导数在函数中的应用导数好题解析版.docx

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导数在函数中的应用导数好题解析版

导数在函数中的应用（导数好题解析版）

　　　　　　第十讲导数的应用　　教学目标教学重点及相应策略分类总结.　　导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.教学难点及相应策略　　熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三.　　掌握典型例题的典型方法.　　在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知教学方法建议识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法.A类选材程度及数量B类C类道道道道道道课堂精讲例题道搭配课堂训练题道课后作业道　　掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行知识梳理　　1.函数的单调性：

在某个区间内，如果f?

（x）?

0，那么函数y?

f（x）在这个区间内单调递增；如果f?

（x）?

0，那么函数y?

f（x）在这个区间内单调递减.如果f?

（x）?

0，那么函数y?

f（x）在这个区间上是常数函数.　　注：

函数y?

f（x）在内单调递增，则f?

（x）?

0，f?

（x）?

0是y?

f（x）在内单调递增的充分不必要条件.　　2.函数的极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．　　xf（x0）是极大值的方法是：

　　一般地，当函数y?

f（x）在点0处连续时，判断　　如果在如果在　　x0附近的左侧f’（x）?

0，右侧f’（x）?

0，那么f（x0）是极大值．x0附近的左侧f’（x）?

0，右侧f’（x）?

0，那么f（x0）是极小值．　　注：

导数为0的点不一定是极值点　　知识点一：

导数与函数的单调性　　方法归纳：

　　在某个区间内，如果f?

（x）?

0，那么函数y?

f（x）在这个区间内单调递增；如果　　f?

（x）?

0，那么函数y?

f（x）在这个区间内单调递减.如果f?

（x）?

0，那么函数y?

f（x）在这个区间上是常数函数.　　注：

函数y?

f（x）在内单调递增，则f?

（x）?

0，f?

（x）?

0是y?

f（x）在内单调递增的充分不必要条件.　　【例1】已知函数f（x）?

x3?

bx2?

cx?

d的图象过点P（0,2），且在点M（?

1,f（?

1））处的切线方程为6x?

0.　　求函数y?

f（x）的解析式；求函数y?

f（x）的单调区间.　　【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数f（x）在区间[a,b]上递增可得：

　　f’（x）?

0；函数f（x）在区间[a,b]上递减可得：

f’（x）?

0.　　【解析】f（x）的图象经过P（0,2），知d?

2，　　所以f（x）?

bx?

cx?

2.所以f?

（x）?

3x?

2bx?

c.　　在M（?

1,f（?

1））处的切线方程是6x?

0，　　232（?

1）?

6.　　知?

f（?

1）?

0，即f（?

1）?

1，f′?

2b?

6,?

2b?

3,所以?

即?

解得b?

3.　　?

0.?

　　故所求的解析式是f（x）?

3x?

2.　　2因为f?

（x）?

3x?

6x?

3，　　32令3x?

6x?

0，即x?

2x?

0，解得x1?

2，x2?

2.　　当x?

2或x?

2时，f’（x）?

0，　　22当1?

2时，f’（x）?

0，　　故f（x）?

x3?

3x2?

3x?

2在（?

2]内是增函数，在[1?

2,1?

2]内是减函数，在[1?

2,?

）内是增函数.　　【例2】若f（x）?

ax3?

x在区间[－1,1]上单调递增，求a的取值范围.　　【解题思路】利用函数f（x）在区间[a,b]上递增可得：

f’（x）?

0；函数f（x）在区间[a,b]上递减可得：

f’（x）?

0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】?

（x）?

3ax2?

1又f（x）在区间[－1,1]上单调递增　　?

（x）?

3ax2?

0在[－1,1]上恒成立即a?

1在x?

[－1,1]时恒成立.3x211?

故a的取值范围为[?

]　　33a【例3】已知函数f（x）?

lnx,g（x）?

（a?

0）,设F（x）?

f（x）?

g（x）．　　x求函数F（x）的单调区间；　　若以函数y?

F（x）（x?

（0,3]）图像上任意一点P（x0,y0）为切点的切线的斜率　　k?

1恒成立，求实数a的最小值；2【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.　　【解析】F?

lnx?

a1ax?

，F’?

xxxx∵a?

0，F’?

a,?

