导数与函数的综合应用专题训练Word格式.docx
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f（x）
1
f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示.当1<
a<
2时，函数y＝f（x）－a的零点的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
5.已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>
0，则a的取值范围是（ ）
A.（2，＋∞）B.（1，＋∞）
C.（－∞，－2）D.（－∞，－1）
二、填空题
6.某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x（x>
0），为使耗电量最小，则速度应定为________.
7.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
8.定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）>
f′（x），且f（0）＝1，则不等式<
1的解集为________.
三、解答题
9.据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k（k>
0）.现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC＝x（km）.
（1）试将y表示为x的函数；
（2）若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值.
10已知函数f（x）＝lnx－.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）证明：
当x>
1时，f（x）<
x－1.
11.函数f（x）＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是（ ）
A.0B.1
C.2D.无数个
12.若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）－xf′（x）>
0，则（ ）
A.3f
（1）<
f（3）B.3f
（1）>
f（3）
C.3f
（1）＝f（3）D.f
（1）＝f（3）
13.已知x∈（0，2），若关于x的不等式<
恒成立，则实数k的取值范围为________.
14.设函数f（x）＝－klnx，k>
0.
（1）求f（x）的单调区间和极值；
若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点.
导数与函数的综合应用专题训练答案
解析 由题意得，总成本函数为C＝C（x）＝20000＋100x，
总利润P（x）＝
又P′（x）＝
令P′（x）＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P（x）最大.
答案 D
2.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f
（2）＝0，当x>
解析 x>
0时′<
0，∴φ（x）＝在（0，＋∞）为减函数，又φ
（2）＝0，
∴当且仅当0<
x<
2时，φ（x）>
0，此时x2f（x）>
又f（x）为奇函数，∴h（x）＝x2f（x）也为奇函数.
故x2f（x）>
0的解集为（－∞，－2）∪（0，2）.
3.若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是（ ）
解析 令f（x）＝x3－3x2－9x＋2，则f′（x）＝3x2－6x－9，令f′（x）＝0得x＝－1或x＝3（舍去）.
∵f（－1）＝7，f（－2）＝0，f
（2）＝－20，
∴f（x）的最小值为f
（2）＝－20，故m≤－20.
答案 B
6.已知函数f（x）的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：
解析 根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f（x）的大致图象如图所示.由于f（0）＝f（3）＝2，1<
2，所以y＝f（x）－a的零点个数为4.
7.已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>
解析 a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′（x）＝3ax2－6x.
令f′（x）＝0，得x＝0或x＝.
若a>
0，则由图象知f（x）有负数零点，不符合题意.
则a<
0，由图象结合f（0）＝1>
0知，此时必有
f>
0，即a×
－3×
＋1>
0，
化简得a2>
4.
又a<
0，所以a<
－2.
答案 C
二、填空题
解析 由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1或x＝40，
由于0<
40时，y′<
0；
x>
40时，y′>
所以当x＝40时，y有最小值.
答案 40
7.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析 设f（x）＝x3－3x＋c，
对f（x）求导可得，f′（x）＝3x2－3，
令f′（x）＝0，可得x＝±
1，
易知f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，
在（－1，1）上单调递减.
若f
（1）＝1－3＋c＝0，可知c＝2；
若f（－1）＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案 －2或2
9.定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）>
解析 构造函数g（x）＝，
则g′（x）＝＝.
由题意得g′（x）<
0恒成立，所以函数g（x）＝在R上单调递减.
又g（0）＝＝1，所以<
1，即g（x）<
1，所以x>
0，所以不等式的解集为（0，＋∞）.
答案 （0，＋∞）
三、解答题
解
（1）设点C受A污染源污染程度为，
点C受B污染源污染程度为，
其中k为比例系数，且k>
0，从而点C处受污染程度y＝＋.
（2）因为a＝1，所以，y＝＋，
y′＝k，
令y′＝0，得x＝，
又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.
（1）解 f′（x）＝－x＋1＝，x∈（0，＋∞）.
由f′（x）>
0得
.故f（x）的单调递增区间是.
（2）证明 令F（x）＝f（x）－（x－1），x∈（0，＋∞）.
则有F′（x）＝.
当x∈（1，＋∞）时，F′（x）<
所以F（x）在（1，＋∞）上单调递减，
故当x>
1时，F（x）<
F
（1）＝0，
即当x>
解析 函数定义域为（0，＋∞），
且f′（x）＝6x＋－2＝，
由于x>
0，g（x）＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<
所以g（x）>
0恒成立，故f′（x）>
0恒成立，
即f（x）在定义域上单调递增，无极值点.
答案 A
12.若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）－xf′（x）>
解析 由于f（x）>
xf′（x），则′＝<
0恒成立，因此在R上是单调递减函数，
∴<
，即3f
（1）>
f（3）.
13.已知x∈（0，2），若关于x的不等式<
解析 依题意，知k＋2x－x2>
即k>
x2－2x对任意x∈（0，2）恒成立，从而k≥0，
因此由原不等式，得k<
＋x2－2x恒成立.
令f（x）＝＋x2－2x，则f′（x）＝（x－1）.
令f′（x）＝0，得x＝1，当x∈（1，2）时，f′（x）>
0，函数f（x）在（1，2）上单调递增，当x∈（0，1）时，f′（x）<
0，函数f（x）在（0，1）上单调递减，所以k<
f（x）min＝f
（1）＝e－1，
故实数k的取值范围是[0，e－1）.
答案 [0，e－1）
14.设函数f（x）＝－klnx，k>
（1）解 由f（x）＝－klnx（k>
0），
得x>
0且f′（x）＝x－＝.
由f′（x）＝0，解得x＝（负值舍去）.
f（x）与f′（x）在区间（0，＋∞）上的情况如下：
（0，）
（，＋∞）
f′（x）
－
＋
所以f（x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，＋∞）.
f（x）在x＝处取得极小值f（）＝.
（2）证明 由
（1）知，f（x）在区间（0，＋∞）上的最小值为f（）＝.
因为f（x）存在零点，所以≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0，所以x＝是f（x）在区间（1，]上的唯一零点.
当k>
e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且f
（1）＝>
0，f（）＝<
所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点.
综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点.
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