88≤y≤-805≤y≤7，

∴A型电脑可以是5或6，或7台．

18.（2011•随州）有3张扑克牌，分別是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．

（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s-t|≥l的概率．

（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：

若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：

若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高？

∴一共有9种等可能的结果，|s-t|≥l的有（3，4），（3，5），（4，3），（4，5），（5，3），（5，4）共6种，

∴|s-t|≥l的概率为：

=；

（2）∵两次抽得相同花色的有5种，两次抽得数字和为奇数有4种，

A方案：

P（甲胜）=5/9；

B方案：

P（甲胜）=4/9；

∴甲选择A方案胜率更高．

19.（2011•苏州）如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同

（1）一只自由飞翔的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率；

（2）现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率是多少（用树状图或列表法求解）？

解：

（1）P（小鸟落在草坪上）=6/9=；

（2）用树状图或列表格列出所有问题的可能的结果：

所以编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率=2/6=．

1.（2011•沈阳）沈阳地铁一号线的开通运行给沈阳市民的出行方式带来了一些变化．小王和小林准备利用课余时间，以问卷的方式对沈阳市民的出行方式进行调查．如图是沈阳地铁一号线图（部分），小王和小林分别从太原街站（用A表示）、南市场站（用B表示）、青年大街站（用C表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点．

（1）在这三站中，小王选取问卷调查的站点是太原街站的概率是多少？

（请直接写出结果）

（2）请你用列表法或画树状图（树形图）法，求小王选取问卷调查的站点与小林选取问卷调查的站点相邻的概率．（各站点用相应的英文字母表示）

解：

（1）∵共有3个站，选取每个站都是等可能的，小王选取问卷调查的站点是太原街站的只有1种情况，

∴在这三站中，小王选取问卷调查的站点是太原街站的概率是1/3．

∴小王选取问卷调查的站点与小林选取问卷调查的站点相邻的概率为4/9．

2.（2011•宁夏）有一个均匀的正六面体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机地抛掷一次，把朝上一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面分布写有数字-2，-1，1的卡片，将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后计算出S=x+y的值．

（1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；

（2）求出当S＜2时的概率．

解：

（1）画树状图得：

∴一共有18中等可能的情况；

（2）∵当S＜2时的有5种情况，

∴当S＜2时的概率为5/18

3.（2011•江西）某教室的开关控制板上有四个外形完全相同的开关，其中两个分别控制A、B两盏电灯，另两个分别控制C、D两个吊扇．已知电灯、吊扇均正常，且处于不工作状态，开关与电灯、电扇的对应关系未知．

（1）若四个开关均正常，则任意按下一个开关，正好一盏灯亮的概率是多少？

（2）若其中一个控制电灯的开关坏了，则任意按下两个开关，正好一盏灯亮和一个扇转的概率是多少？

请用树状图法或列表法加以说明．

解：

（1）P（正好一盏灯亮）=．（2分）

（2）不妨设控制灯A的开关坏了

所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有4种．

∴P（正好一盏灯亮和一个扇转）=1/3．（6分）

4.（2011•河北）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形＞．

（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；

（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率．

解：

（1）∵转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2，

∴小静转动转盘一次，得到负数的概率为：

1/3；∴一共有9种等可能的结果，

两人得到的数相同的有3种情况，

∴两人“不谋而合”的概率为=1/3．

概率复习题