微分几何第四版习题答案梅向明.docx
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微分几何第四版习题答案梅向明
§1曲面的概念
1.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.
解u-曲线为r={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0}+u{cosv0,sinv0,0}，为曲线的直
母线；v-曲线为r={uocosv,uosinv,bv}为圆柱螺线.
2.证明双曲抛物面r={a（u+v）,b（u-v）,2uv}的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为r={a（u+vo）,b（u-v°）,2uv°}={av°,bv°,0}+u{a,b,2v。
}表示过点{av°,
bvo,O}以{a,b,2v。
}为方向向量的直线；
v-曲线为r={a（u0+v）,b（u0-v）,2u0v}={au0,bu0,0}+v{a,-b,2u0}表示过点
（au°,bu°,0）以{a,-b,2u°}为方向向量的直线。
3.求球面r={acossin,acossin,asin}上任意点的切平面和法线方程。
解r={
asincos,asin
sin
acos}，
r=
：
{acossin
acoscos,0}
xacos
cos
yacos
sin
zasin
任意点的切平面万程为
asin
cos
asin
sin
acos
0
acos
sin
acos
cos
0
即xcoscos
+ycos
sin+zsin
-a=0
法线方程为
xacoscos
y
acossin
z
asin
cos
cos
cossin
。
sin
22
4.求椭圆柱面务告1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个
ab
切平面。
22
解椭圆柱面笃1的参数方程为x=cos,y=asin,z=t,r{asin,bcos,0}ab
rt{0,0,1}。
所以切平面方程为：
xacos
ybsin
zt
asin
bcos
0
0
0
1
0，即xbcos+yasin
此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
3
5.证明曲面r{u,v,—}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
uv
xyuv
3z30
uva
33
{1,0,-V}，rv{0,1,-aT}。
切平面方程为:
uvuv
uv
細屮卜冷9a3是常数
§2曲面的第一基本形式
1.求双曲抛物面r={a（u+v）,b（u-v）,2uv}的第一基本形式
解ru{a,b,2v},rv{a,b,2u},Eru2a2b24v2,
Frurva2b24uv,Grv2a2b24u2,
1=（a2b24v2）du22（a2b24uv）dudv（a2b24u2）dv2。
2.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},Eru1,Frurv0,Grvub,
I=du2（u2b2）dv2,：
F=0,.・.坐标曲线互相垂直。
3.在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长
解由条件ds2du2sinh2udv2,沿曲线u=v有du=dv，将其代入ds2得
ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲线u=v上，从v1至Uv2的弧长为
v2|coshvdv||sinhv2sinhv1|。
v1
4.设曲面的第一基本形式为I=du2（u2a2）dv2，求它上面两条曲线u+v=0,u-v=
0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1,Fv0,Gu2a2，曲线u+v=
0与u-v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E1，Fv0，Ga2。
曲线u
+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为Su=Sv,设两曲线的夹角为，则有
2
EduuGdvu1a
cos=2。
v'Edu2Gdv2p'Eu2Gv21a
5.求曲面z=axy上坐标曲线x=x°,y=y°的交角.
解曲面的向量表示为r={x,y,axy},坐标曲线x=x0的向量表示为r={x0,y,ax0y}，其
2
rxryax°y。
1rx11ry11a2x2.1a2y2
切向量ry={0,1,ax。
};坐标曲线y=y的向量表示为r={x,y°,axy。
}，其切向量rx={1,0,ay。
}，设两曲线x=xo与y=y。
的夹角为，则有cos
6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为Su:
Sv,则有
EduSu+F（duSv+dvSu）+GdvSv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为ESu+FSv=0.
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为FSu+GSv=0.
7.在曲面上一点,含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,确定两个切方向（du:
dv）和（Su:
Sv）,证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.
证明因为du,dv不同时为零，假定dv0,则所给二次方程可写成为P（至）2+2Q^+R=0,
dvdv
设其二根巴，上，则—=R,巴+丄=2Q……①又根据二方向垂直的条件知E巴丄+dvvdvvPdvvPdvv
F（屯+丄）+G=0……②
dvv
将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.
8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.
证用分别用S、、d表示沿u—曲线，v—曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u—曲
线Su0,Sv=0,沿v—曲线u=0,v0.沿二等分角轨线方向为du:
dv,根据题
设条件，又交角公式得
展开并化简得E（EG-F2）du2=G（EG-F2）dv2,而EG-F2>0,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的
微分方程为Edu2=Gdv2.