，∴F?

在?

a,?

上单调递增.　　F’?

0,a?

，∴F?

在?

0,a?

上单调递减.　　∴F?

的单调递减区间为?

0,a?

，单调递增区间为?

a,?

.F’?

a0?

，2?

xk?

F’?

x0?

12?

x0?

3恒成立?

00?

x022?

max121x0?

x0取得最大值.22当x0?

1时，?

∴a?

　　11，∴amin=.22【课堂练习】　　1.）已知函数曲线在点M处的切线恰好与直线x?

9y?

0垂直.f（x）?

ax3?

bx2的图像经过点M（1,4），求实数a,b的值；　　若函数f（x）在区间[m,m?

1]上单调递增，求m的取值范围.　　【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间[m,m?

1]上单调递增，即[m,m?

1]为函数的递增区间的子集.　　【解析】f（x）?

ax?

bx的图象经过点M（1,4）∴a?

4　　2∵f?

（x）?

3ax?

2bx，∴f?

（1）?

3a?

2b　　32已知条件知f?

（1）?

（?

）?

1即3a?

2b?

9　　19∴解?

4得：

3a?

2b?

9322知f（x）?

3x，f?

（x）?

3x?

6x令f?

（x）?

3x?

6x?

0则x?

2或x?

0　　∵函数f（x）在区间[m,m?

1]上单调递增∴[m,m?

1]?

（?

2]?

[0,?

）∴m?

0或m?

2即m?

0或m?

32．设函数g（x）?

21212x?

ax?

bx（a,b?

R），在其图象上一点P处的切32线的斜率记为f（x）.　　?

2和4,求f（x）的表达式；　　若方程f（x）?

0有两个实根分别为若g（x）在区间[?

1,3]上是单调递减函数,求a?

b的最小值.　　【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.　　22【解析】根据导数的几何意义知f（x）?

（x）?

x2?

ax?

b　　已知-2、4是方程x2?

ax?

0的两个实根韦达定理，?

f（x）?

x2?

2x?

8　　?

8g（x）在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有　　f（x）?

（x）?

x2?

ax?

0,即f（x）?

x2?

ax?

0在[?

1,3]恒成立?

f（?

1）?

1这只需满足?

即可,也即?

f（3）?

3a?

122而a?

b可视为平面区域内的点到原点距离的平方,?

3a?

其中点距离原点最近，　　所以当?

2时,a2?

b2有最小值13　　?

312x?

mlnx?

（m?

1）x，m?

R．当m?

0时，讨论函数f（x）23.已知函数f（x）?

的单调性.　　【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论　　mx2?

（m?

1）x?

m（x?

1）（x?

m）?

【解析】∵f?

（x）?

（m?

1）?

，　　xxx∴当?

0时，若x?

0,?

时,f?

（x）?

0,f（x）为增函数；　　x?

m,1?

时,f?

（x）?

0,f（x）为减函数；x?

1,?

时,f?

（x）?

0,f（x）为增函数．　　当m?

1时，x?

0,1?

时,f?

（x）?

0,f（x）为增函数；　　x?

1,?

时,f?

（x）?

0,f（x）为减函数；x?

m,?

时,f?

（x）?

0,f（x）为增函数．　　　　知识点二:

导数与函数的极值最值　　方法归纳：

　　　　　　1.求函数的极值的步骤:

（1）确定函数的定义域，求导数f’（x）.

（2）求方程f’（x）?

0的根.　　（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查　　f’（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果　　左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.　　2.求函数在[a,b]上最值的步骤：

求出f（x）在（a,b）上的极值.　　　　求出端点函数值f（a）,f（b）.　　　　　　比较极值和端点值，确定最大值或最小值.　　x?

x0处取得极值是f’（x0）?

0的充分不必要条件.注:

可导函数y?

f（x）在　　【例4】若函数f（x）?

mcosx?

sin2x在x?

处取得极值,则m?

　　.24’【解题思路】若在x0附近的左侧f（x）?

0，右侧f?

（x）?

0，且f’（x0）?

0,那么f（x0）是　　f（x）的极大值；若在x0附近的左侧f’（x）?

0，右侧f’（x）?

0，且f’（x0）?

