微分几何试题及答案Word下载.docx
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1y
密切平面:
z
1?
0,即?
0?
110
t?
r}?
t?
()r(t)?
{cots,stin{tsint,
r?
(t)?
cost,?
sint,0},r?
{sint,?
cost,0}。
|r?
|k?
1}r,?
{sitn?
ctos,r?
r|2
)1|r?
|1(r?
r?
?
r?
32
(r?
)2|r?
|2
2.计算抛物面z?
x2?
y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。
{x,y,x2?
y2},rx?
{1,0,2x},ry?
{0,1
2y},
rxx?
{0,0,2},rxy?
{0,0,0},ryy?
{0,0,2}n?
rx?
ry|rx?
ry|
所以有e?
rx?
4x,
f?
rxry?
4xy,g?
ry?
4y
l?
rxxn?
,m?
rxyn?
0,n?
ryyn?
i?
(1?
4x2
)dx2?
8xydxdy?
4y2)dy2
ii?
22
ln?
m24lg?
2mf?
ne2?
4x2?
4y2
,h?
k?
eg?
f2(1?
4y2)22(eg?
f2)(1?
4y2)3/2
在脐点有ii?
i,由此得x?
0,即唯一的脐点是原点。
3.计算正螺面r?
(ucosv,usinv,av)的高斯曲率、平均曲率。
解ru?
(cosv,sinv,0),rv?
(?
usinv,ucosv,a),
ruu?
(0,0,0),ruv?
sinv,cosv,0),rvv?
ucosv,?
usinv,0),
i
ru?
rv?
cosv
jsinv
k
(asinv,?
acosv,u),
usin
vucosva
n?
|ru?
rv|
ru?
1,f?
0,g?
a2?
u2,l?
ruu?
n
0,m?
ruv?
n?
ln?
m2a2
,
k?
2
f2(a?
u2)2
,n?
rvv?
0,
1en?
2fm?
gl1
h?
2eg?
f2acostha,3.求曲线r(t)?
(
stinaht曲率和挠率,其中cosht?
的,
sinht?
。
解由一般参数的曲率公式?
(r?
)
和挠率公式以及?
32
(asinht,acosht,a)
(acosht,asinht,0)r?
(asinht,acosht,0)
1
2
2acosht2
有|r
|?
cosht,|r?
|2cosh2t,(r?
)?
a,
.
2acosh2t
4.计算抛物面z?
y的高斯曲率和平均曲率.
解设抛物面的参数表示为r(x,y)?
(x,y,x2?
y2),则rx?
(1,0,2x),ry?
(0,1,2y),
(0,0,2),rxy?
ryx?
(0,0,0),ryy?
(0,0,2),
j
102x?
2x,?
2y,1),n?
012y
e?
4x2,f?
4xy,g?
4y2,
rxx?
m?
rxy?
ryy?
4
m244x2?
4y2?
1k?
,2222222
f(1?
4x)(1?
4y)?
(4xy)(4x?
4y?
1)
1gl?
en4x2?
.h?
3
f2
(4x2?
1)2
三、证明题
1.若曲面的两族渐近线交于一定角,则主曲率之比为常数。
证明:
取渐进网为曲纹坐标网,则v曲线与u曲线的夹角为常数?
,且v曲线方向的法
k1sin2?
曲率为零。
根据欧拉公式有k1cos?
k2sin?
k2cos?
2.圆柱螺线的参数表示为r?
(acost,asint,bt)。
计算它的曲率和挠率。
解r?
asint,acost,b),r?
acost,?
asint,0),
r
(asint,?
acost,0),|r?
(absint,?
abcost,a2),|r?
所以有?
a
b2
,?
ba?
.
3.求证直纹面的高斯曲率k?
0,等号成立的充要条件是直纹面可展。
证明直纹面的参数表示为r?
a(u)?
vb(u)。
由此得
a?
(u)?
vb?
(u),rv?
b(u),ruu?
,ruv?
b?
,rvv?
n
,l?
2?
,
m2(b?
a?
b)2
0。
所以k?
0,222eg?
f(eg?
f)等式成立的充要条件是(b?
b)?
0,即曲面是可展曲面。
4.设有曲面r?
r(u,v),其单位法向量是n,高斯曲率是k。
证明nu?
nv?
kru?
rv。
证明因nu,nv是切向量,所以nu?
nv//ru?
设nu?
