262 二次函数的图象与性质Word文件下载.docx
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②图象关于y轴对称
③由最低点，没有最高点.
结合图象介绍下列名称：
①顶点；
②对称轴；
③开口及开口方向.
2．函数y=ax2的图象特征及其性质
【探究2】在同一坐标系中，画出y=
x2，y=2x2的图象.
学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2
比较图中三个抛物线的异同.
相同点：
①顶点相同，其坐标都为（0，0）.
②对称轴相同，都为y轴
③开口方向相同，它们的开口方向都向上.
不同点：
开口大小不同.
【练一练】画函数y=-x2，y=-
x2，y=-2x2的图象.（分析：
仿照探究1的实施过程）
比较函数y=-x2，y=-
x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.
①形状都是抛物线.
②顶点相同，其坐标都为（0，0）.
③对称轴相同，都为y轴
④开口方向相同，它们的开口方向都向下.
【归纳】y=ax2的图象特征：
（1）二次函数y=ax2的图象是一条抛物线
（2）抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>
0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<
0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.
（3）|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小
（三）应用迁移巩固提高
类型之一如何画好二次函数的图象
【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；
②描点；
③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免.
【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.
【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.
例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.
解：
图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.
图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.
图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.
【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.
类型之二函数y=ax2的图象特征的应用
例2
（1）填空：
函数
的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是.
（2）函数y=x2，y=
，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.
（1）
可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.
【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.
（2）根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=
x2，x轴下方的为y=-2x2
【点评】抛物线y=ax2中a>
0时，开口向上.a<
0时，开口向下.|a|越大，开口越小.
（四）总结反思拓展升华
【总结】
1.本节所学知识：
①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.
2.本节所用的方法：
实践比较法
【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？
（它们关于x轴对称）
【拓展】
已知函数y=ax2经过（1,2）.
（1）求a的值.
（2）当x<
0时，y的值随x的增大而变化的情况
（1）将x=1，y=2代入y=ax2中，得2=a×
12∴a=2.
（2）根据函数y=2x2知x<
0时y随x的增大而减小.
【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：
x<
0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小..
（五）当堂检测反馈
1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.抛物线y=-
x2的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.
2.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=2.
【分析】a与-2互为相反数
3.在同一坐标系中：
①y=
，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大的是
①
，最小的是③y=2x2，开口向下的是②y=-x2.
∵|
|<
|-1|<
|2|,∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小.
∵函数y=-x2中，二次项系数为-1<
0.∴此函数图象的开口向下.
4.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=
的图象共同点是①顶点相同，都是原点（0，0）；
②对称轴相同，都是y轴.
5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过（-3,2）.求此抛物线的解析式，并指出x>
0时，y随x的变化情况.
设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点（-3，2），
∴2=a·
（-3）2,即a=
.∴y=
x2,∴当x>
0时，y随x的增大而增大.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
教学目标：
⒈经历描点法画函数图像的过程,
学会观察、归纳、概括函数图像的特征；
⒉掌握型二次函数图像的特征；
⒊经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
教学重点：
y=ax2+bx+c（a
0）型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点：
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，
教学手段：
实物投影
教学过程：
一、复习引入
前面我们学习了二次函数的三种表示方法，提问学生，教师展示投影：
一般式y=ax2+bx+c（a
