人教版八年级下册182特殊平行四边形讲义.docx
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人教版八年级下册182特殊平行四边形讲义
【知识体系】
菱形
【要点梳理】
要点一、矩形
1.定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.性质：
（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3.面积：
S矩形=长宽
4•判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形•
（3）有三个角是直角的四边形是矩形•
要点诠释：
由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.
要点二、菱形
1.定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2•性质：
（1）具有平行四边形的一切性质;
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;
（4）中心对称图形，轴对称图形
4•判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形;
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
（3）四边相等的四边形是菱形•
要点四、正方形
1.
定义：
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形
2.性质：
（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;
（6）中心对称图形，轴对称图形.
1
3.面积：
S正方形=边长x边长=—x对角线x对角线
2
4.判定：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形
类型一、矩形
、已知：
如图，D是厶ABC的边AB上一点，CN/AB,DN交AC于点MMA=MC①求证：
CD=AN；②若/AMD=2/MCD求证：
四边形ADCN是矩形.
【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出/DAC=ZNCA然后利用“角边角”证明△AMD和厶CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD-CN,然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出/MC-ZMDC再根据等角对等边可得
MD-MC然后证明AC=DN再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.
【答案与解析】
证明：
①•••CN/AB
•••ZDAC=ZNCA
在△AMDmCMN中,
DACNCA
•••MAMC,
AMDCMN
•△AMD2^CM（ASA,
•AD-CN
又•••AD//CN
•四边形ADCN是平行四边形，
•CD-AN；
②tZAM—2ZMCD,ZAM-ZMC9ZMDC
•ZMC—ZMDC
•MD-MC
由①知四边形ADCN是平行四边形，
•MD-MN=MA=MC
•AC—DN
•••四边形ADCN是矩形.
【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有个角是直角或对角线相等.
C^2、如图所示，在矩形
ABCD中,AB=6,BC=&将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F
处，求EF的长.
【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入RtAAEF中，由折叠可知CD=CF,DE=EF,易得AC=10,所以AF=4,AE=8-EF,然后在RtAAEF中利用勾股定理求出EF的值.
【答案与解析】
解：
设EF=X,
由折叠可得：
DE=EF=X,CF=CD=6,
又•••在Rt△ADC中，AC628210.
AF=AC-CF=4,AE=AD-DE=8-X.
在Rt△AEF中，AE2AF2EF2，
即（8x）242x2,
解得：
x=3•EF=3
【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解.
举一反三:
【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=3cm,BC=5
【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质•
举一反三:
ABCD是菱形吗？
如果是菱形请给出证明，如果不是
【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形菱形请说明理由.
类型三、正方形
的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由
【思路点拨】AE=EF.根据正方形的性质推出AB=BC,ZBAD=ZHAD=ZDC=90°,推出/HAE=ZCEF根据△HEB是以/B为直角的等腰直角三角形，得到BH=BEZH=45°,HA=CE,根据CF平分ZDCE推出ZH=ZFCE根据ASA证厶HAE^ACEF即可得到答案.
【答案与解析】
探究：
AE=EF
证明：
•••△BHE为等腰直角三角形，
•••/H=ZHEB=45°,BH=BE.
又•••CF平分/DCE四边形ABCD为正方形，
1
•••/FCE=—/DCE=45°,
2
•••/H=ZFCE.
由正方形ABCD知/B=90°,/HAE=90°+/DAE=90°+/AEB,
而AE丄EF,：
/FEC=90°+/AEB
•/HAE=/FEC.
由正方形ABCD知AB=BC•BH-AB=BE—BC,
•HA=CE,
•△AHE^AECF（ASA,
•AE=EF.
【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等
举一反三：
【变式】如图所示，E、F、GH分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FGGHHE则四边形EFGH为形.
①②③
（1）
当四边形满足
条件时，
四边形
EFGH是菱形.
⑵
当四边形满足
条件时，
四边形
EFGH是矩形.
⑶
当四边形满足
条件时，
四边形
EFGH是正方形
在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性.
【答案】四边形EFGH为平行四边形；
解：
（1）AC=BD
理由：
如图①，四边形ABCD勺对角线ACBD
11
此时四边形EFGH为平行四边形，且E十丄BD,HG=丄AC,得EH=GH
22
故四边形EFGH为菱形.
（2）AC丄BD
理由：
如图②，四边形ABCD勺对角线互相垂直，
此时四边形EFGH为平行四边形.
