数学必修1第三章函数的应用教案.docx

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数学必修1第三章函数的应用教案

第三章函数的应用

一、课程要求

本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题.

1.通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.

2.根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.

3.借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系.

4.收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.

二、编写意图和教学建议

1.教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.

2.教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想,以及从具体到一般的认识规律.此外,还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.

3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解.因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.

4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.

5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值.教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例.

三、教学内容与课时的安排建议

全章教学时间约需9课时.

3.1函数与方程3课时

3.2函数模型及其应用4课时

实习作业1课时

小结1课时

§3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标

知识与技能

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

②培养学生的观察能力．

③培养学生的抽象概括能力．

过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．

②让学生归纳整理本节所学知识．

情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

二、教学重点、难点

重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．

三、学法与教学用具

学法：

学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

教学用具：

投影仪。

四、教学设想

（一）创设情景，揭示课题

1、提出问题：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与二次函数

y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有什么关系？

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

（用投影仪给出）①方程与函数

②方程与函数

③方程与函数

1．师：

引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：

独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：

上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

互动交流研讨新知

1.函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．

2.函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3.函数零点的求法：

求函数的零点：

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联

系起来，并利用函数的性质找出零点．

1．师：

引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：

认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

①代数法；

　②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数的零点：

二次函数　．

（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数的图象：

①在区间上有零点______；_______，_______,

·_____0（＜或＞＝）．

②在区间上有零点______；·____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数的图象

①在区间上______（有/无）零点；·_____0（＜或＞＝）．

②在区间上______（有/无）零点；·_____0（＜或＞＝）．

③在区间上______（有/无）零点；·_____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？

4．生：

分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：

引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：

结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：

引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

（三）、巩固深化，发展思维

1．学生在教师指导下完成下列例题

求函数f（x）=㏑x＋2x－6的零点个数。

问题：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数，并画出它的大致图象．

师：

引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：

借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

2．P97页练习第二题的

（1）、

（2）小题

（四）、归纳整理，整体认识

请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。

（五）、布置作业

P102页练习第二题的（3）、（4）小题。

§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标

知识与技能

（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；

（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

过程与方法

（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；

（2）让学生归纳整理本节所学的知识。

情感、态度与价值观

①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；

②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。

二、教学重点、难点

重点：

用二分法求解函数f（x）的零点近似值的步骤。

难点：

为何由︱a－b︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）?

三、学法与教学用具

想－想。

教学用具：

计算器。

四、教学设想

（一）、创设情景，揭示课题

提出问题：

（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？

（2）通过前面一节课的学习，函数f（x）=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？

（二）、研讨新知

一个直观的想法是：

如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）≈－0.084,因为f（2.5）*f（3）＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；

再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512,因为f（2.75）*f（2.5）＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；

由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。

例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f（x）=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。

这种求零点近似值的方法叫做二分法。

1．师：

引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．

生：

认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。

2．为什么由︱a－b︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？

先由学生思考几分钟，然后作如下说明：

设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：

0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；

由于︱a－b︳＜，所以

︱x0－a︳＜b－a＜,︱x0－b︳＜∣a－b∣＜,

即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。

㈢、巩固深化，发展思维

学生在老师引导启发下完成下面的例题

例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）

问题：

原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？

师：

引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f（x）,则原方程的解就是f（x）的零点。

生：

借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．

（四）、归纳整理，整体认识

在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：

本节我们学过哪些知识内容？

你认为学习“二分法”有什么意义？

在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？

（五）、布置作业

P102习题3.1A组第四题，第五题。

§3.2.1几类不同增长的函数模型

一、教学目标:

1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性.

2.过程与方法能够借助信息技术,利用函数图象及数据表格,对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较,初步体会它们的增长差异性;收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）,了解函数模型的广泛应用.

3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.

二、教学重点、难点：

1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.

三、学法与教学用具：

1.学法：

学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.

2．教学用具：

多媒体.

四、教学设想：

（一）引入实例，创设情景.

教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.

（二）互动交流，探求新知.

1.观察数据，体会模型.

教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.

2.作出图象，描述特点.

教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.

（三）实例运用，巩固提高.

1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.

2.教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.

3．教师引导学生分析得出：

要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程.进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求.

5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数（＞0）、指数函数（＞1）、对数函数（＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告.教师对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.

6.课堂练习

教材P116练习1、2，并由学生演示，进行讲评。

（四）归纳总结，提升认识.

教师通过计算机作图进行总结，使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的含义及其差异，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值和内在变化规律.

（五）布置作业

教材P119练习第2题

收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用，并思考。

有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，在具体应用函数模型时，应该怎样选用合理的函数模型.

§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅰ）

一、教学目标：

1.知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.

2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.

3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.

二、教学重点与难点：

1．教学重点：

运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.

2.教学难点：

将实际问题转变为数学模型.

三、学法与教学用具

1.学法：

学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.

2.教学用具：

多媒体

四、教学设想

（一）创设情景，揭示课题

引例：

大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：

“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？

”这四句的意思就是：

有若干只有几只鸡和兔？

你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？

你有什么更好的方法？

老师介绍孙子的大胆解法：

他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：

47－35＝12；鸡数就是：

35－12＝23.

比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.

可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.

（二）结合实例，探求新知

例1.某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

探索：

1）本例所涉及的变量有哪些？

它们的取值范围怎样；

2）所涉及的变量的关系如何？

3）写出本例的解答过程.

老师提示：

路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.

学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.

例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：

1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？

2）本例涉及到几个函数模型？

3）如何理解“更省钱？

”；

4）写出具体的解答过程.

在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：

通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。

数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等.

课堂练习1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

引导学生探索过程如下：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？

4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.

[略解：

]

设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：

0＜＜30

设客房租金总上收入元，则有：

=（20+2）（300－10）

=－20（－10）2＋8000（0＜＜30）

由二次函数性质可知当=10时，=8000.

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.

课堂练习2要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？

并求此最低造价.

（三）归纳整理，发展思维.

引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：

合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为

函数模型问题：

2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；

3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；

4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观

性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.

（四）布置作业

作业：

教材P120习题3.2（A组）第3、4题：

3.2.2函数模型的应用实例（Ⅱ）

一、教学目标

1.知识与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.

2.过程与方法进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.

二、教学重点

重点利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.

难点将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.

三、学法与教学用具

1.学法：

自主学习和尝试，互动式讨论.

2.教学用具：

多媒体

四、教学设想

（一）创设情景，揭示课题.

现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.

（二）实例尝试，探求新知

例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

1）写出速度关于时间的函数解析式；

2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；

3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.

本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.

教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.

注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.

例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料：

（单位：

万人）

年份

1950

1951

1952

1953

1954

人数

55196

56300

57482

58796

60266

年份

1955

1956

1957

1958

1959

人数

1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？

探索以下问题：

1）本例中所涉及的数量有哪些？

2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？

3）根据表中数据如何确定函数模型？

4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？

如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？

本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.

完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.

在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.

引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.

课堂练习：

某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

探索以下问题：

1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？

2）如何对所确定的函数模型进行评价？

本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型.

引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.

本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.

三.归纳小结，发展思维.

利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；

1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；

2）利用待定系数法，确定具体函数模型；

3）对所确定的函数模型进行适当的评价；

4）根据实际问题对模型进行适当的修正.

从以上各例体会到：

根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.

图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式.在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种