'={-cos（Gt~t）?
sin（a~t）,0}.其密切平面的方程是
SL11a
r-cos^cosrr-cos^sinr
siii（^-/）cos（^-/）
0
tsina~cosa一0.
-cos（^-尸）sin（a-/）
H[Jsinctsin（T-a）x-sinctcos（t-a）y+z
5+LiE明曲线是却面啪燈的充矍条件是曲线的所有法半曲通过」定点。
证方法一：
=＞设一曲线为球面曲线.取球右为坐标原点,则曲线的向径？
V）具有固定长.所以产尸=0,即曲线每点的切线与其向能垂倉，因此曲线在每一点的袪平面通过这点的向彳X也就逋过其始点球心。
u若•曲线的所右法平面通it一定点・以此定点为坐标原点堆比坐标系，则产尹=0,r（/）n^r固進检”対应的曲线泉球面仙纽g
方法二、
歹=产⑺足球而仙线Q存打淀点用（足球面中心的徨矢）和常数R（足球而的半轻）使&一和2二用o2厅一和・戸=0•即庁一和•尹=0（•）
而过1111线？
二芯）1任点的法平卿办榨为（0—,）/二0。
可知法平面过球面屮
（*）成立*
所以，出I线是球而仙线的充翌杀件足卅线的所有沬平面通过-定点
反证明过原点平打于圆柱螺^r^Mcosz.asiii/Tb/}的创法线的自线轨迹是锥面
1正?
T=（-asinf,acos/、八7*'={-acos/.一asin/,0）・?
fx
尸丄-打{—"sinMcoMF}为副法线的力向向量，过原点平行于副法线的直线的力程是
消去参数t得—加X
^SWfa
7.求以卜砒面曲曲率和挠率
[门r={^coshAt?
曲山扎af\-■
（?
）r-{心-户）帥认射4-户）}（"a0）Q
解⑴尹一{拧siiihzf/cosliAa}*产一{acosh兀asiuli=0],7l,h-f?
{siuhAcoslia0}、
rf.y1n卄『』|F"'|coslit1
r^r'-r/f-SlIlhACOSll<-l}，所以#二_,二一=二—
I/-'I（应处xh刀了2/?
cosh21
（pxp）22^7*cosh2f2^7cosh2/
議士沖呦
NCl
p-—^--{siji/.cos/T0},
\d\
y-d^P-
（2）宀昨？
‘由于宀E方向柏
•4
反，所以r=|f|=
25sni/cosz
⑶显然以上所得二砒二r满址召二砧=-帝・而
0———-——{cos/-sinA0}--ra+ry也满足伏雷内公贰.
5smzcosz
4证明如果曲线的所有切线郝经过•的足点，则此曲线足血线*
证方汰：
収龙点为出标際点建坐标系.曲线的方椁设为r=?
（/）,则曲线此任壷点的切线方程是0-r（/）=⑺，由条件切线都过坐标原点,所以?
（/）=APg可见r/lr\所以产貝冇尚定方|nh=
方法二；耻定点为坐标原点建坐标系.曲线的方程设为r=r{f）・则曲线在任倉点的切线方程fep-r（/）=AF（/）,由条件切线部过坐标原点.所以7（/）=AF（0,于是尹=入严*从而TX7J,=6*由曲率前计算公式知曲申k=0”所以曲线为亡线。
方法三：
设足点为石.曲怨的方崔为产=凡巧，则關线在任意点的切线方程是p-r（s）=kd（s）・由条件切线耶过逛点和所叫彳一刊巧二人丘（左），两端求导得：
—&何=&奴何十眛0,日卩（人’+1）应⑶+JI讷=0,ifiiH（以无关，所以川44=0，可知疋工0匸・麒»—0*因此曲线足亡线°
10证明如來Illi线时所冇密切平面郁经过■的址点，则此Illi线圧平面山1线.