易得GHLBD即GHLEH,故四边形EFGH为矩形.
（3）AC=BD且AC丄BD,
理由：
如图③，四边形ABCD勺对角线相等且互相垂直，
综合
（1）
（2）可得四边形EFGH为正方形.
本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角
线互相垂直为矩形，综合得到正方形.
几种特殊四边形性质、判定
四边形
性质
判定
边
角
对角线
矩形
对边平行且相等
四个角是直角
相等且互相平分
1有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2有一个角是直角的四边形是矩形；
3对角线相等的平行四边形是矩形
菱形
四条边相等
对角相等，邻角互补
垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角
1有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2四条边都相等的四边形是菱形；
3对角线互相垂直的平行四边形是菱
形•
正方形
四条边相等
四个角是直角
相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组
对角
1邻边相等的矩形是正方形
2对角线垂直的矩形是正方形
3有一个角是直角的菱形是正方形
4对角线相等的菱形是止方形
类型一、矩形的判定
1、如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于0点，过点0作AC的垂线EF,分别交AD,BC于E，F点，连结CE，则△CDE的周长为（）*E
A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm
【解析】D
举一反三
【变式】如图，已知矩形ABCDn对角线BD折叠，记点C的对应点为C',若/ADC=20°,则/BDC的度数为
【答案与解析】55°
【变式2】矩形的边长为10和15,其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为（）
A.6和9B.5和10C.4和11D.7和8
斡;知图，,-AE平甘MLS*
：
^£BAE=4^r
又叭
:
^Ai3L呈尊屣直第三舞也.
:
占E二AB=LU.
.■PE-ltfrAH-In川一齐
【解析】=.匚「
【答案】B
【变式3】四边形ABCD勺对角线交于点0,在下列条件中，不能说明它是矩形的是（）
A.AB=CD,AD=BC/BA[=90°B./BAD/ABC=90°,/BAD+ZADC=10°
C/BADZBCD,/ABC+ZADC=18）°D.A0=C0,B0=D0,AC=BD
【答案】C
（2）因为四边形DEBF为矩形，所以/BFC=90。
在△BFC中,CF=3,BF=4,根据勾股定理得，
BCCF2BF232425，所以根据平行四边形的性质，AD=BC=5所以AD=DF=5所以/DAF=/DFA因
为DC//AB，所以/DFA=/FAB,所以/DAF玄FAB即AF平分/DAB
【举一反三】
⑴证明：
•••四边形ABCD是平行四边形,
•••AB//CD,AB=CD
•••/BAE=ZCFE/ABE玄FCE
•••E为BC的中点，
•EB=EC
•△ABE^AFCE
•AB=CF.
⑵当BC=AF时,四边形ABFC是矩形。
理由如下：
•••AB//CF,AB=CF
•四边形ABFC是平行四边形，
•/BC=AF
•四边形ABFC是矩形。
3、如图，△ABC中，点0是AC上一个动点，过点
0作直线MN//BC,设MN交/BCA的平分线于点E,交/
BCA的外角平分线于点F,
（1）求证：
OE=OF；
（2）当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。
【解析】
（2）当0运动幽C中亢时.四边皤ABCF対柜好理由，丁。
是帆的中点.
（1）-g平分zJo
Zace-Zbce
'.'MIJi1,BC
，:
zece=zoex
■OE-OC
同理可將，OF=OC
.■-CB-QF
VEO-FO
/.E3边影aecf■是平斤E3边形
vceAZacb的平分6LCF是EACD的平分銭
■■-£ACR■i/ACfi■ZXCF>-x£4CP
22
ZrfCT*ZJCF*厶5亠卜1盼一剜
二_ECF=ZaCE+^1ACF=9O*
.:
四边戕尼CF为距形
举一反三
【变式】如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
（1）求/CAE的度数;
IDUI暮边三甫壮"且.
-DA^Stf-BAC.K3..DAH-DAC佃,
■'\DAE見需边三傭飛,
.■-LAE-titl.
^CAE-ZDAE-ZCAD-3Dpi
5证响.^DACft^l^三甸刑.F是AD中点.
ACF.ABi
A.BFC-90C
由fl|45ifAfcMl・x：
ElAC-fil]'k
仏FAE^ftDi
/-AECPi
VB盘f是等惋三用刑"HAD.CF^SIgBC.AH边曲中炊,/-AO-Cfi
RVADAEr
ACp-AEi
・「C3过ffSAFCE星平行ESi2刑n
AFC-/FAE-WI\
/曰边卿AFCE是矩服
【考点】等边三角形的性质以及矩形的判定方法.
矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形;
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形
类型二、菱形的判定
CP1.如图在△ABC中,AD平分/BAC交BC于D点，过D作DE//AC交AB于E点，过D作DF//AB交AC于F点.求证：
（1）四边形AEDF是平行四边形；
（2）72=Z3;（3）四边形AEDF是菱形。
filli£^（ir.'DEl|AC（DFI|AD,二四边龙一UiLM'是二#T四込那.
AD平企BVC.
—也
[HDFiAR./1_3
故八
（3）■/□边形血EDF呈平匚达形,又」一出
A.VF-DF.
【解析】■-…、
举一反三
【变式】已知：
如图二ABCD的对角线AC的垂直平分线与边ADBC分别交于E、F.求证：
四边形AFCE是菱形.
【解析】证明：
•••AE//FC.
•••/EAC玄FCA.
EAO
FCO
•••在△AOE-与^COF中,AOCO
•E0=FO
•△AOE^ACOF（ASA）.
•四边形AFCE为平行四边形,又•••EF丄AC,
•四边形AFCE为菱形;
2.如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BQ过点D作DE//ABDE与ACAE分别交于点O点E,连接EC.
（1）求证：
AD=EC
（2）当/BAC=90时，求证：
四边形ADCE是菱形.
IJ.-4：
ill.「LL.Tr-ul:
.W.
-四：
.-I朴门占已二i-zji
AE=BO,
t＞世ar中岂
■ti（
-At•
:
同站带山＞诈昱平恤1边澈
/-AD*EC：
|2_斤窓：
=水|丸加壬”心.4虫-翠边二R屮孔,
［解析】：
计上：
■宀:
门罕，右曲.X宀萍!
}.
【方法总结】
举一反三
【变式】如图，在四边形ABCD中,AB=ADCB=CDE是CD上一点，BE交AC于F,连接DF.
（1）证明：
/BACKDAC/AFD=/CFE
（2）若AB//CD试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在
（2）的条件下，试确定E点的位置，/EFDKBCD并说明理由.
〔1）证咱，在厶或1?
和止ADC1.BC=DC.AC=AC，
AZBAC=ZOiACf
tEAADP和右AIM中”AE-AD,ZdaF-ZdAF,AP-AFt
-/xFD^ZAFE・ZaFB=Zcfe,
（3）当eb-ljBJ,叩］i为逸且Sim垂宜时垂线的垂足.
丄皿匸・ZCFE；
zefd=zbcd（
理由i丁四边形ABB%菱旳,
⑵证明zvabFCD（
■'■-ZlaC-^aCEi*
5?
'■■ZBAC=Zl>c.
在4bCF■和CP■中・BC-CDhZccp--DCF.CP-CF,
二ABCFS3ADCF（SAS）.
Zcat^Zact.
/.ZCB^ZCDF，
TEE丄CD*
'.Ah^ALbCB=DD.
.・*AB—CB-CD-AD<
二ZboZcbe-zcdf+zhfd,
四边形AECD是Sft?
}
■'.ZEFD-ZBCD
类型三、正方形的判定与性质
a
1、如图，在正方形ABCD中,P是AD上任一点，PE!
AC,PF丄BD,点E、F分别是垂足，BD+AC=14贝UPE+PF=
【答案】3.5（三角形APE为等腰直角三角形，所以PE+PF的长为对角线长度一半）
举一反三
【变式1】在正方形ABCD中,E是BC上一点，AE把正方形分成两部分，且SABE:
S弟形aecd1：
5,AB=6,则AE=
Sjfic=中==36
AH>-tit-1+泊：
41“=忖"=：
］&
/.也=鬲=G
/.=2xt-2
{J
【答案】
.\e=J护+尹=vln=2v5（）
【变式2】在四边形ABCD中,0是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）
A.AC=BDAB//CDAB=CDB.AD//BC,/A=ZC
C.AO=BO=CO=DO,AC丄BDD.AO=CO,BO=D0AB=BC
【答案】C
【变式3】如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形上有一点P,使PDPE的和最小，则这个最小值为（）
A.23
B.26
C.3
【答案】A
解；
设BE与AC交于■点F（P*）・建接BD・
【解析】
2.已知：
如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A,试说明：
DG=BE。
证明：
•四址治AE口、吐何昱三右聘
..AD4^.4G=If,/DAH-/＜；Ah.
