小学数学奥数余数问题中国剩余定理训练试题.docx

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小学数学奥数余数问题中国剩余定理训练试题

被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数）

同余定理1如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。

并且我们说a，b之间的差能被c整除。

（abc三个数都是自然数）

例1：

有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？

习题1：

已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.

同余定理2a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。

（abc均为自然数）

例2：

22003除以7的余数是多少？

习题2：

31453

68765

987657的积,除以4的余数是_____.

例3：

今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？

（中国剩余定理）

分析：

此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。

此题解法很多，在此介绍同余尝试法。

在附录中有此种题型的一般解法。

题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。

所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。

一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数：

2，9，16，23，30，37，43，50，57……

在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然，

23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4……

以上数列都能满足前面两个要求。

所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有

23，58，93，128，163，198，233，268，303，338……

接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然

23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3……

综上，我们发现

23，128，233，338，443……

均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。

以上的求解过程我们叫同余尝试法，难点在于尝试这个过程会导致计算量比较大，但是这种解题方法适应性强，条件可以无限制增加，方法不变。

习题3：

有一类数，除以7余2，除以8余4，除以9余3。

问这类数中最小的是什么？

习题4：

有一类自然数，其中每个数与3的和都是5的倍数，与4的差都是7的倍数。

问这个数最小是多少？

例4：

有三个吉利数字，888，518，666，用他们同时除以一个相同的自然数，所得的余数为a，a+7，a+10.试问这个自然数是多少？

习题5：

140，225，293同时除以某一个自然数得到的余数相同，试问这个自然数是多少？

余数又是多少？

例5：

如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_____点钟.

习题6：

1999年1月1日是星期五，试问2002年6月1日是星期几？

例6：

节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共2013盏。

从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯不断地排下去。

问：

（1）第1982盏灯的颜色是什么？

（2）蓝灯共有多少盏？

习题7：

甲乙丙丁四个小朋友玩报数游戏，规定，甲报1乙报2丙报3丁报4甲报5乙报6丙报7……，问报2012的那个人是谁？

、

【基础训练】

1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8.正确的商是_____,余数是_____.

2.a

24=121……b,要使余数最大，被除数应该等于_____.

3.一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____.

4.今天周四,2012天之后是星期________

5.31453

68765

987657的积,除以5的余数是_____.

6.如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_____点钟.

7.如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将

19921992……1992只彩灯依次反复排列，那么_____颜色的彩

1991个1992

灯必定要比其他颜色的彩灯少一只.

【难题挑战】

1．393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_____个,它们是_____.

2．自然数n除63，91，129所得余数之和为25，则n是多少？

3．盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？

4.韩信点兵：

有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.

5.有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？

6.某数除以7余3，除以8余4，除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.

7.某数除以5余2，除以7余4，除以11余8.求适合条件的最小数.

8.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？

9.（小学数学奥林匹克初赛）有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果

【超越极限】

小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次.

【中国剩余定理】

在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：

   韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。

据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

   这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。

它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。

   最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。

这道“物不知数”的题目是这样的：

  “今有一些物不知其数量。

如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。

问：

这些物一共有多少？

”

   用简练的数学语言来表述就是：

求这样一个数，使它被３除余２，被５除余３，被７除余２。

因为最早出现在《孙子算经》中，这题又称孙子问题。

孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。

即题目的答案为

70×2+21×3+15×2

　　=140+63+30

　　=233

　　233-2×105=23

公式：

70a+21b+15c-105n

关键是找出702115

　　解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?

首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。

同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来70a+21b+15c是3除余a，5除余b，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105（105=3*5*7）仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。

《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：

你能看明白吗？