故C正确。
3．[动量变化量的大小计算]
（多选）质量为m的物体以初速度v0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，在这段时间内物体动量变化量的大小为（ ）
A．m（v－v0） B．mgt
C．mD．m
解析：
选BCD 由动量定理可得，物体在时间t内动量变化量的大小为mgt，B正确；物体在平抛运动过程中速度变化量Δv沿竖直方向，其大小Δv＝，由机械能守恒定律可得：
mv02＋mgh＝mv2，所以＝，故物体动量变化量Δp＝mΔv＝m＝m，选项C、D均正确，只有选项A错误。
[名师微点]
1．动能、动量、动量变化量的比较
动能
动量
动量变化量
定义
物体由于运动而具有的能量
物体的质量和速度的乘积
物体末动量与初动量的矢量差
定义式
Ek＝mv2
p＝mv
Δp＝p′－p
标矢性
标量
矢量
矢量
特点
状态量
状态量
过程量
关联方程
Ek＝，Ek＝pv，p＝，p＝
联系
（1）都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
（2）若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动能不一定发生变化
2．冲量的计算
（1）恒力的冲量：
直接用定义式I＝Ft计算。
（2）变力的冲量
①方向不变的变力的冲量，若力的大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力F在某段时间t内的冲量I＝t，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。
②作出Ft变化图线，图线与t轴所夹的面积即为变力的冲量。
如图所示。
③对于易确定始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解，即通过求Δp间接求出冲量。
考点二 动量定理的理解和应用[师生共研类]
1．应用动量定理解释的两类物理现象
（1）当物体的动量变化量一定时，力的作用时间Δt越短，力F就越大，力的作用时间Δt越长，力F就越小，如玻璃杯掉在水泥地上易碎，而掉在沙地上不易碎。
（2）当作用力F一定时，力的作用时间Δt越长，动量变化量Δp越大，力的作用时间Δt越短，动量变化量Δp越小。
2．应用动量定理解题的一般步骤
（1）确定研究对象。
中学阶段的动量定理问题，其研究对象一般仅限于单个物体。
（2）对物体进行受力分析。
可以先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和；或先求合力，再求其冲量。
（3）抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正、负号。
（4）根据动量定理列方程，如有必要还需要其他补充方程，最后代入数据求解。
对过程较复杂的运动，可分段用动量定理，也可整个过程用动量定理。
[典例] “蹦床”已成为奥运会的比赛项目。
质量为m的运动员从床垫正上方h1高处自由落下，落垫后反弹的高度为h2，设运动员每次与床垫接触的时间为t，求在运动员与床垫接触的时间内运动员对床垫的平均作用力。
（空气阻力不计，重力加速度为g）
[解析] 设运动员下降h1刚接触床垫的速度大小为v1，则离开床垫的速度大小为v2，由机械能守恒定律得
mv12＝mgh1
mv22＝mgh2
设时间t内，床垫对运动员的平均作用力为F，取向上为正方向，
由动量定理得（F－mg）t＝mv2－（－mv1）
以上三式联立可得F＝＋mg
再由牛顿第三定律得，运动员对床垫的作用力为
F′＝F＝＋mg，方向竖直向下。
[答案] ＋mg，方向竖直向下
[延伸思考]
（1）床垫对运动员的冲量是多少？
（2）如果运动员不是落在床垫上，而是落在水泥地面上，运动员所受的平均冲力表达式相同吗？
实际结果有区别吗？
提示：
（1）床垫对运动员的冲量I＝Ft＝m（＋）＋mgt。
（2）运动员所受的平均冲力表达式相同，但因落在水泥地面上时，作用时间t明显减小，故运动员所受平均冲力明显增大，容易受到伤害。
例题及相关延伸思考旨在让考生掌握应用动量定理的方法技巧和注意事项。
（1）对不涉及加速度和位移的力与运动的关系问题，应用动量定理不需要考虑运动过程的细节，解题较为方便。
（2）在应用动量定理解题时，需要表达物体（沿某方向）受到的合冲量，所以一定要对物体认真进行受力分析，不可有力的遗漏。
（3）当合力远大于重力时，可忽略重力的冲量。
（4）对于变力的冲量，往往通过动量定理来计算。
（5）建立方程时要事先选定正方向，确定力与速度的正、负号。
[题点全练]
1．[应用动量定理解释生活现象]
玻璃杯从同一高度落下，掉在石头上比掉在草地上容易碎，这是由于在玻璃杯与石头的撞击过程中（ ）
A．玻璃杯的动量较大 B．玻璃杯受到的冲量较大
C．玻璃杯的动量变化较大D．玻璃杯的动量变化较快
解析：
选D 从同一高度落到地面上时，速度相同，动量相同，与草地或石头接触后，末动量均变为零，因此动量变化量相同。
因为玻璃杯与石头的作用时间短，由动量定理Ft＝mΔv知，此时玻璃杯受到的力F较大，即玻璃杯的动量变化较快，容易碎，D正确。
2．[应用动量定理求变力的冲量]
如图所示，一轻质弹簧固定在墙上，一个质量为m的木块以速度v0从右侧沿光滑水平面向左运动并与弹簧发生相互作用。
设相互作用的过程中弹簧始终在弹性限度范围内，那么，在整个相互作用的过程中弹簧对木块冲量I的大小和弹簧对木块做的功W分别是（ ）
A．I＝0，W＝mv02 B．I＝mv0，W＝mv02
C．I＝2mv0，W＝0D．I＝2mv0，W＝mv02
解析：