0）,顶点式y=a（x+k）2+h（a
0）,两根式y=a（x-x1）（x-x2）（a
0）
x
-3
-2
-1
1
2
y
-4
-9
o
3
4
5
8
如;
抛物线过A（-1,0）,B（3,0）,C（1,4）三点，求此二次函数解析式..学生完成。
答案：
y=-x2+2x+3
二、新课讲授
例1、做出二次函数
（1）y=-（x+1）2与
（2）y=（x-2）2-1的图像；
在同一坐标系中用描点法画出二次函数
（1）y=（x+1）2与
（2）y=（x-2）2-1的图像
问题：
a）无论x取何值，对于
（1）来说，y的值有什么特征？
对于
（2）来说，又有什么特征？
b）y值相同时，自变量的取值有什么特征？
目的：
上面的两个函数图像概括出
（1）二次函数的图像的对称性：
关于x=
对称
（2）当a>
0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，函数有最小值；
当a<
0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点，函数有最大值。
（3）二次函数的的函数增减性：
如果a＞0,那么在轴的左侧，y随x的增大而减小，在轴的右侧y随x的增大而增大；
如果a＜0,那么在轴的左侧，y随x的增大而增大，在轴的右侧y随x的增大而减小；
练习：
求函数y=-3x2-6x+2
的顶点坐标，对称轴，最值。
例2、y=x2-（m-3）x-m
（1）证明：
无论m为何值，图像与x轴总有两个交点;
（2）m为何值时，图像与x轴的两个交点间距离等于3？
（1）即证y=-3x2-6x+2=0
有两个实根,由
>
0可得证。
（2）两个交点的距离即两个实根的距离。
|x1-x2|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=m2-2m+9=9得m=o,2
初步理解二次函数、二次方程的关系，为后面二次不等式的学习打下基础。
例3、求y=x2+4x在-1
1上的最值。
解;
对称轴x=-2,由图像可知，当-1
1时，x=-1,y取最小值-3.x=1时，y取最大值5
目的；
强化运用图像解决闭区间上最值问题，教师讲解时应变换区间，训练三种常见类型，可以根据实际情况添加字母参数。
课堂练习：
1、抛物线顶点为（2，3）过（3，1）,求方程。
2、求y=2x2+4x-2的最值，对称轴及顶点。
3、抛物线y=x2-（m+2）x+4与x轴不相交，求m的范围？
4、求y=2x2-4x+3当-1
2时的最值。
课堂小结：
1、认识了二次函数的图像何性质。
2、能用图像何性质解决有关最值问题。
3、数形结合思想，分类讨论思想的渗透。
课后巩固：
1、图像过（6，0）点，且当x=4时y有最小值8，求抛物线方程。
2、图像过（4，-3）点，当x=3时有最大值4，求抛物线方程。
3、求y=-x2+2x+4的顶点坐标及最值。
4、求y=x2+2ax-3在1
课题：
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质（学案）
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像
复习引入
前面我们学习了二次函数的三种表示方法：
一般式_________________顶点式_________________两根式_________________
抛物线过A（-1,0）,B（3,0）,C（1,4）三点，求此二次函数解析式
（1）无论x取何值，对于
（1）来说，y的值有什么特征？
（2）y值相同时，自变量的取值有什么特征？
的顶点坐标，对称轴，最值
例2、y=x2-（m-3）x-m
（1）证：
（2）m为何值时，图像与x轴的两个交点间距离等于3
1上的最值
1.抛物线顶点为（2，3）过（3，1）,求方程
2.求y=2x2+4x-2的最值，对称轴及顶点
3.抛物线y=x2-（m+2）x+4与x轴不相交，求m的范围
4.求y=2x2-4x+3当-1
2时的最值
1,认识了二次函数的图像何性质
2,能用图像何性质解决有关最值问题
3,数形结合思想，分类讨论思想的渗透
1,图像过（6，0）点，且当x=4时y有最小值8，求抛物线方程；
2,图像过（4，-3）点，当x=3时有最大值4，求抛物线方程；
3,求y=-x2+2x+4的顶点坐标及最值
4,求y=x2+2ax-3在1
2时的最
求二次函数的函数表达式
教学内容
课型
新授课
主备人
执教人
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学重点
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
一：
问题引入
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：
我们在确定一次函数
的关系式时，通常需要两个独立的条件：
确定反比例函数
的关系式时，通常只需要一个条件：
如果要确定二次函数
的关系式，又需要几个条件呢？
二、探索新知
知识点1：
设顶点式
求二次函数关系式
例1、已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1），求这条抛物线的解析式。
已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8），求这条抛物线的解析式。
知识点2：
设一般式：
例2、已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
求二次函数的关系式．
已知抛物线过三点：
（0，－2）、（1，0）、（2，3），求该二次函数的关系式．
知识点3：
设交点式
求二次函数的关系式。
例3、已知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），且经过点（2，–10），求这个二次函数的解析式。
已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4，求该二次函数的关系式．．
方法归纳：
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式：
，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：
，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
（3）交点式：
，给出三点（其中两点为与x轴的两交点）时用此式来求．
三、课堂练习
1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过三点：
（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）这个函数有最大值还是最小值？
这个值是多少？
3、已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点间的距离等于4,它在y轴的负半轴上的截距是6,则它的关系式.
4.有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？
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