高中数学选修22 第一章 导数及其应用A卷.docx

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高中数学选修22第一章导数及其应用A卷

高中数学选修2-2第一章导数及其应用（A卷）试卷

一、选择题（共26题；共100分）

1.在函数的图象上取两点和，则为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【考点】导数的概念和几何意义

【解析】，

2.曲线在点处的切线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】B

【考点】导数的概念和几何意义

【解析】解析：

求出导数，所以斜率所以切线的倾斜角为45°故选B.

3.若函数，则的值为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【考点】导数的概念和几何意义

【解析】，.从而.

4.下列求导数运算正确的是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【考点】导数计算

【解析】A应为；C应为；D应为，故选B.

5.曲线在点处的切线方程为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【考点】利用导数求切线方程

【解析】所以该切线方程为y－2＝3（x－1），即

6.下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【考点】利用导数求切线方程

【解析】设切点的横坐标为x1，x2，

则存在无数对互相垂直的切线，

即f′（x1）·f′（x2）＝－1有无数对x1，x2使之成立．

对于A，由f′（x）＝ex>0，∴不存在f′（x1）·f′（x2）＝－1成立；

对于B，由于f′（x）＝3x2>0，

∴也不存在f′（x1）·f′（x2）＝－1成立；

对于C，由于f（x）＝lnx的定义域为（0，＋∞），

∴；

对于D，f′（x）＝cosx，

∴f′（x1）·f′（x2）＝cosx1·cosx2，

当x1＝2kπ，x2＝（2k＋1）π，k∈Z，f′（x1）·f′（x2）＝－1恒成立．

7.曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为（）

A.

B.π2

C.2π2

D.

【答案】A

【考点】导数计算

【解析】∵，

∴，

∴曲线在点处的切线方程为y＝－x，

∴所围成的三角形的面积为.

8.若是三次函数，且，则的解析式为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【考点】导数计算

【解析】设则由，可知，由可知，由，可建立方程解得，所以.

9.函数f（x）＝xsinx的导函数f′（x）在区间[－π，π]上的图象大致为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【考点】导数的综合运用

【解析】函数的导数f′（x）＝sinx＋xcosx，

则f′（－x）＝－sinx－xcosx＝－（sinx＋xcosx）＝－f′（x），

则f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，D.

10.设f（x）＝x2－2x－4lnx，则f（x）的单调递增区间为（　　）

A.（0，＋∞）

B.（－1,0）∪（2，＋∞）

C.（2，＋∞）

D.（－1,0）

【答案】C

【考点】利用导数研究函数的单调性

【解析】f（x）的定义域为（0，＋∞），由f′（x）>0，可得x>2.所以f（x）的单调递增区间为（2，＋∞）．

11.函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【考点】利用导数研究函数的单调性

【解析】，由在区间上是减函数，在上恒成立，在上恒成立.又故选：

B．

12.函数既有极小值又有极大值，则a的取值范围为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【考点】利用导数研究函数的极值与最值

【解析】∵，∴，由于函数既有极大值又有极小值，所以有两个不等的实根，，或故选：

B.

13.设函数在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数的图象可能是（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【考点】利用导数研究函数的单调性

【解析】f（x）在（－∞，0）上为增函数，在（0，＋∞）上变化规律是减→增→减，因此f′（x）的图象在（－∞，0）上，f′（x）＞0，在（0，＋∞）上f′（x）的符号变化规律是负→正→负，故选项A正确．

14.若是函数的极大值点，则m的值为（）

A.3

B.6

C.2或6

D.2

【答案】B

【考点】利用导数研究函数的极值与最值,导数的综合运用

【解析】=，则，

是函数的极大值点，

，，解得m=2或6，

当m=2时，，，由

解得或，由，解得，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，

∴是的极大值，是的极小值；

当m=6时，，，由

解得或，由解得，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，

∴是的极大值，是的极小值；

所以m=6，

故答案选B．

15.已知常数a、b、c都是实数，的导函数为，≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若的极小值等于－115，则a的值是（）

A.－

B.

C.2

D.5

【答案】C

【考点】利用导数研究函数的极值与最值

【解析】∵，

∴f′（x）＝3ax2＋2bx＋c.

由不等式3ax2＋2bx＋c≤0的解集为{x|－2≤x≤3}．

∴

即

∴.

根据已知得，当x＝3时，取得极小值．

∴，

解得a＝2.