虚方法■:
取圮点为坐标瞬点建坐标氣1111线的方程设为r=7（/）,则曲线任任意点的巒切平面的方程是（0-只/»・（尹（“冥戸‘⑺）一0*rfl条件—F（ZT（F&）xFYf））=0,叩（7-rz31）=0,所以产平行于—■同定平面，即产=7（"足平面佛线。
方法二=取定点为坐标原点建坐标索，曲线的方程设为F=卍）・则曲纯在任意虑的密切平面方楼足@-7（巧二0「山条件歹二o，两边徽好并用伏雷内公比徐-T?
（宇）-B=0*若B=0.又由F⑶・卩二0可知只$）//a=7（x）.所以r—?
（j）平行干固宦方向.这的7=7（对表示血线、结论成立口否则r=0.加血甸曲线是平而曲鏡。
方法三：
収宦点为唯标原点住啪标系，IIR线的方程设为r=?
（/）・则曲线住任总点的密切平面方程是（0—利刀卜（尹（“其严0））二0,由条件一巩小（戸gZl（/））=0l即【ZFF'J=0.所以F・戶，?
'Jtffl・若H、卿戸=F⑺是立线.沓则町诛产二入F+尸尹：
孑档二几尹+卫丹，所以F；F【产其面.所以『二0,从而知曲线是平面曲线=
11.证明如果•華曲线的所冇法平面包含常AM:
e・那么till线晁克线聽平面ftft]
证方法-s若&是常向量，则k^|5|=0+这时曲域是直険.否则
拒运7=0两边诫分得；孑〔】・即k0p=（K所以0V=O,^\de=0,所以〒讥、而y为单位向量*所u可知沪为密向量，于是|i•冃;|=0,n|Jr-O*此曲线为平面曲线，
方法=曲戟的方程设为；:
=只/）、由弟件户盲=0*两边徹廿得?
'^=0,亍''违工
二#为常救
12•证明曲率沟常数的空何曲线的hi【率屮心的轨迹仍走hi【率为常数的iim.
i止明设曲线tC）；7=珂时的彼率k为左数.真曲率屮壮的秋迹〔0』的力程为
0沟洞I线（C）的主汰向帛儿对于IIH纯＜C）悶边锻対得
LL分别为曲线
r的训向帘*B
分别为iib线f的主袪向量,则由已知
P（s）-±p（J）①■而一（dd）~ad+a—=胡、&+习*片0（可一将
於於（h
―，_JT_
JAiCA±/g^±（d・B）—=3所以云怎二总数.故两曲线的I刀绒作固窥巾
境若曲线「的I：
也线是曲堆『的制法线・I'的曲率、挠率分别为赋壬.求证
k二妇（F+严），其中加为常数"
证设I的向彷衣示为f■亍（用）・则r可衣示为0■r（s）+a（j）p（s）♦r的UJ向賦^-a+AB-k<-ktt*r7）p11*即p*-^-A-0■所以2为常数.设为兀，则于=（]-^k）«+At）ry.再求融簡右0"=—兔,+（】—Ao,k）k4+AQr/-r",P，fp=CI—AQk）k-z,,r2=Il・所以hk二州（肚口八几
17.Itll^F-（a（t-iini）a（l-cosl）JacosJ/lJjjAiFl'JIlli*半征怔k:
所以在，k为琵数处曲辛半径最八
18.已划曲线（OeC3r-?
（t）上J点）的邻辺丄Ir（J0+山）・求尺心+A&）点到丹岭）点的密切平面、法乎面、从切平面的趾离（进点r（jo）的曲率、攬率分别为心並儿
”*jJ■”三]a**_.,扌
斛尺几+30-“几）=r（y0）As+-P（s0）Ay~+-[f（j0）+£]A5-
2y.
«0AjH-|kD^Aj3+l（-^d0+^0^0+^r0y0+£）Aj3,设叵一叫％+令瓦+勺％・具+lull=0°则R%+Aj）—?
