无穷大量与无穷小量.ppt

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,第四节无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,二、无穷大量,三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小量,本节讨论两种特殊的变量：

以零为极限的变量和趋向无穷大的变量。

1、无穷小量,如果函数在自变量的变化过程中，以零为极限，则称此函数在这个过程中为无穷小量。

例如,注,

（1）无穷小是一个以零为极限的变量,不能与很小的数混淆;,

（2）0是可以作为无穷小的唯一的数.,（5）此概念对数列极限也适用.若,称数列为时的无穷小.,（4）同样有,时无穷小.,（3）不能说函数f（x）是无穷小,应该说在什么情况下的无穷小.即指出自变量的变化过程.,2、无穷小与极限的关系,定理1,（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,

（2）有限个无穷小的乘积是无穷小.,定理

（1）有限个无穷小的和、差仍是无穷小.,3、无穷小的性质,注：

无穷多个无穷小的和未必是无穷小。

例：

计算下列极限,

（1）,

（2）,（3）,=0,=0,=0,二、无穷大量,描述性定义如果在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值|f（x）|无限增大，则称f（x）为该过程中的无穷大量，简称无穷大。

若任给M0,的x,总有,则称函数,为当,时的无穷大,一切满足不等式,记作,总存在,分析定义,使对,定义.若任给M0,满足不等式,的x,总有,则称函数,为当,时的无穷大,使对一切,正数X,记作,总存在,特殊情形：

正无穷大：

注,

（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）两个无穷大的和差不一定是无穷大，两个无穷大的乘积仍为无穷大。

负无穷大：

（4）无穷大与极限过程密切相关.,例如,函数,当,但,不是无穷大!

（5）无穷大是无界函数,但是无界函数未必是无穷大.,若,则称直线,为曲线,的垂直渐近线.,渐近线,定义:

若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,定理.在自变量的同一变化过程中,三、无穷小与无穷大的关系,意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,小结：

1.无穷小的定义,2.无穷小与函数极限的关系,3.无穷小的性质,4.无穷大的定义,5.无穷大与无穷小的关系,6.垂直渐近线,