0,那么f（x0）是f（x）的极小值.　　’【解析】因为f（x）可导,且f（x）?

msinx?

cos2x,所以f（）?

msin’?

44?

cos?

0,　　解得m?

0.经验证当m?

0时,函数f（x）?

sin2x在x?

处取得极大值.24【注】若f（x）是可导函数，注意f?

（x0）?

0是x0为函数f（x）极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0左右判断单调性.　　【例5】已知函数求　　f?

ex，　　f?

的单调区间；求　　f?

在区间　　?

0,1?

上的最小值.　　【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论.　　/x/f?

（?

1）f（x）?

（x?

1）ef【解析】，令（x）?

1；所以在上　　递减，在（k?

1,?

）上递增；　　当k?

0,即k?

1时，函数　　f?

在区间　　?

0,1?

上递增，所以f（x）min?

f（0）?

k；　　f?

在区间　　当0?

1即1?

2时，知，函数　　k?

1f（x）?

f（k?

1）?

emin上递增，所以；　　?

0,k?

上递减，（k?

1,1]当k?

1,即k?

2时，函数　　f?

在区间　　?

0,1?

上递减，f（x）min?

（1）?

（1?

k）e.　　所以　　【例6】设x?

1,x?

2是f?

alnx?

bx?

x函数的两个极值点.　　试确定常数a和b的值；试判断x?

1,x?

2是函数【解析】f’f?

的极大值点还是极小值点，并求相应极值.　　?

2bx?

1,x2?

2b?

0a?

’?

1已知得：

’　　?

　　1f2?

0a?

4b?

x变化时.f?

（x）,f（x）的变化情况如表：

　　x—10极小值+20极大值—f，?

542?

ln2fxfx故在x?

1处，函数?

取极小值6；在x?

2处，函数?

取得极大值33.　　【课堂练习】　　211（,?

）f（x）?

x3?

x2?

2ax324.设.若f（x）在3上存在单调　　递增区间，求a的取值范围.　　【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.　　2（,?

）【解析】f（x）在3上存在单调递增区间，2（m,n）?

（,?

）’f3即存在某个子区间使得（x）?

0.　　11f’（x）?

x2?

2a?

（x?

）2?

2a24，22[,?

）f’（）?

0f（x）在区间33上单调递减，则只需即可.　　’221f’（）?

2a?

0a?

9，39解得　　a?

所以，当　　12（,?

）9时，f（x）在3上存在单调递增区间.　　?

5.设f（x）?

lnx，g（x）?

f（x）?

f（x）．1g（）求g（x）的单调区间和最小值；讨论g（x）与x的大小关系；　　【解题思路】先求出原函数f（x），再求得g（x），然后利用导数判断函数的单调性，并求出最小值；作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并单调性判断函数的正负；对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数g（x）的最小值问题．　　f（x）?

lnx,g（x）?

lnx?

【解】题设知　　x?

11g?

（x）?

2,x令g?

（x）?

0得x=1，x，∴　　?

当x∈时，g（x）＜0，g（x）是减函数，故是g（x）的单调减区间.?

当x∈时，g（x）＞0，g（x）是增函数，故是g（x）的单调递增区间，　　因此，x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g（x）的最小值为g

（1）?

1.　　111（x?

1）2g（）?

lnx?

xh（x）?

g（x）?

g（）?

lnx?

（x）?

xx，则x2，

（2）x，设1g（x）?

g（）x，当x?

（0,1）?

（1,?

）时，h?

（x）?

0，当x?

1时，h

（1）?

0，即　　1g（x）?

g（）.x因此，h（x）在（0,?

）内单调递减，当0?

1时，h（x）?

（1）?

0，即　　32f（x）?

3ax?

（3?

6a）x?

12a?

4（a?

R）6.已知函数　　（Ⅰ）证明：

曲线y?

f（x）在x?

0的切线过点（2,2）；若　　f（x）在x?

x0处取得极小值，x0?

（1,3）,求a的取值范围.　　f’（x0）?

0.　　【解题思路】在某点处取得极值可得　　2f?

（x）?

3x?

6ax?

（3?

6a），f?

（0）?

6a，又f（0）?

12a?

4【解析】（Ⅰ）　　曲线y?

f（x）在x?

0的切线方程是：

（12a?

4）?

（3?

