正余弦定理复习讲义(精典).doc

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正余弦定理复习讲义（精典）

1．正弦定理：

________＝________＝________＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：

（1）a∶b∶c＝________________；

（2）a＝__________，b＝__________，c＝__________；（3）sinA＝________，sinB＝__________，sinC＝________等形式，以解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：

a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________.余弦定理可以变形为：

cosA＝________________，cosB＝____________，cosC＝__________.

3．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝（a＋b＋c）·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R、r.

4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：

（1）已知两角及任一边，求其它边或角；

（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况

（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．

余弦定理可解决两类问题：

（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；

（2）已知三边问题．

[难点正本　疑点清源]

解三角形时，三角形解的个数的判断

在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA

a≥b

a>b

解的个数

一解

两解

一解

一解

1．（课本精选题）在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________.

2．（2010·北京）在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.

3．（课本改编题）在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.

4．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．

5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为 （　　）

A．2　　　 B．8　　　 C.　　　 D.

题型一　利用正弦定理求解三角形

例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.

探究提高　

（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

（典例新编）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________．

题型二　利用余弦定理求解三角形

例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.

（1）求角B的大小；

（2）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

探究提高　

（1）根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．

（2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.

（1）求△ABC的面积；

（2）若b＋c＝6，求a的值．

题型三　正、余弦定理的综合应用

例3　（2011·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝

psinB（p∈R），且ac＝b2.

（1）当p＝，b＝1时，求a，c的值；

（2）若角B为锐角，求p的取值范围．

探究提高　在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：

将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.

（1）若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；

（2）若sinC＋sin（B－A）＝sin2A，试判断△ABC的形状．

思考：

在△ABC中，若（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）·sin（A＋B），试判断△ABC的形状．

A组　专项基础训练题组

一、选择题

1．（2011·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则

sinAcosA＋cos2B等于 （　　）

　A．－ B. C．－1 D．1

2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是

（　　）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

3．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则的值为 （　　）

A. B. C. D.

二、填空题

4．（2011·北京）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a＝________.

5．（2011·福建）若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．

6．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________.

三、解答题

7．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b＝2a·sinB.

（1）求A；

（2）若a＝7，△ABC的面积为10，求b2＋c2的值．

8．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.

B组　专项能力提升题组

一、选择题

1．（2011·辽宁）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则等于 （　　）

A．2 B．2 C. D.

2.（2011·天津）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,

2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为 （　　）

A. B. C. D.

3．（2010·湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则 （　　）

A．a>b B．a

C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定

二、填空题

4．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________

5．（2010·江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cosC，则＋的值是______．

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝（b2＋c2－a2），则A＝________.

三、解答题

7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.

（1）求A的大小；

（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

8．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos2A＝.

（1）求∠A的度数；

（2）若a＝，b＋c＝3，求b、c的值．