（j0）
=[土+石（一荀+[-^oAr2+—+£訂》‘]九+[&（勺5+巧胆/凤
I'I'C'Pfl-J'■]••■（Jji-rA
5.*AJI.-i：
A5.-l：
ijJ/-''-n\；WTl「?
.:
l.-iij-：
|
的距离，
§5•般螺线
5.证明如果所冇密切平面匪鬥于同疋和纯那么它是半面也缘
证法一：
当曲线的密切平面垂直于某固龙直线时，曲线的制法向療？
是常向杲.即？
二6
iiii线的挠率的绝时偵等于帀为爭mwnil线为平面iiii线。
证法一：
设牙是固定白銭一向龄•则尸"=0.枳分得产办戸，说明曲线在旦;?
为袪向坛的•个平面上，因而对平面£i线"
证注二；设序足固定直线■向就则?
'5=0・可微仆得产帀0,PT'w=0“所以尹、严、尸“三向就庆面,丁是（Z?
*?
''）=0，由挠聿的计算公式蚊re因此曲拔为平面曲线b
7.如果两曲践在对应点有公斗的副袪线.则它们是平面曲线。
证设•曲线为ij?
=?
（s）.则别曲线『的表迪式九p=?
（^）+z（j）f（j）・卩3）为ifii线r在点8的主法向量，驗为rffi对应点的at怯线的方向向量.
p'=a+AY-ATpjL交*叩0叭卩=叭J：
足2=0tZ人常数，p'=c7-Ar小0"-kflkipAr（-kft+ry｝也正迟即p,P/=-Ar2-0hiruA0,WiWnr-0.曲线「为平面曲线*同即曲怨『为半両血#匕
帀7刚果曲线为•般绷线.a.戸为『的切向量和主汕向血R为厂的曲率fU证明『土p=Rtz-也是■腔蠅:
线
■r-吐1h-卄:
冬施向吊&他&勺&或固宦危对于曲线『JWJIE
量可=人丘十用诫-B二忌与丘儿线個此也与非事常问星&成固泄短.怖以『也为般螺线”
9.址明曲线¥="为•般螺线的佥裂条件为（左乂刃=0
证r=Kp.r=-k2u+Kp■¥kt/,r--3tXd+（-卍+r-kt~）P+（2kt+?
cf）y
（r,rbr）^K：
S（2Xt+KT）~3k'KT=k\kT-KT）=K^K^?
^=^5（—）*其中K工0.
LK
曲线F—RQ为傲嫖线的充烬茶件为二为常数.叩（If也就是（去乞7）二0C
方法二：
K^=0>即（fiv5vd）=0.曲线r=7（j）h-般螺线，则存在常向帛:
靳便丘玄二常数，斫以疔七=0芸・w=o£v=o,所以宗岳盖其而，从而（}=0„U
Z,若（丘亘吞〕=0.则伕平行于固圧平而，设固宦罟面的法矢为盍■则仃dff=Qt从而云•务p（常》）,所Wr=r（s）为般揣线
—:
曲线歹=幵『）为一般螺线o存隹琳向量©使B丄鼻即艮&二ou>B平行于
固宦半面（以壬为汕向虽的半面）0：
半廿尸固宦半面0（冃丸尸）二0.
力丛卩q：
”=>杯设歹=礼刀为■股鴨线、存任幣向罰。
使枝乜二常数，即Pe=常数，连»【次求微商得7.石=0,戸•&=0,?
^=0.所B（r（?
>F»=0
”=“代为丘芫刊=0・所以亍半行于固定平面，设网定平面的法矢人五（常向蟻h则〒丄了rfn/}2几0丄爪用以仙线淘般摞线、
10.uEHfl-曲线的所右口线於町陡冋时龈是另糸曲线的切线。
证说曲nr^rft对应点冇公共的训线*且「的衣达成为：
r=?
