最新数学八年级下册第17章《勾股定理的逆定理 》省优质课一等奖教案文档格式.docx

最新数学八年级下册第17章《勾股定理的逆定理 》省优质课一等奖教案文档格式.docx

《最新数学八年级下册第17章《勾股定理的逆定理 》省优质课一等奖教案文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新数学八年级下册第17章《勾股定理的逆定理 》省优质课一等奖教案文档格式.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

（1）总结直角三角形有哪些性质．

（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？

学生分组讨论，交流总结；

教师引导学生回忆．

（1）直角三角形的性质：

①有一个角是直角；

②两个锐角互余；

③两直角边的平方和等于斜边的平方；

④在含30°

角的直角三角形中，30°

的角所对的直角边是斜边的一半．

（2）①有一个内角是90°

，那么这个三角形就为直角三角形．

②如果一个三角形，有两个角的和是90°

，那么这个三角形也是直角三角形．

前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b和斜边c具有一定的数量关系，即

，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判断它是否为直角三角形呢？

我们来看一下古埃及人是如何做的？

设计意图：

通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现问题、反思问题的能力．

（二）探究新知（也可播放视频《勾股定理的逆定理》知识点）

1．据说，古埃及人用下图的方法画直角：

把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，它们满足关系“

”，那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“

”，画出的三角形是直角三角形吗？

换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm，再试一试．

让学生在小组内合作交流，完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发．

我们不难发现上图中，第

（1）个结到第（4）个结是3个单位长度，即AC＝3；

同理BC＝4，AB＝5．因为

，所以我们围成的三角形是直角三角形．

如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且

．

再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有

是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？

由上面的几个例子，我们猜想：

命题2如果三角形的三边长a，b，c满足

，那么这个三角形是直角三角形．

由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足

，那么这个三角形就为直角三角形”的结论，培养学生的动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．

2．命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

这两个命题的题设和结论各有何关系？

我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．

我们前面遇到过互逆命题吗？

我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题；

“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题；

“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题．

认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题．

3．对于命题2和命题1，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？

如何证明呢？

让学生试着寻找解题思路；

教师可引导学生发现证明的思路．

△ABC的三边长a，b，c满足

．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？

我们画一个Rt△A'

B'

C'

，使B'

＝a，A'

＝b，∠C'

＝90°

（如下图），把画好的△A'

剪下，放在△ABC上，它们重合吗？

我们所画的Rt△A'

，

，又因为

，所以

，即A'

＝c．

△ABC和△A'

三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'

，即△ABC为直角三角形．

这样我们就证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据．勾股定理和勾股定理的逆定理互为逆定理．

一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．

由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，大家才能放心的用．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力．

（三）例题解析

【例1】判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．

（1）a＝15，b＝8，c＝17；

（2）a＝13，b＝14，c＝15．

先由学生独立完成，然后小组交流．教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．

分析：

根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．

解：

（1）因为

所以

，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．

（2）因为

，根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．

我们把像15、8、17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．

进一步让学生体会用勾股定理的逆定理实现数和形的统一．如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．

【例2】如下图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

学生根据题意观察图形，然后小组内交流讨沦，教师巡视，对有困难的学生进行提示，帮助他们寻找解题的途径．

从图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．

根据题意，

PQ＝16×

1.5＝24，

PR＝12×

1.5＝18，

QR＝30．

因为

，即

，所以∠QPR＝90°

由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°

，因此∠2＝45°

，即“海天”号沿西北方向航行．

让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，进一步体会数学的实用价值．

（四）课堂练习

1．如果三条线段长a，b，c满足

．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？

为什么？

2．说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？

（1）两条直线平行，内错角相等；

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

（3）全等三角形的对应角相等；

（4）在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性，提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．

由学生独立完成后，师生共同订正得出答案：

1．是．由

，可得

，根据勾股定理的逆定理可判定这三条线段组成的三角形是直角三角形．

2．

（1）逆命题：

如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立；

（2）逆命题：

如果两实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立；

（3）逆命题：

如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立；

（4）逆命题：

角平分线上的点到角的两边的距离相等，此逆命题成立．

（五）课堂小结（也可播放视频：

《勾股定理的逆定理》课堂总结）

1．勾股定理的逆定理．

2．原命题、逆命题之间的关系．

3．如何证明勾股定理的逆定理．

4．利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形．

通过小结，使学生梳理本节所学内容，掌握勾股定理的逆定理，明确定理的基本应用．

（六）布置作业

1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°

，AB＝BC＝4，CD＝6，DA＝2．求∠DAB的度数．

考查综合利用勾股定理及其逆定理解决问题．

2．已知：

在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．

求证：

AB＝AC．

作业答案：

1．135°

解析：

连接AC．

∵∠B＝90°

，AB＝BC＝4，

∴

，∠BAC＝∠BCA＝45°

∵

∴△ACD是直角三角形．

∵∠DAC是CD所对的角，∴∠DAC＝90°

∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°

＋45°

＝135°

2．证明：

根据题意，画出图形，AB＝13cm，BC＝10cm．

∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝5cm．

在△ABD中，AD＝12cm，BD＝5cm，AB＝13cm，

，则∠ADB＝90°

，∠ADC＝180°

―∠ADB＝180°

―90°

在Rt△ADC中，

∴AC＝AB＝13cm．

五、目标检测设计

1．以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（）．

A．4cm，8cm，7cmB．2cm，2cm，2cm

C．2cm，2cm，4cmD．13cm，12cm，5cm

考查应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形．

2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？

（1）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

（2）全等三角形的对应边相等．

考查互逆命题的概念及其成立情况．

3．如图，已知四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，且AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

目标检测答案：

1．D．

如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．不成立．

对应边相等的两个三角形是全等三角形．成立．

3．36．解析：

∵AB⊥BC，∴∠B＝90°

．由勾股数知：

AC＝5．

∴△ACD为直角三角形．

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝

×

3×

4＋

5×

12＝36．