6a）x，在上式中令　　x?

2，得y?

2.　　所以曲线y?

f（x）在x?

0的切线过点（2,2）；　　2?

f（x）?

0得x?

2ax?

2a?

0，　　当?

1时，f（x）没有极小值；　　（ii）当a?

1或a?

1时，f?

（x）?

0得　　x1?

a2?

2a?

1,x2?

a2?

2a?

1故　　x0?

x2.题设知1?

a2?

2a?

3，当a?

1时，不等式　　1?

a2?

2a?

3无解；　　5?

121?

2a?

32a?

1当时，解不等式得　　?

5（?

1）综合（i）（ii）得a的取值范围是2.　　【例7】当x?

0时，求证e?

x【解题思路】先移项,再证左边恒大于0　　【解析】设函数f（x）?

（1?

x）?

（x）?

1　　x当x?

0时，e?

1，?

（x）?

0故f（x）在[0,?

）递增，?

当x?

0x0?

f（x）?

0，时，f（x）?

f（0）,又f（0）?

（1?

0）?

0，即e?

（故e?

x.1?

）x?

0，　　xx0xxx【注】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来　　证明　　【例8】已知函数f（x）?

（a?

1）lnx?

ax2?

1.　　讨论函数f（x）的单调性；　　设a?

2，证明：

对任意x1,x2?

（0,?

），|f（x1）?

f（x2）|?

4|x1?

x2|.【解题思路】利用导数考察函数的单调性，注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函数的单调性　　a?

12ax2?

2ax?

【解析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0,+?

），f?

（x）?

.xx当a≥0时，f?

（x）＞0，故f（x）在（0,+?

）单调增加；当a≤－1时，f?

（x）＜0,故f（x）在（0,+?

）单调减少；　　当－1＜a＜0时，令f?

（x）＝0,解得x=?

1.当x∈（0,2a?

1）时,f?

（x）＞0；2ax∈（?

1，+?

）时，f?

（x）＜0,故f（x）在单调增加，在单调减少.　　（Ⅱ）不妨假设x1≥x2.于a≤－2,故f（x）在单调减少.所以f（x1）?

f（x2）?

4x1?

x2等价于　　即　　f（x1）?

f（x2）?

4x1?

4x2,　　f（x2）?

4x2?

f（x1）?

4x1　　令g（x）?

f（x）?

4x,则　　a?

12ax2?

4x?

1g?

（x）?

2ax+4＝.　　xx?

4x2?

4x?

（2x?

1）2于是g?

（x）≤＝≤0.　　xx从而g（x）在单调减少，故　　g（x1）?

g（x2），　　故对任意x1,x2∈（0,+?

），f（x1）?

f（x2）?

4x1?

x2.【例9】设函数f（x）?

（x?

a）x,a?

R.　　2

　　　　　　（Ⅰ）若x?

1为函数y?

f（x）的极值点，求实数a；　　求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（?

2]，恒有f（x）≤4成立.【解析】（Ⅰ）f?

（x）?

（x?

a）（3x?

a）　　f?

（1）?

（1?

a）（3?

a）?

0　　a?

1或a?

3，检验知符合题意（x?

a）2x?

4在x∈（?

2]时恒成立当x?

0时，显然恒成立　　当0?

2时（x?

a）2x?

4得a?

2x在x∈（0,2]时恒成立　　x?

22在x∈（0,2]时恒成立?

xx令g（x）?

22,h（x）?

（0,2]，xx在（0,2]单调递增∴g（x）max?

（2）?

2g（x）?

2xh?

（x）?

1xx?

xx?

1xx　　0?

1时，h（x）单调递减，1?

2时h（x）单调递增　　∴h（x）min?

（1）?

3　　∴2?

3【课堂练习】　　7．已知函数f（x）?

3.求f（x）的单调区间；4.证明：

lnx　　【解题思路】注意求导时的定义域；先移项,再证左边恒大于0【解析】函数f（x）的定义域为（0,?

），f?

（x）?

alnx　　1ax?

2ax?

x2x?

12xx?

1①当a?

0时，f?

（x）>0，f（x）在（0,?

）上递增　　222②当a?

0时，令x?

2ax?

1得x?

4ax?

4a?

0解得：

　　x1?

2a2?

2aa2?