（J）t则『：
p=r（j）+Z（j）«（j）・AotJ【17j向讯为p+_5Aa-FAkp应勺方山行1.所以fc—o,从血曲线厂为冋艸曲线『为门比面11是1ji*哽合的IX議。
所以作为非ft线的曲条不同肿1111线不町隐有公典财口线，
m设在两条曲线「、『的点Z间建菱了"一对应关系”便它们心对应点的切竣平打,证明它们在对应点的k法线以疑制法裟也4柏半仃.II它们的挠率柯曲率都成比例.因此如果「为一般螺线.则「也为般鮒线°
证设曲线【’；匸=幵»与『；r=r（j）点建立了一一对应，使它们对旋点的切线平存，
-*———二
5"
则适为选择参建町便匣（£戶巫（可r阳缩求微簡存&二匝—一即炉⑶=邺⑶一，这里
Js-~—
—>0.听以有•0=0,即主法线平行，从而丫（罚=刃>）,即刑曲线的剧法线也1"丁」吕&
K=K—.或二=亜/&）=丙于）两边对E求微商^-Tp（J）=-f^（T）—.于是T=T—.矗垃必（h&
rds『a:
rkk
叫」~■~1亭PffI.Ap=—j?
E=—.j
TdsKfTT
§1曲面的概念
1.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.
、r
解u-曲线为r={ucosvo,usinvo,bvo}={O,O,bv°}+u{cosvo,sinvo,0},为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv}为圆柱螺线.
2.证明双曲抛物面r={a（u+v）,b（u-v）,2uv}的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为r={a（u+v0）,b（u-v0）,2uv0}={av0,bvO,O}+u{a,b,2v0}表示过点{av。
，bv°,0}以{a,b,2v。
}为方向向量的直线；
、r
v-曲线为r={a（u°+v）,b（u0-v）,2u0v}={au°,bu0,0}+v{a,-b,2u0}表示过点（au°,bu°,0）以{a,-b,2u°}为方向向量的直线。
sin,acos
sin,asin
acos},
}上任
r={
意点的切平面
acossin
至和法线方程
acoscos
asin
sin
acos
cos
yacos
sin
zasin
asin
cos
asin
sin
acos
0
acos
sin
acos
cos
0
sin+zsin
-a=0
7
3.求球面r={acos
解r={asincos
x
任意点的切平面方程为
0}
即xcoscos+ycos
曲面只有一个切平面
的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值
此方程与t无关，对于
对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面
3
5.证明曲面r{u,v,—}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
uv
数。
3
证ru{1,0,J，
uv
3
{0,1,壬}。
切平面方程为:
uv
V63|u|3|vl3?
ir3是常数。
§2曲面的第一基本形式
1.求双曲抛物面r={a（u+v）,b（u-v）,2uv}的第一基本形式解ru{a,b,2v},rv{a,b,2u},E{a2b24v2,
Frurva2b24uv,Grv2a2b24u2,
1=（a2b24v2）du22（a2b24uv）dudv（a2b24u2）dv2。
2.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},Eru21,Frurv0,
Grv2u2b2,•I=du2（u2b2）dv2,tF=0,「.坐标曲线互相垂直。
3.在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。
解由条件ds2du2sinh2udv2,沿曲线u=v有du=dv，将其代入ds2得ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲线u=v上，从v!
至Uv2的弧长为|coshvdv||sinhv2sinhw|。
vi
4.设曲面的第一基本形式为I=du2（u2a2）dv2，求它上面两条曲线u+v
=0,u-v=0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1,Fv0,Gu2a2,曲线u+v=0与u-v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E1,Fv0,Ga2。
曲线u+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为Su=
Sv,设两曲线的夹角为，则有
2
EduuGdvu1a
cos=2。
VEdu^Jeu2Gv21a
5.求曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=y的交角.
解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x°的向量表示为
r={x°,y,ax°y},其切向量ry={0,1,ax。
}；坐标曲线y=y的向量表示为r={x,
yo,axyo}，其切向量.={1，0，a
升级会员 