高三数学一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系夯基提能作业本理Word文档格式.docx

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（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·

|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.

B组　提升题组

7.在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.

（1）求圆C的极坐标方程;

（2）求直线l:

θ=-（ρ∈R）被圆C截得的弦长.

8.（xx河南三市3月联考）在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,曲线C2的参数方程为（β为参数）,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;

（2）已知射线l1:

θ=α,将射线l1顺时针旋转得到射线l2:

θ=α-,且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O、Q两点,求|OP|·

|OQ|的最大值.

答案全解全析

A组　基础题组

1.解析　

（1）将代入x2+y2-8x=0得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρcosθ=0,即ρ2-8ρcosθ=0,

∴极坐标方程为ρ=8cosθ.

（2）因为ρ=6cos,

所以ρ=6,

即ρ2=3ρcosθ+3ρsinθ,

所以x2+y2=3x+3y,

即x2+y2-3x-3y=0.

∴直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.

2.解析　

（1）∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,

∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,

点R的直角坐标为（2,2）.

（2）设P（cosθ,sinθ）,

根据题意可得

|PQ|=2-cosθ,|QR|=2-sinθ,

∴|PQ|+|QR|=4-2sin,

当θ=时,|PQ|+|QR|取最小值2,

∴矩形PQRS周长的最小值为4,

此时点P的直角坐标为.

3.解析　

（1）由ρ=2,得ρ2=4,所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.

由ρ2-2ρcos=2,

得ρ2-2ρ=2,

所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.

（2）将两圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.

化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,

即ρsin=.

4.解析　

（1）将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C:

ρ=2,l:

ρ（cosθ+sinθ）=2.

（2）设P,Q,R的极坐标分别为（ρ1,θ）,（ρ,θ）,（ρ2,θ）,

由|OQ|·

|OP|=|OR|2,得ρρ1=.

又ρ2=2,ρ1=,

所以=4,即ρ=2（cosθ+sinθ）,

故点Q的轨迹的极坐标方程为

ρ=2（cosθ+sinθ）（ρ≠0）.

5.解析　

（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数）,∴曲线C1的普通方程为x2+（y-2）2=7.

将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入（x-1）2+y2=1,得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ-1）2+（ρsinθ）2=1,

化简得ρ=2cosθ.

（2）依题意设A,B.

曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ-3=0,将θ=（ρ>

0）代入曲线C1的极坐标方程,得ρ2-2ρ-3=0,又ρ1>

0,∴ρ1=3.

同理,ρ2=.

∴|AB|=|ρ1-ρ2|=3-.

6.解析　

（1）C1的直角坐标方程为（x+1）2+y2=1,它表示圆心为（-1,0）,半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,

由于圆心到直线的距离d==>

1,

所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.

（2）设Q（ρ0,θ0）,P（ρ,θ）,

则

即

①

因为点Q（ρ0,θ0）在曲线C2上,

所以ρ0cos=1,②

将①代入②,得cos=1,

即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.

7.解析　解法一:

（1）如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M（ρ,θ）,

在Rt△OAM中,∠OMA=,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.

因为cos∠AOM=,

所以|OM|=|OA|·

cos∠AOM,

即ρ=4cos=4cos,

验证可知,极点O与A的极坐标也满足方程,

故圆C的极坐标方程为ρ=4cos.

（2）易知l过点O,设l:

θ=-（ρ∈R）交圆C于另一点P,

连接PA,在Rt△OAP中,∠OPA=,

易得∠AOP=,

所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.

解法二:

（1）圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,

所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.

（2）将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos,

得ρ=2,

所以直线l:

θ=-（ρ∈R）被圆C截得的弦长为2.

8.解析　

（1）曲线C1的普通方程为（x-2）2+y2=4,所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的普通方程为x2+（y-2）2=4,所以C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.

（2）设点P的极坐标为（ρ1,α）,即ρ1=4cosα,

点Q的极坐标为,即ρ2=4sin.

则|OP|·

|OQ|=ρ1ρ2

=4cosα·

4sin

=16cosα·

=8sin-4.

∵α∈,

∴2α-∈,

当2α-=,即α=时,|OP|·

|OQ|取得最大值,为4.

2019-2020年高三数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程夯基提能作业本理

1.已知P为半圆C:

（θ为参数,0≤θ≤π）上的点,点A的坐标为（1,0）,O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.

（1）以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;

（2）求直线AM的参数方程.

2.（xx河北衡水调研）已知直线l的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ.

（1）求曲线C的参数方程;

（2）当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.

3.（xx河北石家庄一模）在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=cosθ.

（1）求曲线C2的直角坐标方程;

（2）若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.

