高三摸底考试数学理试题 含答案.docx

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高三摸底考试数学理试题含答案

2019-2020年高三8月摸底考试数学（理）试题含答案

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数，i是虚数单位，则z的虚部是

A.2iB.-2iC.2D.-2

2、若集合

，则集合

A、B、C、D、R

3．已知是定义在R上的奇函数，且时的图像如图所示，则

A.-3B.-2C.-1D.2

4、在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,则等于

5．下列判断错误的是

A.是的充分不必要条件

B.命题的否定是

C.命题“若，则tan=1”的逆否命题是“若则”

D.若为假命题，则均为假命题

6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是

A.B.C.D.

7、已知，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是

A、B、4C、D、2

8．设满足约束条件，则的最大值是

A.3B.4C.5D.6

9、现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有

A、12B、6C、8D、16

10、函数

的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将函数的图像

A、向右平移个单位

B、向右平移个单位

C、向左平移个单位

D、向左平移个单位

11、直线L过抛物线的焦点F且与C相交于A、B两点，且AB的中点M的坐标为，则抛物线C的方程为

A、B、C、D、

12、设函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，，若直线与函数的图像恰有三个不同的交点，则k的取值范围是

A、B、C、D、

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分.

13、设，则的值.

14、的展开式中，的系数等于40，则等于.

15、某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的体积为

16、边长为2的正方形ABCD，其内切圆与边BC切于点E、F为内切圆上任意一点，则取值范围为

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

数列的通项公式为，数列是等差数列，且.

（I）求数列的通项公式；

（II）设，数列的前n项和，求证：

.

解：

（I）设数列的公差为d,又因为

（II）

18、如图，在直三棱柱中，分别是的中点.

（I）证明：

；

（II）求二面角的余弦值

（I）证明：

如图，E是的中点，取为BC的中点G，连接EG、AG、ED，在中，

四边形ADEF为平行四边形，，又所以

（II）解：

如图，以B为原点，BC，BA，,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系则

直三棱柱，

，如图，连接BD，在

，即，BD是CD在平面内的射影，

，所以二面角的余弦值为

19．（本小题满分12分）

交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.

其范围为[0，10],分别有五个级别：

T畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.在晚高峰时段，从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.

（I）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

（II）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望.

解析：

（I）由直方图得：

轻度拥堵的路段个数是个，中度拥堵的路段个数是

（II）X的可能取值为0，1，2，3

，所以X的分布列为

20．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，弦AB长4.

（1）求椭圆的方程；

（2）若.求直线AB的方程.

解析：

（1）由题意知，，又，解得：

，所以椭圆方程为：

.--------6分

（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知

当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x-1）,

则直线CD的方程为.

将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得，

则，所以.

同理，.

所以==

解得，所以直线AB方程为x-y-1=0或x+y-1=0.-------12分

21、已知函数在处的切线斜率为2.

（I）求的最小值；

（II）设是函数图像上的两点，直线AB的斜率为k，函数的导数为，若存在，使，求证：

解析：

由

由

在上是减函数，

从而

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一天计分.做答是用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22．（本小题满分10分）

如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B,C两点，圆心O在的内部，点M是BC中点.

（1）证明：

A,P,O,M四点公园共圆；

（2）求的大小.

解析：

（1）证明：

连接OP,OM.因为AP与圆O相切于点P,所以.

因为M是圆O的弦BC的中点，所以.于是由圆心O在

的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A,P,O,M四点共圆.-------5分

（2）由

（1）得A,P,O,M四点共圆，所以.由

（1）得,

由圆心O在的内部，可知,

所以.-----------10分

23．（本小题满分10分）

已知切线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）.

（1）写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；

（2）设曲线C经过伸缩变换，得到曲线，判断L与切线交点的个数.

解析：

（1）消去参数t得直线L的直角坐标方程为:

由公式得曲线C的直角坐标方程为；--------5分

（2）曲线C经过伸缩变换得到曲线的方程为，由于直线L恒过点，点在椭圆内部，所以直线L与椭圆相交，

故直线与椭圆有两个交点.-------10分

24．（本小题满分10分）

设函数.

（1）当a=2时，解不等式；

（2）若的解集为，，求证：

m+2n4.

解析：

（1）当a=2时，不等式为，

因为方程的解为

所以不等式的解集为；

（2）即，解得，而解集是，

所以，解得a=1,所以

所以.---------10分

25．（本小题满分10分）

在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,且

（I）求的值；

（II）若，求bc的最大值.

解：

（I）在中，因为，所以

（II）由余弦定理知所以，当时，bc的最大值是