选C 由能量守恒可知，木块向右离开弹簧瞬间的速度也为v0，取向右为正方向，由动量定理可得：
I＝mv0－（－mv0）＝2mv0，由动能定理可得：
W＝mv02－mv02＝0，故选项C正确。
3．[应用动量定理计算平均力]
在水平地面的右端B处有一面墙，一小物块放在水平地面上的A点，质量m＝0.5kg，AB间距离s＝5m，如图所示。
小物块以初速度v0＝8m/s从A向B运动，刚要与墙壁碰撞时的速度v1＝7m/s，碰撞后以速度v2＝6m/s反向弹回。
重力加速度g取10m/s2。
求：
（1）小物块从A向B运动过程中的加速度a的大小；
（2）小物块与地面间的动摩擦因数μ；
（3）若碰撞时间t＝0.05s，碰撞过程中墙面对小物块平均作用力F的大小。
解析：
（1）从A到B过程是匀减速直线运动，根据速度位移公式，有：
a＝＝m/s2＝－1.5m/s2。
所以加速度的大小为1.5m/s2。
（2）从A到B过程，由动能定理，有：
－μmgs＝mv12－mv02
代入数据解得：
μ＝0.15。
（3）对碰撞过程，规定向左为正方向，由动量定理，有：
FΔt＝mv2－m（－v1）
可得：
F＝130N。
答案：
（1）1.5m/s2
（2）0.15 （3）130N
“融会贯通”归纳好——巧用微元法结合动量定理解决流体及微粒两类“柱状模型”问题
（一）流体类“柱状模型”问题
流体及其特点
通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ
分析步骤
1
建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S
2
微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt
3
建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
[例1] （2016·全国卷Ⅰ）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。
为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。
忽略空气阻力。
已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。
求
（1）喷泉单位时间内喷出的水的质量；
（2）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
[解析]
（1）设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则
Δm＝ρΔV①
ΔV＝v0SΔt②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
＝ρv0S。
③
（2）设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。
对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得
（Δm）v2＋（Δm）gh＝（Δm）v02④
在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为
Δp＝（Δm）v⑤
设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有
FΔt＝Δp⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得
F＝Mg⑦
联立③④⑤⑥⑦式得
h＝－。
⑧
[答案]
（1）ρv0S
（2）－
（二）微粒类“柱状模型”问题
微粒及
其特点
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n
分析步骤
1
建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S
2
微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt
3
先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算
[例2] 宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度不变的问题。
假设一宇宙飞船以v＝2.0×103m/s的速度进入密度ρ＝2.0×10－6kg/m3的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上的最大截面积S＝5m2，且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞船上，则飞船要保持速度v不变，所需推力多大？
[解析] 设飞船在微粒尘区飞行Δt时间，则在这段时间内附着在飞船上的微粒质量Δm＝ρSvΔt，
微粒由静止到与飞船一起运动，微粒的动量增加，
由动量定理Ft＝Δp得FΔt＝Δmv＝ρSvΔtv，
所以飞船所需推力F＝ρSv2＝2.0×10－6×5×（2.0×103）2N＝40N。
[答案] 40N
对于流体及微粒的动量连续发生变化这类问题，关键是应用微元法正确选取研究对象，即选取很短时间Δt内动量发生变化的那部分物质作为研究对象，建立“柱状模型”：
研究对象分布在以S为截面积、长为vΔt的柱体内，质量为Δm＝ρSvΔt，分析它在Δt时间内动量的变化情况，再根据动量定理求出有关的物理量。
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