9.
设曲面的第一基本形式为I=
du2（u2a2）dv2，求曲面上三条曲线u=av,
的三角形的面积。
解三曲线在平面上的图形（如图）所示。
曲形的面积是
11.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos,tsin,..t21}
分析根据等距对应的充分条件，要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu+v,
t=u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证
明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式.
本形式为:
§3曲面的第二基本形式
1.计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0}
ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},
rw={-coshucosv,-coshusinv,0},Eru2=cosh2u,Frurv=0,Grv2=cosh2u.
所以I=cosh2udu2+cosh2udv2.
.coshu彳—八coshu彳
L=1,M=0,N==1.
sinh21,sinh21
所以II=-du2+dv2。
2.计算抛物面在原点的2x35x；4x1x22x；第一基本形式,第二基本形式.解曲面的向量表示为r{x1,x2，-x-|22x1x2x；},
2
rx1{1,0,5x12x2}（0,0）{1,0,0},rx2{Q1,2x12x2}（0,0）{0,1,0},rx1x1{0,0,5},
J%{0,0,2},rX2X2{0,0,2},E=1,F=0,G=1丄=5,M=2,N=2,
I=dx2dxf,II=5dx：
4dx1dx22dx|.
3.证明对于正螺面J={ucosv,usinv,bv},-g解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},
0,Grv2u2b2,
2
ruv={-uucosv,cosv,0},rw={-ucosv,-usinv,0},Eru1,F
L=0,M=——b一,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.
1
4.求出抛物面z-（ax2by2）在（0,0）点沿方向（dx:
dy）的法曲率.
2
22
adxbdy
dx2dy2
解rx{髭0®}©。
）{1,0,0},ry{0,1,by}（。
°）{0,1,0},口{OQa},%{0,0,0}ryy{0,0,b},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:
dy的法曲率k
5.已知平面到单位球面（S）的中心距离为d（0解设平面与（S）的交线为（C）,则（C）的半径为.1d2,即（C）的曲率为
k―1—,又（C）的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于-1d2,所以（C）的法曲率为
1d2
knk1d2=1.
6.利用法曲率公式kn*,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。
证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。
即在球面上，对于任何曲纹坐标（u,v），沿任意方向du:
dv
7.
求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。
证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv}，
它的主法线曲面上是渐近线.
10.
y=常数构成共轭网.
常数,y=常数是两族坐标曲线。
证明在曲面z=f（x）+g（y）上曲线族x=常数，
证曲面的向量表示为r={x,y,f（x）+g（y）},x=
rx{1,0,f'},ry{0,1,g'}.L{0,0,f"},Q{0,0,0},打{0,0,g"},
因为M&—y0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族x=常数，y=常数构成共轭网。
JEGF2
11.确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线.
12.
ab
m=eg2f2,n=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是
（a2b2u2）dv2（a2b2v2）du2,积分得：
ln（ua2b2u2）ln（va2b2v2）c.
14.给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角，求证L是
一平面曲线.
证法一：
因L是曲率线,所以沿L有dnndr,又沿L有？
n=常数,求微商
得n一n0,而n〃dn//dr与正交，所以n0,即-•n=0,则有=0,或•n=0.
若=0,则L是平面曲线；若•n=0,L又是曲面的渐近线，则沿L,n=0,这时dn=0,
证法二：
若n，则因ndrIIr，所以nII，所以dnII&由伏雷
rrr
内公式知dn11（）而L是曲率线，所以沿L有dnII「，所以有=0,从而曲线为平面曲
线；
若不垂直于n，则有？
n=常数,求微商得&n~&0,因为L是曲率线，所
以沿L有dnIIdr，所以r&0，所以n0，即-•n=0，若=0，贝则'可题得证；否则
•n=0，则因nr0，有nI，dnIIdrI（-）Ir，矛盾。
15.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。
证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上
题结论知正确。
16.求正螺面的主曲率。
解设正螺面的向量表示为$={ucosv,usinv,bv}.
解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}，
Eru21，Frurv0，Grv2u2b2，L=0,
rvv={-ucosv,-usinv,0}，ruv={-sinv,cosv,0},
M=b,N=0,代入主曲率公式
u2b2
17.确定抛物面z=a（x2y2）在（0，0）点的主曲率.
