又因为b＝3，所以c＝2.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
得a2＝9＋8－2×3×2×＝29，
所以a＝.
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.（2018·沈阳质检）已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于（ ）
A.2B.1C.D.
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴＝，∴b＝.
答案 D
2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B等于（ ）
A.B.C.或D.
解析 ∵A＝，a＝2，b＝，
由＝得，sinB＝sinA＝×＝.
∵A＝，∴B＝.
答案 D
3.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为（ ）
A.B.C.2D.2
解析 因为S＝×AB×ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，BC＝.
答案 B
4.（2017·石家庄检测）在△ABC中，cos2＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析 因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cosB＝，
所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案 B
5.（2018·安徽江南十校联考）设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为（ ）
A.B.C.D.
解析 ∵A∶B∶C＝3∶4∶5，∴A＝，B＝，C＝，
由正弦定理，得＝＝＝2R，
∴a＝2RsinA＝R，b＝2RsinB＝R，则sinC＝
sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
∴S1＝absinC＝×××R2＝R2，
S2＝πR2，∴＝.
答案 D
二、填空题
6.（2017·烟台模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.
解析 因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sinA＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.
答案
7.（2018·合肥质检改编）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为________.
解析 bcosA＋acosB＝2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2Rsin（A＋B）＝2RsinC＝c＝2，由cosC＝得sinC＝，由正弦定理可得2R＝＝6，
所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π.
答案 9π
8.（2016·北京卷）在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.
解析 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cosA，
将A＝，a＝c代入，可得（c）2＝b2＋c2－2bc·，整理得2c2＝b2＋bc.
∵c≠0，∴等式两边除以c2，得2＝＋，解得＝1.
答案 1
三、解答题
9.（2018·安徽江南十校联考）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，函数f（x）＝3＋2sinxcosx＋2cos2x，且f（A）＝5.
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值.
解
（1）由题意可得：
f（A）＝3＋2sinAcosA＋2cos2A＝5，
∴2sinAcosA＝2（1－cos2A），
∴sinA（cosA－sinA）＝0，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴sinA＝cosA，即tanA＝，A＝.
（2）由余弦定理可得：
4＝b2＋c2－2bccos，
4＝b2＋c2－bc≥bc（当且仅当b＝c＝2时“＝”成立），
∴S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，
故△ABC面积的最大值是.
10.（2018·云南11校跨区调研）如图，在四边形ABCD中，
∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
（1）求sin∠ABD的值；
（2）若∠BCD＝，求CD的长.
解
（1）∵AD∶AB＝2∶3，∴可设AD＝2k，AB＝3k.
又BD＝，∠DAB＝，∴由余弦定理，
得（）2＝（3k）2＋（2k）2－2×3k×2kcos，
解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
（2）∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
∴sin∠DBC＝，∴＝，
∴CD＝＝.
能力提升题组
（建议用时：
20分钟）
11.（2017·长沙模拟）在△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为（ ）
A.6sin＋3B.6sin＋3
C.2sin＋3D.2sin＋3
解析 设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2RsinA＝2sinA，AC＝2RsinB＝2sin.
于是△ABC的周长为2＋3＝2sin＋3.
答案 C
12.（2018·广东省际名校联考）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，c＝，当ab取得最大值时，S△ABC＝________.
解析 因为（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，a2＋b2－c2＝－ab，
所以cosC＝－，所以sinC＝，
由余弦定理得（）2＝a2＋b2＋ab≥3ab，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立.
所以S△ABC＝.
答案
13.（2018·西安质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.
（1）求证：
2（a＋c）＝3b；
（2）若cosB＝，S＝，求b.
（1）证明 由已知得，a（1＋cosC）＋c（1＋cosA）＝b.
在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，
则acosC＋ccosA＝b.
∴a＋c＝b，即2（a＋c）＝3b.
（2）解 ∵cosB＝，∴sinB＝.
∵S＝acsinB＝ac＝，∴ac＝8.
又b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－2ac（1＋cosB），
2（a＋c）＝3b，
∴b2＝－16×，∴b＝4.
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