两边与ru?
rv作内积得(nu?
nv)?
(ru?
rv)?
rv)。
由拉格朗日公式得?
k。
【篇二:
微分几何试题库(选择题)】
p(t0)是曲线r=r(t)上一点,p1是曲线上p点附近的一点,
s为弧pp1
的长,?
为曲线在p点和p1点的切向量的夹角,k(s)是曲线在p点的曲率。
则下面不等于?
lims?
0|
s
|。
①k(t0)②|r(t0)|③|?
(t0)|④?
(t0)2.曲线r=r(s)在p点的基本向量为?
,?
在p点的
曲率k(s),挠率为?
(s),则?
=。
①k(s)?
②-k(s)?
+?
(s)?
③-?
④k(s)?
-?
3.曲线r=r(s)在p(s)点的基本向量为?
在p点的曲率k(s),挠率为?
=.
②?
③-k(s)?
④-?
12
4.曲线r=r(s)在p(s)点的基本向量为?
(s),则下式不正确。
①?
=-k(s)?
②?
=-k(s)?
③?
=k(s)?
④?
=-?
5.曲线r=r(s)在p(s)点的基本向量为?
(s),则。
①?
②?
③?
④?
6.曲线r=r(s)在p(s)点的基本向量为?
则下式不正确。
=2?
=3?
-2?
=-3?
+2?
④?
=2?
7.曲线r=r(s)在p(s)点的基本向量为?
(s)=。
①?
④-?
③(c)的曲率k=0;
④(c)的挠率?
=0。
11.已知曲线r=r(t)在r(t0)点的挠率为?
,则?
是
时,曲线在r(t0)点附近是右旋的。
8.曲线r=r(t)在p点的曲率k,挠率为?
,则下式不正确。
①k?
r||r|2②k?
r|
|r|3
③k?
|r|④?
(r,r,r)
r)
(r,r,r)(r,r,r
k2③?
(r,r,r)(r,r(r?
r)2
r)
|r?
10.设曲线(c):
r=r(t),以下不是(c)为平面曲线的充要条件。
①(c)的密切平面固定;
②(c)的副法向量?
=常矢
13
①—2
②
③—
④12.若曲线的所有密切平面经过一定点,则此曲线是
①直线;
②平面曲线;
③球面曲线;
④圆柱螺线。
13.若曲线?
的曲率、挠率都为非零常数,则曲线?
是。
①平面曲线;
②球面曲线;
③圆柱螺线;
④直线。
14.平面曲线(c)的法线和它的渐缩线(c?
)在对应点处。
①相交;
②相离;
③相切;
④关系不确定。
15.平面曲线(c)上两点的曲率半径之差渐缩线上对应点之间的弧长。
①等于;
②大于;
③小于;
④不等于。
16.曲线(c)是一般螺线,则以下命题不正确。
①(c)的切线与一固定方向成固定角;
②(c)的副法线与一固定方向成固定角;
③(c)的主法线与一固定方向垂直;
④(c)的副法线与一固定方向垂直。
17.曲线(c)在条件下不一定是一般螺线。
①其切向量与一固定方向成固定角;
②其主法向量与一固定方向成固定角;
③其副法向量与一固定方向成固定角;
④其曲率与挠率之比为常数。
18.若曲线的切向与一固定方向成固定角,则以下命题正确。
①曲线的主法线与固定方向垂直;
②曲线的副法线与固定方向成定角;
③曲线的副法线与固定方向垂直;
④曲线的曲率与挠率之比为常数。
19.下述命题不正确的是。
①若曲线(c)的密切平面固定,则(c)是平面曲线;
②若曲线(c)的密切平面垂直于某条固定直线,则(c)是平面曲线;
③若曲线(c)的挠率?
(s)=0,则(c)是平面曲线;
④若曲线(c)的从切平面平行于固定直线,则(c)是平面曲线。
20.对曲面的第一基本形式?
edu2?
2fdudv?
gdv2,
14
①0;
②0;
③≥0;
④≤0。
21.球面r?
{rcos?
cos?
rcos?
sin?
rsin?
}的第一基本形式i=。
①r2d?
r2cos2?
d?
2;
②r2cos2?
r2d?
③r2d?
r2sin2?
④r2sin2?
2。
22.正螺面r?
{ucosv,usinv,bv}的第一基本形式是。
①du2?
