高中数学《第一章-集合》教案Word格式.doc

高中数学《第一章-集合》教案Word格式.doc

《高中数学《第一章-集合》教案Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学《第一章-集合》教案Word格式.doc（24页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

②互异性：

集合中的元素一定是互不相同的，或者说同一个元素在集合中只能出现一次

③无序性：

集合中元素排列次序不分先后。

【例3】考查下列每组对象能否构成一个集合：

（1）著名数学家；

（2）优达辅导学校所有高个子同学；

（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；

（4）所有的近似值；

（5）不超过10的非负数。

【例4】由实数所组成的集合，最多含有元素的个数为（）

A.2 B.3 C.4 D.5

【例5】已知集合M={-2，，若2M，求x。

【例6】设集合A={1，，}，B={，，}，且A=B，求实数。

【例7】已知集合S={a，b，c}中三个元素分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

【例8】.设方程ax2＋2x＋1＝0（a∈R）的根构成集合A，若A中只有一个元素，则a的值为________．

答案　0或1

解析　当a＝0时，x＝－，当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，故a为0或1.

5.集合的分类：

①有限集；

②无限集。

6.集合的表示方法（重点）：

（1）自然语言法：

用文字叙述的形式描述集合的方法。

使用此方法时注意叙述清楚。

Zxxk.Com]

如：

大于1且小于10的偶数构成的集合

注意：

用自然语言描述集合不要出现花括号{}。

（2）列举法：

将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。

所有正奇数的集合为{1，3，5，7，9，…}

注意元素不能重复且元素之间用分隔号“，”；

注意元素必须满足“确定性”和“互异性”。

（3）描述法：

把集合中元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法，它的一般形式是

{xI|P（x）}，其中“x”是集合中元素的代表形式，它的范围是I；

“P（x）”是集合中元素x的共同特征，

竖线不可省略。

如不等式2x-5>

1的解集可表示为{x|x>

3}或{xR|2x-5>

1}或{x|2x-5>

1}

（4）韦恩（Venn）图法：

为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的整体。

（5）区间法：

（将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。

）

7.常见数集的表示方法：

对于一些常用的数集，我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合：

①非负整数集（或自然数集）记作N；

②正整数集记作N+或者N*；

③整数集记作Z；

④有理数集记作Q；

⑤实数集记作R。

【例9】按要求分别表示下面的集合：

（1）用自然语言描述集合{0，2，4，6，8，…}；

（2）用列举法表示集合{30的正约数}；

（3）用描述法表示集合“正偶数集”；

（4）用描述法表示集合{2，-4，6，-8，…，98，-100}；

（5）用列举法表示集合{（x，y）|x+y=3，xN，yN}。

思考1：

集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合？

________；

集合{（1,2）}与集合{（2,1）}是否表示同一集合？

______.（填“是”或“不是”）

答案　是，不是

思考2：

下面三个集合：

①；

②；

③。

（1）它们是不是相同的集合？

（2）它们各自的含义是什么？

补充：

识别集合含义的方法

（1）看代表元素；

（2）看条件

三．课堂练习

夯实基础

1．考查下列对象能否构成集合：

（1）高一数学必修1上的所有难题；

（2）参加北京奥运会的所有年轻运动员；

（3）不超过20的非负数；

（4）方程x2－9＝0在实数范围内的解；

（5）直角坐标平面内第一象限的一些点；

（6）的近似值的全体．

答案：

（1）

（2）（5）（6）不能组成集合，（3）（4）能组成集合．

2．用适当的符号填空：

（1）0__________N，__________N，__________N；

（2）－__________Q，π__________Q，e__________∁RQ（e是个无理数）；

（3）＋＝__________{x|x＝a＋b，a∈Q，b∈Q}．

（1）∈　　∈　　

（2）∈　　∈　　（3）∈

3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．

解：

∵2∈A，

∴m＝2或m2－3m＋2＝2.

若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．

若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.

m＝0不合题意，舍去．

∴m只能取3.