1,x2?

2a2?

2aa2?

1，因x1?

0，故在（0,2a2?

2aa2?

1）上f?

（x）0，f（x）递增.知g（x）?

lnx在（0,2?

22）内递减，在（2?

22,?

）内递增.　　[g（x）]min?

g（2?

22）?

ln（2?

22）　　故x?

lnx?

ln（2?

22），又因2?

22?

e故1?

ln（2?

22）?

lne2?

0，得x?

lnx8.已知函数f（x）?

（x?

1）lnx?

1.若xf’（x）?

ax?

1，求a的取值范围；证明：

（x?

1）f（x）?

0.　　【解题思路】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.　　22f?

（x）?

【解析】　　x?

11?

lnx?

）?

xln?

x,1xx，xf?

（x2?

xf（x）?

ax?

1等价于lnx?

a.题设　　令g（x）?

lnx?

x，则　　’g?

（x）?

1x　　’1，g（x）＞0；当x≥1时，g（x）≤0，x?

1是g（x）的最大值点，当0＜x＜?

1,?

.　　g（x）≤g

（1）?

1，综上，a的取值范围是　　（Ⅱ）有知，g（x）≤g

（1）?

1即lnx?

1≤0.　　1时，f（x）?

（x?

1）lnx?

xlnx?

（lnx?

1）≤0；当0＜x＜当x≥1时，f（x）?

lnx?

（xlnx?

1）?

lnx?

x（lnx?

1）x　　?

lnx?

x（ln　　所以（x?

1）f（x）≥09.设函数f（x）?

11?

1）≥0xx13x?

（1?

a）x2?

4ax?

24a，其中常数a>13（Ⅰ）讨论f（x）的单调性;（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.　　【解题思路】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围.　　【解析】f?

（x）?

x2?

2（1?

a）x?

4a?

（x?

2）（x?

2a）　　a?

1知，当x?

2时，f?

（x）?

0，故f（x）在区间（?

2）是增函数；当2?

2a时，f?

（x）?

0，故f（x）在区间（2,2a）是减函数；当x?

2a时，f?

（x）?

0，故f（x）在区间（2a,?

）是增函数.　　综上，当a?

1时，f（x）在区间（?

2）和（2a,?

）是增函数，在区间（2,2a）是减函数.知，当x?

0时，f（x）在x?

2a或x?

0处取得最小值.　　1f（2a）?

（2a）3?

（1?

a）（2a）2?

4a?

2a?

24a　　34?

a3?

4a2?

24af（0）?

24a　　3　　　　?

1,?

假设知?

f（2a）?

0,　　即?

a（a?

3）（a?

6）?

0,解得1　　?

f（0）?

0,?

24a?

0.故a的取值范围是　　【例11】（两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：

垃圾处理厂对城A的影响度与　　所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在响度为　　将y表示成x的函数；　　讨论中函数的单调性，并判断弧　　上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂　　的中点时，对城A和城B的总影　　对城A和城B的总影响度最小？

若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理.【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值.【解析】　　解法一:

如图,题意知AC⊥BC,BC?

400?

x,y?

224k?

（0?

20）22x400?

xC　　x　　A　　B　　　　其中当x?

102时，y=,所以k=9所以y表示成x的函数为y?

　　49?

（0?

20）x2400?

x249y?

x400?

x289?

（?

2x）18x4?

8（400?

x2）2,y’?

22x（400?

x）x3（400?

x2）2,令　　y’?

0得　　18x4?

8（400?

x2）2,所以x2?

160,即x?

410,当0?

410时,18x4?

8（400?

x2）2,即y’?

0所以函数为单调减函数,当46?

20时,18x4?

8（400?

x2）2,即y’?

0所以函数为单调增函数.所以当x?

410时,即当C点到城　　A的距离为410时,函数y?

【课堂练习】　　10．某企业拟建造如图所示的容器，其中容器的中间为圆柱形，　　左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为　　49?

（0?

20）有最小值.x2400?

x280?

立方米，且l≥2r．假设该容3器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元，设该容器的建造费用为y千元．写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建造费用最小时的r．　　【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值.【解析】设容器的容积为V，　　题意知V?

rl?

24380?

r,又V?

334V?

r38044203故l?

（2?

r）

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