4.（xx河南八市重点高中质检）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）,在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换

得到曲线C'

.

（1）求曲线C'

的普通方程;

（2）若点A在曲线C'

上,点D（1,3）,当点A在曲线C'

上运动时,求AD中点P的轨迹方程.

5.已知直线l:

t为参数,α≠,k∈Z经过椭圆C:

（φ为参数）的左焦点F.

（1）求m的值;

（2）设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|·

|FB|的最小值.

6.（xx甘肃三校联考）在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,x轴正半轴为极轴）中,圆C的方程为ρ=6sinθ.

（1）求圆C的直角坐标方程;

（2）设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为（1,2）,求|PA|+|PB|的最小值.

7.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为（θ为参数）,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2.

（1）分别写出C1的普通方程,C2的直角坐标方程;

（2）已知M,N分别为曲线C1的上、下顶点,点P为曲线C2上任意一点,求|PM|+|PN|的最大值.

8.（xx豫南九校3月联考）在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l:

（t为参数）与曲线C:

（θ为参数）相交于不同的两点A,B.

（1）若α=,求线段AB的中点M的坐标;

（2）若|PA|·

|PB|=|OP|2,其中P（2,）,求直线l的斜率.

1.解析　

（1）由已知,M点的极角为,且M点的极径等于,故点M的极坐标为.

（2）M点的直角坐标为,A（1,0）,故直线AM的参数方程为

（t为参数）.

2.解析　

（1）由ρ=2sinθ-2cosθ,

可得ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ.

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,

化为标准方程为（x+1）2+（y-1）2=2.

曲线C的参数方程为

（φ为参数）.

（2）当α=时,直线l的方程为

化成普通方程为y=x+2.

由解得或

所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为,（2,π）.

3.解析　

（1）∵ρ=cosθ,

∴x2+y2=x,即+y2=.

（2）设P（2cosα,sinα）,易知C2,

∴|PC2|=

=

=,

当cosα=时,|PC2|取得最小值,|PC2|min=,

∴|PQ|min=.

4.解析　

（1）将代入

得曲线C'

的参数方程为

∴曲线C'

的普通方程为+y2=1.

（2）设点P（x,y）,A（x0,y0）,

∵D（1,3）,且AD的中点为P,

∴

又点A在曲线C'

上,∴代入C'

的普通方程+y2=1,得（2x-1）2+4（2y-3）2=4,

∴动点P的轨迹方程为（2x-1）2+4（2y-3）2=4.

5.解析　

（1）∵椭圆C:

的普通方程为+=1,∴F（-1,0）.

∵直线l:

的普通方程为

y=tanα（x-m）,

其中α≠,k∈Z,

∴0=tanα（-1-m）,

∴m=-1.

（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程+=1中,并整理,得（3cos2α+4sin2α）t2-6tcosα-9=0.

设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,

则|FA|·

|FB|=|t1t2|==,

当sinα=±

1时,|FA|·

|FB|取得最小值,为.

6.解析　

（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+（y-3）2=9.

所以圆C的直角坐标方程为x2+（y-3）2=9.

（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2（cosα-sinα）t-7=0.

由已知得Δ=（2cosα-2sinα）2+4×

7>

0,所以可设t1,t2是上述方程的两根,

由题意得直线l过点（1,2）,结合t的几何意义得

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|

==

=≥=2.

所以|PA|+|PB|的最小值为2.

7.解析　

（1）曲线C1的普通方程为+=1.

曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4.

（2）解法一:

由曲线C2:

x2+y2=4,可得其参数方程为（α为参数）,设P点坐标为（2cosα,2sinα）,又由题意可知M（0,）,N（0,-）,

因此|PM|+|PN|

=+

=+,

所以（|PM|+|PN|）2=14+2.

所以当sinα=0时,（|PM|+|PN|）2有最大值28.

因此|PM|+|PN|的最大值为2.

设P点坐标为（x,y）,则x2+y2=4,

又由题意可知M（0,）,N（0,-）,

因此|PM|+|PN|=+=+,

所以当y=0时,（|PM|+|PN|）2有最大值28.

8.解析　

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程是+y2=1.

当α=时,设点M对应的参数为t0.

直线l的方程为

（t为参数）,

代入曲线C的普通方程+y2=1,得13t2+56t+48=0,

设直线l上的点A,B对应参数分别为t1,t2.

则t0==-,所以点M的坐标为.

（2）将代入曲线C的普通方程+y2=1,

得（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0,

因为|PA|·

|PB|=|t1t2|=,|OP|2=7,

所以=7,得tan2α=.

由于Δ=32cosα（2sinα-cosα）>

0,

故tanα=.所以直线l的斜率为.