通用版202x高考数学一轮复习 13 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词讲义 文Word文件下载.docx

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命题

命题的否定

∃x0∈M，綈p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

二、常用结论汇总——规律多一点

含逻辑联结词命题真假的等价关系

（1）p∨q真⇔p，q至少一个真⇔（綈p）∧（綈q）假．

（2）p∨q假⇔p，q均假⇔（綈p）∧（綈q）真．

（3）p∧q真⇔p，q均真⇔（綈p）∨（綈q）假．

（4）p∧q假⇔p，q至少一个假⇔（綈p）∨（綈q）真．

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．（　　）

（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（　　）

（3）若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（　　）

（4）若命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．（　　）

（5）“长方形的对角线相等”是特称命题．（　　）

答案：

（1）×

（2）√　（3）√　（4）×

　（5）×

（二）选一选

1．命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是（　　）

A．∃x0∈R，x

＋x0≤0　　B．∃x0∈R，x

＋x0<

C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x<

解析：

选B　由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．

2．已知命题p：

若x>

y，则－x<

－y；

命题q：

若

>

，则x<

y.在命题①p∧q；

②p∨q；

③p∧（綈q）；

④（綈p）∨q中，真命题是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

选C　由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；

②p∨q为真命题；

③綈q为真命题，则p∧（綈q）为真命题；

④綈p为假命题，则（綈p）∨q为假命题，故真命题为②③.

3．下列四个命题中的真命题为（　　）

A．∃x0∈Z,1<

4x0<

3B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0

C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>

选D　选项A中，

<

x0<

，与x0∈Z矛盾，不成立；

选项B中，x0＝－

，与x0∈Z矛盾；

选项C中，x≠±

1时，x2－1≠0；

选项D正确．

（三）填一填

4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．

存在两个全等三角形的面积不相等

5．若命题p：

不等式ax＋b>

0的解集为

，命题q：

关于x的不等式（x－a）（x－b）<

0的解集为{x|a<

x<

b}，则“p∧q”“p∨q”及“綈p”形式的复合命题中的真命题是________．

由题知命题p为假命题，命题q为假命题，故只有“綈p”是真命题．

考点一　判断含有逻辑联结词命题的真假

[典例]　

（1）（2017·

山东高考）已知命题p：

∀x>

0，ln（x＋1）>

0；

若a>

b，则a2>

b2.下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q　　　　　　　　B．p∧綈q

C．綈p∧qD．綈p∧綈q

（2）（2019·

安徽安庆模拟）设命题p：

∃x0∈（0，＋∞），x0＋

3；

∀x∈（2，＋∞），x2>

2x，则下列命题为真的是（　　）

A．p∧（綈q）B．（綈p）∧q

C．p∧qD．（綈p）∨q

[解析]　

（1）当x>

0时，x＋1>

1，因此ln（x＋1）>

0，即p为真命题；

取a＝1，b＝－2，这时满足a>

b，显然a2>

b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．

（2）对于命题p，当x0＝4时，x0＋

＝

3，故命题p为真命题；

对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈（2，＋∞），使得2x0＝x

成立，故命题q为假命题，所以p∧（綈q）为真命题，故选A.

[答案]　

（1）B　

（2）A

[解题技法]　判断含有逻辑联结词命题真假的步骤

[题组训练]

1．（2019·

惠州调研）已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

选B　充分性：

若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：

p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．

“若x2－x>

0，则x>

1”；

“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是（　　）

A．p∨（綈q）B．p∨q

C．p∧qD．（綈p）∧（綈q）

选B　若x2－x>

1或x<

0，故p是假命题；

若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．

[典例]　

（1）命题∀x∈R，ex－x－1≥0的否定是（　　）

A．∀x∈R，ex－x－1≤0　　

B．∀x∈R，ex－x－1≥0

C．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0

D．∃x0∈R，ex0－x0－1<

（2）对命题∃x0>

0，x

2x0，下列说法正确的是（　　）

A．真命题，其否定是∃x0≤0，x

≤2x0

B．假命题，其否定是∀x>

0，x2≤2x

C．真命题，其否定是∀x>

D．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x

[解析]　

（1）改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.

（2）已知命题是真命题，如32＝9>

8＝23，其否定是∀x>

0，x2≤2x.故选C.

[答案]　

（1）D　

（2）C

[解题技法]

1．全称命题与特称命题真假的判断方法

真假

判断方法一

判断方法二

所有对象使命题真

否定为假

存在一个对象使命题假

否定为真

存在一个对象使命题真

所有对象使命题假

2.全称命题与特称命题的否定

（1）改写量词：

确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

（2）否定结论：

对原命题的结论进行否定．

1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（　　）

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>

x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>

C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>

x

D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>

选D　∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>

x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>

”．

∃n∈R，使得f（x）＝nxn2＋2n是幂函数，且在（0，＋∞）上单调递增；

“∃x0∈R，x

＋2>

3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<

3x”．则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧q

C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）

选C　当n＝1时，f（x）＝x3为幂函数，且在（0，＋∞）上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；

3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，（綈p）∧q，（綈p）∧（綈q）均为假命题，p∧（綈q）为真命题，选C.

考点三　根据命题的真假求参数的取值范围

[典例]　已知p：

存在x0∈R，mx

＋1≤0，q：

任意x∈R，x2＋mx＋1>

0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　依题意知p，q均为假命题，

当p是假命题时，则mx2＋1>

0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则Δ＝m2－4<

0，－2<

m<

2.