4．用适当方法表示下列集合：

（1）函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象上所有点的集合；

（2）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；

（3）不等式x－3＞2的解集；

（4）自然数中不大于10的质数集．

（1）描述法：

{（x，y）|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．[来源

（2）描述法：

＝.

列举法：

{（1,4）}．

（3）描述法：

{x|x＞5}

（4）列举法：

{2,3,5,7}．

拓展研究

设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－，0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P，Q.

活动探究：

首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；

然后，再引导

学生讨论：

本题中集合P，Q对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；

最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．

解：

∵P＝Q且0∈Q，∴0∈P.

若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，从而Q＝{x2＋y2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y

≠0且x－y≠0；

若xy＝0，则x＝0或y＝0.

当y＝0时，P＝{x，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，

∴y≠0；

当x＝0时，P＝{－y，y,0}，Q＝{y2，－y2,0}，

由P＝Q得　①　　　或②

由①得y＝－1，由②得y＝1，

∴或

此时P＝Q＝{1，－1,0}．

点评：

本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．

已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围．

活动探究：

讨论关于x的方程ax2－3x＋2＝0实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意，方程有

一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．

（1）a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝，符合题意．

（2）a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程．

由Δ＝9－8a≤0，得a≥.

∴当a≥时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．

综合

（1）

（2），知a＝0或a≥.

点评：

“a＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a≠0”的条件下，方程ax2－3x＋2＝0才是一元二

次方程，才能用判别式Δ解决问题．

思考3：

设S＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．

（1）若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？

（2）对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·

x2是否属于S?

针对问题

（1）——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；

然后，再

引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋n的形式；

如果能，m和n分别是多少，如果不

能，请说明理由；

最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素

的特征即可．

针对问题

（2）——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋

x2，x1·

x2是否是集合S中的元素．[来源:

Z§

xx§

k.Com]

（1）a是集合S中的元素，a＝a＋×

0∈S.

（2）不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m，n，p，q∈Z.

则x1＋x2＝（m＋n）＋（p＋q）＝（m＋p）＋（n＋q），m，n，p，q∈Z.

∴x1＋x2∈S；

x1·

x2＝（m＋n）·

（p＋q）＝（mp＋2nq）＋（mq＋np），m，n，p，q∈Z.

∴x1·

x2∈S.综上，x1＋x2，x1·

x2都属于S.

点评：

本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．

第二课时集合间的基本关系

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．

2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．

1.子集：

（重难点）对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作：

AB（或BA）。

这时我们也说集合A是集合B的子集。

①当A不是B的子集是记作AB（或BA）；

②任何一个集合是它本身的子集，即AA；

④空集是任何集合的子集，即A；

⑤子集具有“传递性”，即：

如果AB，BC，那么AC。

【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？

图6

思路分析：

结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．

梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；

梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；

正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．

【例2】已知集合A＝－1，3，2－1，B＝3，。

若，求实数的值。

【例3】已知集合，集合，若QP，求的值。

【例4】已知集合，，且，求取值范围。

2.集合相等：

如果集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

根据集合相等的定义可知：

要证明A=B，只要证明AB且BA成立即可。

【例5】下列各组中的两个集合相等的有（）

③

A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②[来源:

学科网]

3.真子集：

如果AB，且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作AB

注意：

空集是任何非空集合的真子集。

【例6】已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求实数a的取值范围．

分析：

集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论．

由题意得M＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠.当N＝时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；

当N≠时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝，又∵NM，∴∈M.∴＞2.∴0＜a＜.综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜，即实数a的取值范围是.

