微分几何第三版第二章课后题答案1文档格式.docx
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cos「0
即xcos：
cos+ycos：
sin+zsin二-a=0；
xacos、：
cos「yacos、：
sin「zasin二
。
cos二cos「cossin「sin二
22
4.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此ab
曲面只有一个切平面。
解椭圆柱面二＞yr=1的参数方程为x=cos：
y=asin二，z=tab
rd-{-asin二，bcos,0}
0=0，即xbcos：
+yasin：
—ab=0
此方程与t无关，对于二的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而二的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
3
5.证明曲面r=｛u,v,—｝的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
UV
数。
2曲面的第一基本形式
ru二{a,b,2v},rv二{a,—b,2u},
F-ru
Tv
22亠22
=a-b4uv,G=rva
■b2■4u2,
（a2'
b2'
4v2）du2'
2（a2
22222
—b4uv）dudv'
（ab4u）dv。
bv｝的第一基本形式，并证明坐标曲线互
解ru={cosv,sinv,0},={-usinv,ucosv,b}，E二打=1，F=山讥=0，
G=l2=u2•b2，二I=du2■（u2-b2）dv2,VF=O,A坐标曲线互相垂直。
3.在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=V的曲线
的弧长。
解由条件ds2=du2-sinh2udv2,沿曲线u=V有du=dv，将其代入ds?
得
ds2=du2-sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲线u=v上，从v1至Uv2的
v2
弧长为|coshvdv|=|sinhv2-sinhv1|。
vi
4.设曲面的第一基本形式为I=du2■（u2■a2）dv2，求它上面两条曲线u+v=0,u-v=0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E=1，Fv=o,G^u2■a2，曲线u+v=0与u-V=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E=1，Fv=0，G=a2。
曲线u+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为Su=
Sv,设两曲线的夹角为:
，则有
cos=Edu亠Gd—u-二
*‘Edu2+GdvGEdu'
+Gdv?
1+a
5.求曲面z=axy上坐标曲线x=x。
y=y。
的交角.
解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x。
的向量表示为
r={x°
y,ax°
y}，其切向量口={0，1,ax。
}；
坐标曲线y=y。
的向量表示为r={x,
y。
axy。
}，其切向量rx={1，0，ay°
}，设两曲线x=x0与y=y。
的夹角为;
，则
2
有cos
=rxTyaX。
|rx||ry1.1a2x：
■1a2y02
6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程
解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为Su:
Sv，则有
EduSu+F（duSv+dvSu）+GdvSv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为ESu+FSv=0.
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为FSu+GSv=0.
7.在曲面上一点,含du,dv的「次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,确定两
个切方向（du:
dv）和（Su:
Sv）,证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+
GP=O.
证明因为du,dv不同时为零，假定dv=0,则所给二次方程可写成为P（巴）2+
dv
dudu、.udu、.uRdu、.u2Q
①又根据二方
2Q+R=0,设其二根一，一，则=—,+一二一一
dvdv、.vdv、.vPdv、.vP
向垂直的条件知E巴兰+F（巴+兰）+G=0……②
dv&
dv6v
将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.
8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv
证用分别用S、厂、d表示沿u—曲线，v—曲线及其二等分角线的微分符号，
即沿u—曲线Su=0,Sv=0，沿v—曲线、「u=0,、「v=0.沿二等分角轨
线方向为du:
dv，根据题设条件,又交角公式得
u=-av
展开并化简得E（EG-f2）du2=G（EG-F2）dv2,而EG-F2>
0,消去EG-F2得坐标曲线
的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv
9.设曲面的第一基本形du2■（u2■a2）dv2，求曲面上三条曲线v=1相交所成的三角形的面积。
解三曲线在平面上的图形（如图）线围城的三角形的面积是
01a1
S=.u亠a彳dudv,Ua2dudv
_au0u
a1a
=2.u$a$dudv=2（1-—hu2du
0u0a
a
=[（u
3a
22■~222-~22a
-a）•u■uaaln（u•ua）]|0
10.求球面r={acos今sin申，acos今sin申，asin创的面积。
解r_§
={—sin9cos申，一asin3sin®
acos,r={-acos9sin®
acos9cos®
0}
E=r2=a2,F=r-r■:
=0,G=r；
=a2cos2二.球面的面积为：
2"
-.■:
S=2_.d、：
.a4cos2、：
d=2二a22_.cos、：
d、：
=2「:
a2sin、：
|2…=4二a
J兀JJJIJi
"
20一2—2
11.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos：
tsin-,..t2-1}
（t>
1,0<
二<
2二）之间可建立等距映射二=arctgu+v,t=.u21
分析根据等距对应的充分条件，要证以上两曲面可建立等距映射二=arctgu
+v,t=.u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点
有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式•
证明螺面的第一基本形式为I=2du2+2dudv+（u2+1）dv2,旋转曲面的第一
基本形式为I=（^2）dt2十不：
，在旋转曲面上作一参数变换二=arctgu+v,
t-1
t=U2-1,则其第一基本形式为
u+1u2212
（12）2du（u1）（2dudv）
uu+11+u
u-1212
=（21）du-du2dudv
u1u
+（u?