16.函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【考点】导数的综合运用

【解析】∵f（x）＝2x＋x3－2，0

∴f′（x）＝2xln2＋3x2>0在（0，1）上恒成立，

∴f（x）在（0，1）上单调递增．

又∵f（0）＝20＋0－2＝－1<0，f

（1）＝2＋1－2＝1>0，∴f（0）f

（1）<0，则f（x）在（0，1）内至少有一个零点，

又函数y＝f（x）在（0，1）上单调递增，则函数f（x）在（0，1）内有且仅有一个零点．

17.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，求公共切线的方程（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【考点】利用导数求切线方程,导数的综合运用

【解析】

∵曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，

得可得公共切线的方程为即

18.已知，若在区间（0，1）上有且只有一个极值点，则的取值范围是（）

A.＜0

B.＞0

C.≤0

D.≥0

【答案】B

【考点】利用导数研究函数的极值与最值

【解析】，若在（0，1）上有且只有一个极值点，则在（0，1）上有且只有一个根，显然，问题转化为在（0，1）上有且只有一个零点，故，即，解得：

，故选：

B.

19.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【考点】导数的综合运用

【解析】设底面边长为，高为h，则，∴.∴，

∴令解得，判断知当时，取得最小值．∴.故选A.

20.在下面所给图形阴影部分的面积S及相应的表达式中，正确的有（）

A.①③

B.②③

C.①④

D.③④

【答案】D

【考点】微积分概念及基本定理

【解析】①应是②应是③和④正确.

21.设函数则的值为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【考点】微积分概念及基本定理

【解析】.

22.函数在[－1，5]上（）

A.有最大值0，无最小值

B.有最大值0，最小值

C.有最小值，无最大值

D.既无最大值也无最小值

【答案】B

【考点】导数计算,利用导数研究函数的极值与最值

【解析】，令，解得x>4或x<0，∴函数f（x）在[0，4]上是减函数，在[4，5]和[－1，0]上是增函数，又f（0）＝0，f（5）＝，f（－1）＝，f（4）＝，由此得函数在[－1，5]上的最大值为0，最小值为.

23.点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线x－y＋2＝0的最短距离为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【考点】利用导数求切线方程

【解析】点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，

当过点P的切线和直线y＝x＋2平行时，

点P到直线y＝x＋2的距离最小．

直线y＝x＋2的斜率等于1，

令yy＝x2－lnx的导数y′＝2x－＝1，

解得x＝1或x＝－（舍去），

故曲线y＝x2－lnx到直线y＝x＋2的距离等于，

故点P到直线y＝x＋2的最小距离为.

24.已知定义在实数集R上的函数满足，且的导数在R上恒有<1，则不等式<＋1的解集为（）

A.（1，＋∞）B.（－∞，－1）C.（－1,1）

D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

【答案】A

【考点】导数的综合运用

【解析】构造函数g（x）＝f（x）－（x＋1），则g

（1）＝f

（1）－（1＋1）＝0.又f′（x）<1.∴g′（x）＝f′（x）－1<0，所以g（x）是R上的减函数．∴f（x）

（1），∴x>1.故不等式f（x）

25.已知函数f（x）＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f（x）≥0成立，则a的取值范围为（）

A.[2，＋∞）

B.[4，＋∞）

C.{4}

D.[2，4]

【答案】C

【考点】利用导数研究函数的极值与最值

【解析】①当x＝0时，f（x）＝1≥0对于a∈R恒成立．

②当0

∴，

令，，令g′（x）＝0，解得.

当时，g′（x）>0；当时，g′（x）<0.

∴g（x）在时取得最大值，，∴a≥4.

③当－1≤x<0时，若总有f（x）≥0，则ax3－3x＋1≥0，∴a≤.

令h（x）＝，则h′（x）＝≥0，

∴h（x）在[－1，0）上单调递增，

∴当x＝－1时，h（x）取得最小值，h（－1）＝4，∴a≤4.

由①②③可知，若函数f（x）＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足

解得a＝4.

∴a的取值范围为{4}．

26.已知函数，射线l：

若射线l恒在函数图象的下方，则整数k的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【考点】利用导数研究函数的极值与最值

【解析】由题意，问题等价于对任意恒成立．令，令，由于，故在上是增函数.所以存在，使得．则时，时，，即时，；时，,所以函数在区间内单调递减，在区间

内单调递增.从而