:
-^.GAB=£GAE-jLGAB,
0PZJJ.l（；=Z^U\
在riuG中
{
.w-.tf?
/P4G=/R4F.
AG=
*
，”ADNG=ATMQ
【解析】
举一反三
【变式1】如图所示，在等腰直角三角形△ABC中，/C=90°,/A、/B的平分线交于点D,DE丄BC于E,DF丄AC
于F,试说明四边形CEDF为正方形。
，‘.匹lXWrFl^fr-.
ED分别＜ZcAB.ZcBAW平分暮
.r-DF=CGrDG=DE，
【解析】
■■Ef-DE*
二匚注赦TUF呆芒7i笊:
.
动点平行四边形
解题一般步骤：
（1）设未知数，一般以时间为未知数，用含未知数的式子表示出线段长；
（2）列等式。
寻找不同线段的等量关系（注意题目中的多解性），列一元方程，解方程;
（3）作答：
根据未知数做答并检验。
【典型例题】
1.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,/B=90°AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使PQ//CD和PQ=CD,分别需经过多少时间？
为什么？
解：
①设经过ts时，PQ//CD,此时四边形PQCD为平行四边形.
■/PD=（24—t）cm,CQ=3tcm,
24—1=3t,二t=6.
•••当t=6s时，PQ//CD,且PQ=CD.
②设经过ts时，PQ=CD,分别过点P,D作BC边的垂线PE,DF,垂足分别为E,F.
当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或平行四边形.
B=ZA=ZDFB=90°
•四边形ABFD是矩形.•••AD=BF.
TAD=24cm,BC=26cm,•-CF=BC—BF=2cm.
当四边形PQCD为梯形（腰相等）时，
PD+2（BC—AD）=CQ,
•（24—t）+4=3t.•t=7.
•••当t=7s时，PQ=CD.
当四边形PQCD为平行四边形时，由①知当t=6s时，PQ=CD.
综上所述,当t=6s时，PQ//CD;当t=6s或t=7s时，PQ=CD.
【举一反三】
【变式】如图，在四边形ABCD中,AD//BC,且AD>BC,BC=6cm点P、Q分别从A、C两点的位置同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动試探究：
几秒后四边形ABQP是平行四边形？
【解析】
解；：
运动时间为区秒
"P*QC=2x
T四边形ABQP是平行四边形
AP=UQ
=（i—2迟
答;2秒后四边形AB®是平行四边形.
BD相交于0点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延
【变式2】如图，矩形ABCD中，对角线AC,长线交BC于Q点.
（1）求证：
四边形PBQD为平行四边形；
（2）若AB=3cm,AD=4cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点P运动时间为ts,问四边形PBQD能够成为菱形吗？
如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
解：
⑴证明：
•••四边形ABCD是矩形，
•••AD//BC,0D=OB.AZPDO=ZQBO.
在厶POD和厶QOB中，
/PDO=ZQBO,
OD=OB,
/POD=ZQOB,
•••△POD◎△QOB（ASA）.•••OP=OQ.
又•••OB=OD,
•四边形PBQD为平行四边形.
（2）点P从点A出发运动ts时，AP=tcm,PD=（4—t）cm.
当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4—t）cm.
•••四边形ABCD是矩形，•/BAP=90°.
在Rt△ABP中，AB=3cm,AP2+AB2=PB2,
即t2+32=（4-t）2,解得t=8.
•••点P运动时间为7s时，四边形PBQD为菱形.
8
教师：
本专题你有哪些收获和感悟？
课后作业
一•选择题
1.如图，口ABCD中,AB=3cmAD=4cmDE平分/ADC交BC边于点E,贝UBE的长等于（）
A.2cmB.lcmC.1.5cmD.3cm
2.在口ABCD中,AB=3cm,AD=4cm，/A=120°,贝U口ABCD的面积是（）
A.3.3B.63C.15、3D.123
3.如图所示，将一张矩形纸ABCD沿着GF折叠（F在BC边上，不与B,C重合），使得C点落在矩形ABCD的内部点E
A.90°VaV180°B.a=90°
C.0°VaV90°D.a随着折痕位置的变化而变化
4.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案,
其中正确的是（）.
A.测量
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