+1）dv2=2du2+2dudv+（u2+1）dv2=I.
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射二=arctgu+v,t=.u21
3曲面的第二基本形式
1.计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0}
ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},
rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},
2222
所以II=-du2+dv2
2.计算抛物面在原点的2x3=5x；
•4X1X2•2x；
第一基本形式，第二基本形式.
一C
解曲面的向量表示为r二{X!
X2,-X：
•2x!
X2•x：
},
rx1-{1,0,5X12X2}（0,0）={1,0,0},rx2-{0,1,2x12x2}（0,0）-{0,1,0},Lx’={0,0,5},
E=ru=coshu,F=ru5=0,G=■=COShu.
Lx2={0,0,2},.X2={0,0,2},E=1,F=0,G=1丄=5,M=2,N=2,
_22[[_22
=dxi亠dx2,11=5dxi亠4dx1dx2亠2dx2
3.证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-s<
u,v<
x处处有EN-2FM+GL=。
解ru={cosv,sinv,0},rv={_usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},
ruv={-uucosv,cosv,0},
rvv={-ucosv,-usinv,0},E二山2=1，Fr^0，
G=rv=u亠b，L=0,M-
N=0.所以有EN-2FM+GL=0.
..u2b2
1
4.求出抛物面z（ax2by2）在（0,0）点沿方向（dx:
dy）的法曲率.
解「X={1,0,ax}（0,0）={1,0,0},ry={0,1,by}（0,0）={0,1,0},匚={0,0,a},q={°
0,°
5.已知平面二到单位球面（S）的中心距离为d（0<
d<
1）,求二与（S）交线的曲率与法曲率•
解设平面二与（S）的交线为（C）,则（C）的半径为1-d2,即（C）的曲率为
k=,1尹,又（C）的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±
*‘1-d2,所以
1-d2
（C）的法曲率为心二—k、1-d2=_1.
6.利用法曲率公式心=’，证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基
I
本量成比例。
证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。
即在球面上，对于任何曲纹坐标（u,v），沿任意方向du:
II_Ldu-2Mdudv
IEdu2Fdudv
类基本量成比例。
7•求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。
证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv}，
ru={cosv,sinv,0},rv={-usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}，rvv={-UCOSV,-USinv,0}
（rrr）（rrr）
L=（fu,v,uu）=0,N=（.u,v,vv）=0.所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。
而u•、EG-F2,EG-F2
族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。
8.求曲面z=xy2的渐近线.
解曲面的向量表示为r={x,y,xy2},J+{1,0,y2},ry={0,1,2xy},a={0,0,0},
■■■24..2-*222
i\y={0,0,2y},ryy二{0,0,2x},E二14y,F二「y=2xy,G二ry14xy.
渐近线的微分方程为Ldx2-2Mdxdy-Ndy2,即4ydxdy-2xdy2=0,—族为dy=0,即
y,G为常数.另一族为2ydx=-xdy,即lnx2y=C2,或X2y=c,c为常数.•
9.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.
证在每一条曲线（C）的主法线曲面上，沿（C）的切平面是由（C）的切向量与（C）的主法向量所确定的平面，与曲线（C）的密切平面重合，所以每一条曲线（C）在它的主法线曲面上是渐近线.
方法二：
任取曲线丨：
r=r（s），它的主法线曲面为S:
=：
?
（s,t^r（s）■t■（s），
NN—NNN■■
%->
（s）t:
（s）-「•t（•）=（1—t'
・.）：
•t，'
t=■，6「t--t心亠（1—t'
.）
pxP
在曲线:
上,t=0,d♦二,曲面的单位法向量n-s==■'
，即n=，
Veg-f2
所以曲线-在它的主法线曲面上是渐近线.
10.证明在曲面z=f（x）+g（y）上曲线族x=常数，y=常数构成共轭网.
证曲面的向量表示为r」={x,y,f（x）+g（y）},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。
「X={1,0,f'
},ry{0,1,g}.「XX={0,0,f},「xy={0,0,0},「yy={0,0,g},
11.
确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线•
12.
得两族曲率线为ln（a^1•a2x2）=In（ay■1•a2y2）•c.
13.求曲面r={?
（u-v）,*（u-v）,^^}上的曲率线的方程.
222
丄=0,
22222222
a+b+v_a+b+uva+b+u
E,F,G=■
ab
M=—^2——,N=0•代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是
vEG-F2（a2•b2•u2）dv2=（a2•b2•v2）du2,积分得
-222J222
ln（u-abu）=In（vabv）c.
14.给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线.
