九年级数学 212二次函数的图象和性质共6课时教学设计Word格式文档下载.docx
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（1）列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
1
2
3
y
9
4
（2）描点:
根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点（x,y）.
（3）连线:
用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
思考:
观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:
（1）二次函数y=x2的图象是什么形状?
（2）图象是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
（3）图象有最低点吗?
如果有,最低点的坐标是什么?
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.
函数y=x2的图象是一条关于y轴（x=0）对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.
由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;
y轴是抛物线y=x2的对称轴:
抛物线y=x2与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.
【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.
分别填表,再画出它们的图象.
-4
y=x2
8
4.5
0.5
-1.5
-0.5
1.5
y=2x2
函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.
抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是（0,0）,函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.
探究1:
画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.
学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是（0,0）,函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.
探究2:
对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?
抛物线y=ax2和y=-ax2呢?
学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.
学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.
教师引导学生小结（知识点、规律和方法）.
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>
0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;
当a<
0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
从二次函数y=ax2的图象可以看出:
如果a>
0,当x<
0时,y随x的增大而减小,当x>
0时,y随x的增大而增大;
如果a<
0时,y随x的增大而增大,当x>
0时,y随x的增大而减小.
三、巩固练习
1.抛物线y=-4x2-4的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】下 （0,-4） x=0 0 大 -4
2.当m≠ 时,y=（m-1）x2-3m是关于x的二次函数.
【答案】1
3.已知抛物线y=-3x2上两点A（x,-27）,B（2,y）,则x= ,y= .
【答案】-3或3 -12
4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为（2,b）,则k= ,b= .
【答案】 12
5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点（-1,-2）,则抛物线的表达式为 .
【答案】y=-2x2
6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-2x2D.y=-x2
【答案】C
7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是（ ）
A.y=x2B.y=4x2
C.y=-2x2D.无法确定
【答案】A
8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是（ ）
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称
D.两条抛物线的交点为原点
四、课堂小结
1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.
2.二次函数y=ax2的性质:
抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>
0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;
0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.
教学反思
本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:
（1）例1是基础;
（2）在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;
（3）例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;
（4）最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.
第2课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
（1）
使学生能利用描点法作出函数y=ax2+k的图象.
让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力.
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质,理解函数y=ax2+k与函数y=ax2的相互关系.
正确理解二次函数y=ax2+k的性质,理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系.
1.二次函数y=2x2的图象是 ,它的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ;
在对称轴的右侧,y随x的增大而 .函数y=ax2在x= 时,取最 值,其最 值是 .
2.抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么?
3.抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?
问题1:
对于前面提出的第2、3个问题,你将采取什么方法加以研究?
（画出函数y=x2+1、y=x2-1和函数y=x2的图象,并加以比较.）
问题2:
你能在同一直角坐标系中画出函数y=x2+1与y=x2的图象吗?
学生回顾画二次函数图象的三个步骤,按照画图的步骤画出函数y=x2+1、y=x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师写出解题过程,与学生所画的图象进行比较,帮助学生纠正错误.
（1）列表:
y=x2+1
10
5
用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=x2和y=x2+1的图象.
问题3:
当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?
反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
教师引导学生观察上表并思考,当x依次取-3、-2、-1、0、1、2、3时,两个函数的函数值之间有什么关系?
学生观察、讨论、归纳得:
当自变量x取同一数值时,函数y=x2+1的函数值比函数y=x2的函数值大1.
教师引导学生观察函数y=x2和函数y=x2+1的图象,先研究点（-1,1）和点（-1,2）、点（0,0）和点（0,1）、点（1,1）和点（1,2）的位置关系.
反映在图象上,函数y=x2+1的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了一个单位.
问题4:
函数y=x2+1和y=x2的图象有什么联系?
学生由问题3的探索可以得到结论:
函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.
问题5:
现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?
生:
函数y=x2+1与函数y=x2的图象开口方向相同、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=x2的图象的顶点坐标是（0,0）,而函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0,1）.
问题6:
你能由函数y=x2+1的图象得到函数y=x2+1的一些性质吗?
当x<
0时,函数值y随x的增大而减小;
当x>
0时,函数值y随x的增大而增大;
当x=0时,函数取得最小值,最小值是y=1.
问题7:
先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
先列表:
y=2x2+1
5.5
y=2x2-1
7
3.5
然后描点画图,得y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
教师让学生发表意见,归纳为:
函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同.函数y=2x2-1的图象可以看成是将函数y=2x2+1的图象向下平移两个单位得到的.
问题8:
你能说出函数y=x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗?
教师让学生观察y=x2-1的图象.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言.最后归纳总结:
函数y=x2-1的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是（0,-1）;
当x=0时,函数取得最小值,最小值为y=-1.
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2、y=x2+2、y=x2-2的图象.
（1）填表:
y=x2+2
y=x2-2
（2）描点,连线:
【答案】略
2.观察第1题中所画的图象,并填空:
（1）抛物线y=x2+2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;
抛物线y=x2+2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
（2）对于y=x2-2,当x>
0时,函数值y随x的增大而 ;
（3）对于函数y=x2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2+2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2-2,当x= 时,函数取最 值,为 .