解曲面方程即ryy{0,0,2a}，r{x,y,a（x2y2）}，L{1,0,2ax}仁{0,1,2ay}，L{0,0,2a}，
rxy{0,0,0},ryy{0,0,2a}。
在（0，0）点,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,
N=2a.所以N-4an+4a2=0，两主曲率分别为1=2a,2=2a.
18.证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数
20.求证正螺面的平均曲率为零.
证由第3题或第16题可知.
21.求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率.
2
LNM2〒二-a.
EGF2
22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点
证法一：
由H七二=0有1=2=0或1=-
22
kn
r；M；Ud；爲°,所以有L=M=N=0对应的点为平点.
若1=-20,则K=12<0,即LN-M2<0,对应的点为双曲点.
证法二：
取曲率网为坐标网，则F=M=0,因为极小曲面有H=0，
所以LG+EN=0,因E>0,G>0,所以LN<0。
若LNM2=0,则L=M=N=0，曲面上的点是平点，若LNM2<0,则曲面上的点是双曲点。
23.证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.
证法一：
如果曲面的平均曲率为零，由上题曲面上的点都是双曲点或平点.
若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线，必存在正交的渐近曲线网.
若为双曲点,则曲面上存在渐近曲线网.由19题,渐近方向满足tg2—=1,
2
即1=/4,2=-/4,两渐近线的夹角为2,即渐近曲线网构成正交网.
证法二：
QH0LG2FMNE0渐近线方程为Ldu22MdudvNdv20
证法三：
M0QH丄（！
2）0，所以高斯曲率QK!
20，所以LNM20,所
2
以曲面上的点是平点或双曲点。
所以曲面上存在两族渐近线。
取曲面上的两族渐近线为坐标网，则
L=N=0，若M=0,曲面上的点是平点，若
M0，则QH0LG2FMNE0，所以MF=0，所以F=0，所以渐近网为正交网
24•在xoz平面上去圆周y=0,（xb）2z2a2（ba）,并令其绕轴旋转的圆环面，参数方程为
r={（b+acos）cos,（b+acos）sin,asin},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。
解E=a,F=0,G=（bacos）,L=a,M=0,N=cos（b+acos）,
22
LN-M=acos（b+acos）,由于b>a>0,b+acos>0,所以LN-M的符号与cos的符号一致，当0W<2和手<<2时,LN-M2>0,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-2<<牛，曲面上的点为双曲点，即圆环面内侧的点为双曲点；当=2或+时，LN-M2=0,为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。
25.若曲面的第一基本形式表示为I2（u,v）（du2dv2）的形式，则称这个曲面的坐标曲线为
等温网。
试证：
旋转曲面r{g（t）cos,g（t）sin,f（t）}上存在等温网
证旋转曲面r{g（t）cos,g（t）sin,f（t）}的第一基本形式为
'2f'2f^i
Ig2（t）（2dt2d2），做参数变换udt，v=,则在新参数下，
gg
Ig2[t（u）]（du2dv2）,为等温网。
26.两个曲面S!
、S2交于一条曲线（C），而且（C）是3的一条曲率线，则（C）也是S2的
一条曲率线的充要条件为S!
、S2沿着（C）相交成固定角。
证两个曲面Si、S2交于曲线（C），ni、n2分别为Si、S2的法向量，则沿交线（C），m与
n2成固定角的充要条件为①•n2=常数，这等价于d（n^j•n2）=0,即
dni•n2+ni•dn2=0,而（C）是Si的一条曲率线，因此dni与（C）的切向量dr共线，则与n2正
交，即dn1•n2=0,于是n1•dn2=0,又dn2丄n2，所以n1•dn2=dn1•n2=0的充要条件为dn2/
dr，即（C）是S2的曲率线。
27.证明在曲面（S）上的一个双曲点P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点
P的挠率是•、K,另一条在点P的挠率是-K，其中K是（S）在P点的高斯曲率。
，且11=0，于是有dn=d
证曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点P,沿渐近线有n=
则dn2d2III2HIIKIKI，即d2Kds2,或
（d）2K，所以有（）22K,,K。
ds
28.证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是对应的。
证设给出的曲面（S）:
r=r（u,v）上的点r（u,v）与（u,v）D内的点一一对应，其球面像上的
点为n=n（u,v）,由于nunvk（rug）,所以|nunv|k|rurv|=
|LN—M」，当曲面（S）上没有抛物点时，LN-M20,则％nv0。
EGF2
说明球面像上的点n（u,v）与区域D内的点一一对应，因此曲面（S）上的点与球面像上的点一一对应。
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