(u2?
b2)dv2②(u2?
b2)du2?
dv2③u2du2?
dv2④du2?
u2dv2
23.正螺面r?
{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是。
①
③(u2?
b2)dv2
24.对于圆柱面r?
z},以下结论不正
确。
①坐标网是正交网;
②沿同一直母线的切平面是同一个;
③其上高斯曲率为零;
④其上没有抛物点。
25.以下量中,不是曲面的内蕴量。
①曲面上两曲线的夹角;
②曲面上曲线的弧长;
③曲面上曲面域的面积;
④曲面上一点沿一方向的法曲率。
26.曲面r?
r(u,v),n是其单位法向量。
下列第二类基本量的计算中是不正确的。
①l?
ru;
②l?
n;
③l?
nu;
④l?
nu?
ru。
27.曲面r?
下列第二基本量的计
算中是不正确的。
①m?
②m?
③m?
nv;
④m?
nu。
28.曲面r?
r(s,t),n是其单位法向量。
①n?
rtt?
②n?
rt?
nt;
③n?
④n?
rtt。
29.以下说法正确的是。
①法曲率是法截线的曲率;
②法曲率大于等于零;
③法曲率是曲率向量r在主法向量?
上的投影;
④法曲率的绝对值是法截线的曲率。
30.曲面r?
r(u,v)在p点的第一第二基本形式分别为?
15
过p点的曲线(c)在p点的曲率为k,曲面在p点沿(c)的方向(d)的法曲率为kn,(c)在p点的主法线与曲面的法向n的夹角为?
,则下式正确。
;
②k;
③|k?
kcos?
n|?
④kn?
ksin?
31.在曲面的椭圆点处,。
①ln?
m2
0;
②ln?
0;
③ln?
m2?
0;
④l=m=n=0.
32.如果曲面上一点p处有ln?
0,则点p是。
①椭圆点;
②双曲点;
③平点;
④抛物点。
33.圆环面上的点是。
③抛物点;
④或①或②或③。
34.一条有拐点的曲线绕一条直线旋转所得旋转曲面上的点是。
35.(c)是曲面s上的曲线,(c)上的点满足时,不一定是渐近线。
(其中?
n是沿(c)的法曲率,?
是第二基本形式,?
g是测地曲率)
①kn?
0;
③k=0;
④kg=0.36.椭圆抛物面上的点是。
①椭圆点;
②双曲点;
③平点;
④抛物点。
37.曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是①e=g=0;
②l=n=0;
③f=0;
④m=0.
38.曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是。
①f=0;
②m=0;
③l=n=0;
④f=m=0.
39.曲面上的曲纹坐标网是正交网的充要条件是。
③e=g=0;
④l=n=0.
40.曲面上的曲纹坐标网是曲率网的充要条件是。
③f=m=0;
41.设l、n是曲面的第二类基本量,l=n=0是曲面的曲纹坐标网为网的充要条件。
①正交网;
②渐近网;
③曲率线网;
④半测地坐标网.42.曲面在一点的单位法向量是n,在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是。
r是另一方向)
①dn?
r使?
dr?
r使dn?
0;
④?
0且dr?
0.43.曲面在一点的单位法向量是n,在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是。
44.曲面在一点的单位法向量是n,在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是。
④dn?
dr。
45.曲面在一点的单位法向量是n,在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是。
16
④dn‖dr。
46.曲面在一点的单位法向量是n,在该点的一个方向是dr,则dn?
dr的充要条件是。
r使dr?
③沿dr有?
0;
47.下列不是dr?
du:
dv与?
u:
v共轭的充要条件。
②?
③dn?
④ldu?
u?
m(du?
v?
dv?
u)?
ndv?
48.f=m=0是曲纹坐标网为网的充要条件。
①正交网;
②共轭网;
③曲率网;
④渐进网。
49.以下说法不正确的是。
①球面上的每个点都是圆点;
②平面上的每个点都是平点;
③双曲抛物面上的点都是双曲点;
④球面上也可以有双曲点。
50.以下结论不正确的是。
①球面上的每一条曲线是曲率线;
②平面上的每一条曲线是曲率线;
③圆柱面上的圆柱螺线是曲率线;
④旋转曲面上的纬圆是曲率线。
51.以下结论不正确的是其中n是曲面的单位法向量)。
①在等距变换下,曲面的第一、第二基本量是不变的;
②如果dn?
dr,则(d)是主方向;
③曲面上的直线既是渐近线又是测地线;
【篇三:
微分几何测试题集锦(含答案)】
t>
一.填空题:
(每小题2分,共20分)
⒈向量r(t)?
t,3t,a?