【答案】
（1）向上 x=0 （0,2） 上 2
（2）增大 减小 （3）0 小 0 0 小 2 0 小 -2
1.函数y=ax2（a≠0）和函数y=ax2+k（a≠0）的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上（当k>
0时）或向下（当k<
0时）平移|k|个单位就得到函数y=ax2+k的图象.
2.抛物线y=ax2+k（a≠0）的性质.
（1）抛物线y=ax2+k（a≠0）的对称轴是y轴,顶点坐标是（0,k）.
（2）当a>
0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;
0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.
（3）当a>
0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;
在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.这时,当x=0时,y有最小值k.
0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;
在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.这时,当x=0时,y有最大值k.
通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:
首先,掌握函数y=ax2（a≠0）和函数y=ax2+k（a≠0）的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上（当k>
0时）平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;
其次,能够理解a、k对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础;
最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神.
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
（2）
使学生能利用描点法画出二次函数y=a（x-h）2的图象.
让学生经历探究二次函数y=a（x-h）2性质的过程,理解函数y=a（x-h）2的性质,理解二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.
会用描点法画出二次函数y=a（x-h）2的图象,理解二次函数y=a（x-h）2的性质,理解二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
理解二次函数y=a（x-h）2的性质,理解二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.
1.抛物线y=2x2+1、y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么?
2.二次函数y=-（x+1）2的图象与二次函数y=-x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?
这两个函数的图象之间有什么关系?
你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题?
（画出二次函数y=-（x+1）2和二次函数y=-x2的图象,并加以观察.）
你能在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x2与y=-（x+1）2的图象吗?
教师引导学生作图,巡视、指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正错误,出示正确的图形.
y=-x2
-
y=-（x+1）2
-8
用表格中的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2和y=-（x+1）2的图象.
当函数值y取同一数值时,这两个函数的自变量之间有什么关系?
反映在图象上,相应的两点之间的位置又有什么关系?
教师引导学生观察上表,当y依次取0、-、-2、-时,两个函数的自变量之间有什么关系?
学生归纳得到,当函数值取同一数值时,函数y=-（x+1）2的自变量比函数y=-x2的自变量小1.
教师引导学生观察函数y=-（x+1）2和函数y=-x2的图象,先研究点（-1,-）和点（0,-）、点（-1,0）和点（0,0）、点（1,-2）和点（2,-2）的位置关系.
学生归纳得到:
反映在图象上,函数y=-（x+1）2的图象上的点都是由函数y=-x2的图象上的相应点向左移动了一个单位.
函数y=-（x+1）2和y=-x2的图象有什么联系?
学生由问题3的探索,可以得到结论:
函数y=-（x+1）2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.
学生观察两个函数的图象得:
函数y=-（x+1）2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是（-1,0）;
函数y=-x2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是（0,0）.
你能由函数y=-（x+1）2的图象得到函数y=-（x+1）2的一些性质吗?
-1时,函数值y随x的增大而减小;
-1时,函数值y随x的增大而增大;
当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=0.
先在同一直角坐标系中画出函数y=-（x-1）2与函数y=-x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
学生画图并仔细观察,细心研究.
函数y=-（x-1）2与函数y=-x2的图象的开口方向相同,对称轴、顶点坐标不同.函数y=-（x-1）2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位得到的.
你能说出函数y=-（x-1）2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗?
教师引导学生观察y=-（x-1）2的图象,并引导学生思考其性质.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识:
函数y=-（x-1）2的图象的开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是（1,0）.当x<
1时,函数值y随x的增大而增大;
1时,函数值y随x的增大而减小;
当x=1时,函数取得最大值,最大值y=0.
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=（x+1）2,y=（x-1）2的图象.
y=（x+1）2
y=（x-1）2
……
（1）抛物线y=（x+1）2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;
抛物线y=（x+1）2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
（2）对于y=（x-1）2,当x>
1时,函数值y随x的增大而 ;
（3）对于函数y=x2,当x= 时,函数取得最 值,为 ;
对于函数y=（x+1）2,当x= 时,函数取得最 值,为 ;
对于函数y=（x-1）2,当x= 时,函数取得最 值,为 .
（1）向上 x=-1 （-1,0） 左 1
（2）增大 减小 （3）0 小 0 -1 小 0 1 小 0
结论如下:
1.函数y=ax2（a≠0）和函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左（当h<
0时）或向右（当h>
0时）平移|h|个单位就得到y=a（x-h）2的图象.
2.抛物线y=a（x-h）2（a≠0）的性质.
（1）抛物线y=a（x-h）2（a≠0）的对称轴是x=h,顶点坐标是（h,0）.
在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;
当x=h时,y有最小值.
在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;
当x=h时,y有最大值.
通过本节课的学习,要求大家理解并掌握函数y=ax2（a≠0）和函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左（当h<
0时）平移|h|个单位就得到y=a（x-h）2的图象;
能够理解a、h对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下,学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质（3）
使学生理解并掌握函数y=a（x-h）2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;
会确定函数y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
让学生经历函数y=a（x-h）2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a（x-h）2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.
渗透数形结合的数学思想,培
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