证法一：
因L是曲率线,所以沿L有dn丄-^dr,又沿L有?
n=常数,求微商
得n…I•n=0,而n//dn//dr与正交，所以・n=0,即-|：
'
•n=0,则有.=0,或
•n=0.
若■=0,则L是平面曲线；
若1・n=0,L又是曲面的渐近线，则沿L,n=0,这时dn=0,n为常向量，而当L是渐近线时，=_n，所以为常向量，L是一平面曲线•
证法二：
若_n，则因n_dr,所以n「，所以dn「，由伏雷内公式知dn||（_=••.-）而L是曲率线，所以沿L有dn||:
•,所以有•=0,从而曲线为平面曲线；
若不垂直于n，则有?
n=常数，求微商得〔n「—n=0,因为L是曲率线，所
以沿L有dn||dr_，所以n=0，所以・n=0，即-.：
•n=0，若.=0，则
问题得证；
否则1•n=0，则因n:
■=0，有n||，dn||d||（-.^）||:
•
矛盾。
15.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。
证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。
16.求正螺面的主曲率。
解设正螺面的向量表示为r={ucosv,usinv,bv}.
解ru二{cosv,sinv,0},r「={_usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},
G=rv2=u2"
2,L=0,M=一-b—,N=0,代入主曲率公式
j22
.ub
（u-a）
所以主曲率为
17.确定抛物面z=a（x2y2）在（0,0）点的主曲率.
解曲面方程即ryy={0,0,2a},r二{x,y,a（x2-y2）},r^{1,0,2ax}\二{0,1,2ay},rxx二{0,0,2a},rxy二{0,0,0},^={0,0,2a}。
在（0,0）点,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,
N=2a.所以N-4an+4a2=0，两主曲率分别为j=2a,'
■-2=2a.
18.证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.
证曲面上的给定点处两主曲率分别为冷、■2，任给一方向二及与其正交的方向二+二2，则这两方向的法曲率分别为’“（；
）八1cos2；
…空sin2；
\.二2）=5cos2C；
.二2）'
2sin2（二.二sin八'
-'
■-2cos八'
，即
nG：
）-rn（「；
逬：
2）='
・1r2为常数。
19.证明若曲面两族渐近线交于定角，则主曲率之比为常数•
证由n=「cos2M亠j2sin2得tgI：
=_,即渐进方向为
瓷2
二1=arctg一1,宀=-arctg，—.又-二2+门=2二1为常数,所以为；
M为常数，即V瓷2VK2
二为常数.
■2
20.求证正螺面的平均曲率为零.
证由第3题或第16题可知.
21.
LG-2FMNE
2（EG-F2）
求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率
证在点x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,H=
K=
LN
-M=
.2
EG
-F
—a
22.
证法一:
证明极小曲面上的点都是双曲点或平点
由H==0有jh.2=0或,5=八2=0.
若\=2=0,则沿任意方向二,'
■-n
（二）二'
-1cos21亠5sin2二=0,即对于任意的
若'
■■i=-・2二0,则2<
0,即LN-M2<
0,对应的点为双曲点.
取曲率网为坐标网，则F=M=0,因为极小曲面有H=0，
所以LG+EN=0,因E>
0,G>
0,所以LN<
0。
若ln-M2=0,则L=M=N
=0，曲面上的点是平点，若LN-M1<
0,则曲面上的点是双曲点
23.证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.
如果曲面的平均曲率为零，由上题曲面上的点都是双曲点或平点若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线，必存在正交的渐近曲线网若为双曲点,则曲面上存在渐近曲线网.由19题,渐近方向二满足tg•二丄=1,
d
u、.u
Ndu2u
M
-N=,0所以
=—
-,-
v
7：
.v
Ldvv
；
H=0.LG—2FMNE=0渐近线方程为Ldu22MdudvNdv0
所以L（—U）-
dv
Fdu、：
v）dv:
.G[^-vUI（d-V^E
dv6vd6v
，所以渐近网为正交网
=dv、v[ENF（一2^）•G]=0
证法三:
LL圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；
当-%＜申＜?
曲面上的点为双曲点,即圆环面内侧的点为双曲点；
当申二少2或手时，LN-M2=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。
25.若曲面的第一基本形式表示为I=■2（u,v）（du2•dv2）的形式，则称这个曲
面的坐标曲线为等温网。
试证：
旋转曲面「={g（t）cos；
g（t）sin：
f（t）}上存在等温
网。
证旋转曲面r={g（t）cos二，g（t）sin二，f（t）}的第一基本形式为
2+f'
2/_'
2十f'
I=g2（t）（2dt彳.di，），做参数变换udt，v=：
则在新参数
gg
下，I=g2[t（u）]（du2-dv2）,为等温网。
26.两个曲面S1、S2交于一条曲线（C），而且（C）是S1的一条曲率线，则（C）也是S2的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着（C）相交成固定角。
证两个曲面S1、
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