【例7】设集合A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|（a－2）x＝2}，则满足BA的a的值共有（　　）

A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个

解析：

由已知得A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是关于x的方程（a－2）x＝2的解集，∵BA，∴B＝或B≠.当B＝时，关于x的方程（a－2）x＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠时，关于x的方程（a－2）x＝2的解x＝∈A，∴＝－2或＝－1或＝1或＝2.解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个．

D

4.有限集合的子集个数问题：

①个元素的集合有个子集；

②个元素的集合有个真子集；

③个元素的集合有个非空子集。

④n个元素的集合有个非空真子集

【例7】已知集合M满足{1，2}M{1，2，3，4，5}，满足条件的集合M有多少个？

写出所有的满足条件的集合M。

【例8】设集合M={}，集合N={}，则M与N的关系是（）

A.M=N B.MN C.MN D.MN

【例9】已知A={}，B={}，且AB，求实数k的取值范围。

1．判断正误：

（1）空集没有子集．（　　）

（2）空集是任何一个集合的真子集．（　　）

（3）任一集合必有两个或两个以上的子集．（　　）

（4）若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.（　　）

关于判断题应确实把握好概念的实质．

该题的4个命题，只有（4）是正确的，其余全错．

对于

（1），

（2）来讲，由规定：

空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．

对于（3）来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．

对于（4）来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.

2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．[来源:

区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集．

因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，

即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．

真子集：

，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．

3．

（1）下列命题正确的是（　　）

A．无限集的真子集是有限集B．任何一个集合必定有两个子集

C．自然数集是整数集的真子集D．{1}是质数集的真子集

（2）以下五个式子中，错误的个数为（　　）

①{1}∈{0,1,2}　②{1，－3}＝{－3,1}　③{0,1,2}⊆{1,0,2}　④∈{0,1,2}　⑤∈{0}

A．5　　　B．2　　　C．3　　　D．4

（3）M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（　　）

A．aMB．aM

C．{a}∈MD．{a}M

（1）该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；

由于只有一个子集，即它本身，排除B；

由于1不是质数，排除D.

（2）该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．

①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是⊆{0,1,2}，⑤应是⊆{0}．

故错误的有①④⑤.

（3）M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.

因3＜a＜4，故a是M的一个元素，

因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}M.

（1）C　

（2）C　（3）D

4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：

（1）A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；

（2）A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．

（1）因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，

故A，B都是由奇数构成的，即A＝B.

（2）因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·

2n，

在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；

而在x＝4n中，2n只能是偶数．

故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.

此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求．

5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值．

因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立．又当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.综上所述，a＝0或a＝－或a＝.

这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足QP.

6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}，要使AP⊆B，求满足条件的集合P.

A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，

B＝{x∈R|（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}＝{－1,1，－4}，

由AP⊆B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为[来源:

{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．

要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A，B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．

7．设A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B应具有何种关系？

因A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，

故x为，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B.

注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．

8．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，

（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；

（3）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

（1）当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足B⊆A.

当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B⊆A成立，需可得2≤m≤3.

综上所得实数m的取值范围为m≤3.

（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，

∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.

（3）∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．

则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；

②若B≠，则要满足条件：

或解之，得m＞4.

综上有m＜2或m＞4.

此问题解决要注意：

不应忽略；

找A中的元素；

分类讨论思想的运用．

思考：

已知A⊆B，且A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？

活动：

学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．

思路1：

写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A；

思路2：

分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．

解法1：

因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有：

，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32（个）．

又满足A⊆C的集合A有：

，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16（个）．

其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个：

，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．

解法2：

题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有23＝8（个）．

有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；

关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．

第三课时集合的基本运算

一．教学目标

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.

2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

3.能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

1.并集：

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。

记作A∪B。

读作：

A并B。

其含义用符号表示为：

用Venn图表示并集如下：

A

B

【例1】设集合A={x},集合B={x},若已知AB={2,3,5},则集合A、B分别为（）

A．{3，5}、{2，3}B．{2，3}、{3，5}C．{2，5}、{3，5}D．{3，5}、{2，5}

2.交集：

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。

记作：

A∩B。

A交B。

。

用Venn图表示交集如下：

A

B

【例2】已知

【例3】若M={}，N={Z}，则MN等于（）

A． B．{} C．{0} D．Z

【例4】集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则