因此由p，q均为假命题得

即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞）．

[变透练清]

1.

若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

依题意，当p是真命题时，有m<

当q是真命题时，有－2<

2，

由

可得－2<

0.

所以m的取值范围为（－2,0）．

（－2,0）

若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．

当p真q假时

所以m≤－2；

当p假q真时

所以0≤m<

所以m的取值范围为（－∞，－2]∪[0,2）．

（－∞，－2]∪[0,2）

3.

若本例将条件q变为：

存在x0∈R，x

＋mx0＋1<

0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>

0，

所以m>

2或m<

－2.由

得0≤m≤2，

所以m的取值范围为[0,2]．

[0,2]

根据命题的真假求参数的取值范围的步骤

（1）求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；

（2）根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；

（3）根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．

西安摸底）命题“∀x>

0”的否定是（　　）

A．∃x0≥0，

≤0　　　　B．∃x0>

0,0≤x0≤1

C．∀x>

≤0D．∀x<

0,0≤x≤1

选B　∵

0，∴x<

0或x>

1，∴

0的否定是0≤x≤1，

∴命题的否定是“∃x0>

0,0≤x0≤1”．

2．下列命题中，假命题的是（　　）

A．∀x∈R,21－x>

B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称

C．函数y＝xa的图象经过第四象限

D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝

相切

选C　对于A，由指数函数的性质可知为真命题；

对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；

对于C，当x>

0时，y>

0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；

对于D，因为圆心（0,0）到直线x＋y＋1＝0的距离等于

，等于圆的半径，命题成立．

3．（2019·

陕西质检）已知命题p：

对任意的x∈R，总有2x>

q：

“x>

1”是“x>

2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．p∧（綈q）

选D　由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>

1是x>

2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧（綈q）为真命题．

4．（2018·

湘东五校联考）下列说法中正确的是（　　）

A．“a>

1，b>

1”是“ab>

1”成立的充分条件

B．命题p：

∀x∈R,2x>

0，则綈p：

∃x0∈R,2x0<

C．命题“若a>

b>

0，则

”的逆命题是真命题

D．“a>

b”是“a2>

b2”成立的充分不必要条件

选A　对于选项A，由a>

1，易得ab>

1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：

0的否定是綈p：

∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：

，则a>

0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>

b”并不能推出“a2>

b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.

5．（2019·

唐山五校联考）已知命题p：

“a>

b”是“2a>

2b”的充要条件；

∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则（　　）

A．（綈p）∨q为真命题B．p∧（綈q）为假命题

C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题

选D　由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q为假命题，所以p∨q为真命题．

6．下列说法错误的是（　　）

A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”

B．若命题p：

＋x0＋1<

对任意x∈R，x2＋x＋1≥0

C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥

2”的充要条件

D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假

选D　由原命题与逆否命题的关系，知A正确；

由特称命题的否定知B正确；

由xy≥

2⇔4xy≥（x＋y）2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔（x－y）2≤0⇔x＝y，知C正确；

对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．

7．（2019·

长沙模拟）已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>

0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（4，＋∞）B．（0,4]

C．（－∞，4]D．[0,4）

选C　当原命题为真命题时，a>

0且Δ<

0，所以a>

4，故当原命题为假命题时，a≤4.

8．下列命题为假命题的是（　　）

A．存在x>

y>

0，使得lnx＋lny<

B．“φ＝

”是“函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数”的充分不必要条件

C．∃x0∈（－∞，0），使3x0<

4x0成立

D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β

选C　对于A选项，令x＝1，y＝

，则lnx＋lny＝－1<

0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝

”是“函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<

0时，函数单调递减，故不存在x0∈（－∞，0），使3x0<

4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.

9．若命题p的否定是“∀x∈（0，＋∞），

＞x＋1”，则命题p可写为________________________．

因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．

∃x0∈（0，＋∞），

≤x0＋1

10．已知命题p：

x2＋4x＋3≥0，q：

x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.

若p为真，则x≥－1或x≤－3，

因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，

又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，

由题意，得x＝－2.

－2

11．已知p：

a<

0，q：

a2>

a，则綈p是綈q的________条件（填：

充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．

由题意得綈p：

a≥0，綈q：

a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以綈p是綈q的必要不充分条件．

必要不充分

12．已知命题p：

a2≥0（a∈R），命题q：

函数f（x）＝x2－x在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题：

①p∨q；

②p∧q；

③（綈p）∧（綈q）；

④（綈p）∨q.

其中为假命题的序号为________．

显然命题p为真命题，綈p为假命题．

∵f（x）＝x2－x＝

2－

，

∴函数f（x）在区间

上单调递增．

∴命题q为假命题，綈q为真命题．

∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题，（綈p）∨q为假命题．

②③④

13．设t∈R，已知命题p：

函数f（x）＝x2－2tx＋1有零点；

∀x∈[1，＋∞），

－x≤4t2－1.

（1）当t＝1时，判断命题q的真假；

（2）若p∨q为假命题，求t的取值范围．

解：

（1）当t＝1时，

max＝0，

－x≤3在[1，＋∞）上恒成立，故命题q为真命题．

（2）若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．

当p为假命题时，Δ＝（－2t）2－4<

0，解得－1<

t<

1；

当q为真命题时，

max≤4t2－1，即4t2－1≥0，

解得t≤－

或t≥

∴当q为假命题时，－

∴t的取值范围是

.

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