具有固定方向,则a=___t__。
r,r?
r(t)⒉非零向量满足的充要条件是以该向量为切?
方向的曲线为平面曲线
⒊设曲线在p点的切向量为?
,主法向量为?
,则过p由?
确定的平面
是曲线在p点的___密切平面__________。
⒋曲线r?
r(t)在点r(t0)的单位切向量是?
(t0)点,则曲线在r?
的法平面方
程是__________________________。
⒌曲线r?
r(t)在t=1?
点处有?
,则曲线在t=1对
应的点处其挠率
(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__一般螺线__
⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角,则这曲线的曲
率与挠率的比是___常数_________________。
⒐曲面z?
(z,x在点)y(x0,y0,z0的)法线方程是
_____________________。
二.选择填空题:
(每小题3分,共30分)
11、若曲线的所有密切平面经过一定点,则此曲线是
___c___。
a、直线b、平面曲线c、球面曲线d、圆柱螺
线
12、曲线r,挠率为?
,则下列式?
r(t)在p(t)点的曲率为k
子___a___不正确。
a、k?
2r?
b、k?
3r?
c、k?
rd、?
2?
13、对
2于曲2面的2第一基__d___。
本形式i?
edu?
gdv,eg?
f
a、?
0b、?
0c、?
0d、?
三.计算与证明题:
(22题14分,其余各9分)
21、已知圆柱螺线r?
cost,sint,t?
,试求
⑴在点?
0,1,
的切线和法平面。
2?
⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?
:
u?
⑴?
的第一、第二基本形式;
⑵?
在任意点处沿任意方向的法曲率;
⑶?
在任意点的高斯曲率和平均曲率;
⑷试证?
的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题
(二)
1.若向量函数r
()?
r(t)的终点在通过原点的一条直线上,则
a.r?
(t)是定长的;
b.r?
(t)是定向的;
c.r?
1;
d.r(t)?
2.
(t)2.对于向量函数r(t),若r(t),则()
a.r(t)是定长向量;
b.r?
(t)定长向量;
c.r(t)是定向向量;
d.r?
(t)是定向向量.
3.设a,b均为非零向量,且ab?
0,则()
A.a,b线性相关;
B.a,b线性无关;
C.a可以由b线性表示;
d.b可以a由线性表
示.
4.挠率?
0,曲率k?
2的曲线是()
4a.半径为4的圆;
b.半径为的圆;
c.半径为2的圆;
d.半径为的圆.21
5.空间曲线的形状由()决定
a.由曲率和挠率;
b.仅由曲率;
c.仅由挠率;
d.由参数的选取.
6.曲率是常数的曲线()
a.一定是直线;
b.一定是圆;
c.一定是球面上的曲线;
.答案a,b,c都不
对.
7.设s是球面,则()
a.s上每一点是双曲点;
b.s上每一点是抛物点;
c.s上的圆的?
指向球心;
d.s上的测地线的?
指
向球心.
8.若曲面s在每一点的高斯曲率为,则它可以与半径为()41
的球面贴合
a.;
b.2;
c.;
d.4.2411
9.圆柱螺线r?
{acost,
asint,bt}在任一点的切线与z轴的夹角()
a.为;
90?
b.0?
;
c.与t有关;
d.与b
有关.
10.设非直线的曲线c是曲面s:
r(u,v)上的测地线,则有
()
a.c在每一点?
∥n;
b.c在每一点?
n;
c.c在每一点?
d.c在每一点?
n.
1.向量函数r?
满足?
dt,r?
0,则必有一常向量a,
满足a⊥r?
2.如果曲线c:
的所有向径共面,则r?
必与某一固
定向量垂直.
3.曲线的形状只由曲率和挠率决定.
4.直纹面上的直母线一定是曲率线.()
5.若曲面s与一个半径为r的球面沿一个半径为r?
的
圆c相切,则c是s上的测地线.
6.如果两个曲面s1与s2之间的一个对应关系,使得它们在
对应点有相同的高斯曲率,则s1与s2等距等价.
7.设曲面s:
r=r?
u,v?
如果l:
e
m:
f,则v—线是曲率线.