高中数学必修4第一二章综合能力检测题人教A版.docx

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高中数学必修4第一二章综合能力检测题人教A版

第一、二章综合能力检测题

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．点C在线段AB上，且＝，若＝λ，则λ等于（　　）

A.　　　　　　　　　B.

C．－D．－

[答案]　C

[解析]　由＝知，||||＝23，且方向相反，∴＝－，∴λ＝－.

2．要想得到函数y＝sin的图象，只须将y＝cosx的图象（　　）

A．向右平移个单位

B．向左平移个单位

C．向右平移个单位

D．向左平移个单位

[答案]　C

[解析]　∵y＝sin＝cos

＝cos＝cos，

∴将y＝cosx的图象向右移个单位可得到

y＝sin的图象．

3．设e1与e2是不共线向量，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a∥b且a≠b，则实数k的值为（　　）

A．1

B．－1

C．0

D．±1

[答案]　B

[解析]　∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb（b≠0），

∴ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），∴（k－λ）e1＝（λk－1）e2，

∵e1与e2不共线，∴，∴λ＝k＝±1，

∵a≠b，∴k≠1.

[点评]　e1与e2不共线，又a∥b，∴可知＝，∴k＝±1，∵a≠b，∴k＝－1.一般地，若e1与e2不共线，a＝me1＋ne2，b＝λe1＋μe2，若a∥b，则有＝.

4．若sinθ＝m，|m|<1，－180°<θ<－90°，则tanθ等于（　　）

A.

B．－

C．±

D．－

[答案]　B

[解析]　∵－180°<θ<－90°，

∴sinθ＝m<0，tanθ>0，

故可知tanθ＝.

5．△ABC中，·<0，·<0，则该三角形为（　　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定

[答案]　C

[解析]　由·<0知，∠ABC为锐角；由·<0知∠ACB为钝角，故选C.

6．设α是第二象限的角，且＝－cos，则所在的象限是（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案]　C

[解析]　∵α为第二象限角，∴为第一或三象限角，∵＝－cos，∴cos≤0，∴选C.

7．已知点A（2，－1），B（4,2），点P在x轴上，当·取最小值时，P点的坐标是（　　）

A．（2,0）

B．（4,0）

C.

D．（3,0）

[答案]　D

[解析]　设P（x,0），则＝（2－x，－1），＝（4－x,2），·＝（2－x）（4－x）－2＝x2－6x＋6＝（x－3）2－3，当x＝3时，取最小值－3，∴P（3,0）．

8．O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC为（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

[答案]　B

[解析]　∵|－|＝|＋－2|，∴||＝|＋|，由向量加法的平行四边形法则知，以AB、AC为邻边的平行四边形两对角线长度相等，∴⊥.

9．如图是函数f（x）＝Asinωx（A>0，ω>0）一个周期的图象，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）的值等于（　　）

A.

B.

C．2＋

D．2

[答案]　A

[解析]　由图知：

T＝8＝，∴ω＝，

又A＝2，∴f（x）＝2sinx，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋（5）＋f（6）＝2sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝2sin＝.

[点评]　观察图象可知f（x）的图象关于点（4,0）中心对称，故f（3）＋f（5）＝0，f

（2）＋f（6）＝0，又f（4）＝0，故原式＝f

（1）＝.

10．已知y＝Asin（ωx＋φ）在同一周期内，x＝时有最大值，x＝时有最小值－，则函数的解析式为（　　）

A．y＝2sin

B．y＝sin

C．y＝2sin

D．y＝sin

[答案]　B

[解析]　由条件x＝时有最大值，x＝时有最小值－可知，A＝，＝－，∴T＝，∴ω＝3，

∴y＝sin（3x＋φ），将代入得，

＝sin，

∴＋φ＝2kπ＋（k∈Z），∴φ＝2kπ＋，

取k＝0知选B.

11．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为（　　）

A．2

B．1

C.

D.

[答案]　B

[解析]　如图，以OA、OB为邻边作▱OADB，则＝＋，结合条件＋＋2＝0知，＝－2，

设OD交AB于M，则＝2，∴＝－，

故O为CM的中点，

∴S△AOC＝S△CAM＝S△ABC＝×4＝1.

12．已知sinα＋cosα＝　（0<α<π），则tanα＝（　　）

A．－

B．－

C.

D．－或－

[答案]　B

[解析]　解法一：

∵sinα＋cosα＝，0<<1,0<α<π，∴<α<π，

∴sinα>0，cosα<0，且|sinα|>|cosα|，

∴tanα<0且|tanα|>1，故选B.

解法二：

两边平方得sinαcosα＝－，

∴＝－，∴60tan2α＋169tanα＋60＝0，

∴（12tanα＋5）（5tanα＋12）＝0，

∴tanα＝－或－，

∵0<α<π，sinα＋cosα＝>0，∴tanα＝－.

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）

13．已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________．

[答案]　8πcm2

[解析]　∵72°＝×72＝，∴l＝×20＝8π，

S＝l·r＝×8π×20＝80π（cm2）．

14．已知a＝（3,4），b＝（2，m）且a与b夹角为锐角，则m的取值范围是________．

[答案]　m>－且m≠

[解析]　a·b＝6＋4m>0，∴m>－，

又当a与b同向时，＝，∴m＝，

故m>－且m≠.

15．集合A＝{x|kπ－}，则A∩B＝________.

[答案]　{x|＋2kπ

[解析]　B＝{x|＋2kπ

如图可求A∩B.

16．已知θ为第三象限角，1－sinθcosθ－3cos2θ＝0，则5sin2θ＋3sinθcosθ＝________.

[答案]　

[解析]　∵1－sinθcosθ－3cos2θ＝0，

∴sin2θ－sinθcosθ－2cos2θ＝0，

∴（sinθ－2cosθ）（sinθ＋cosθ）＝0，

∵θ为第三象限角，∴sinθ＋cosθ<0，

∴sinθ＝2cosθ，∴tanθ＝2，

∴5sin2θ＋3sinθcosθ＝＝.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）已知cos＝－，求

＋的值．

[解析]　∵cos＝－，∴sinθ＝，

原式＝＋

＝＋＝＝8.

18．（本题满分12分）已知A（－1,2），B（2,8）．

（1）若＝，＝－，求的坐标；

（2）设G（0,5），若⊥，∥，求E点坐标．

[解析]　

（1）∵＝（3,6），＝＝（1,2），

＝－＝（－2，－4），

∴C（0,4），D（1,6），∴＝（1,2）．

（2）设E（x，y），则＝（x＋1，y－2），＝（x－2，y－8），∵＝（－2，－3），⊥，∥，

∴，∴.

∴E点坐标为.

19．（本题满分12分）在▱ABCD中，点M在AB上，且AM＝3MB，点N在BD上，且＝λ，C、M、N三点共线，求λ的值．

[证明]　设＝e1，＝e2，则＝e2－e1，

＝λ＝λ（e2－e1），＝＝e1，＝＝e2，

∴＝＋

＝e1＋e2，

＝＋＝e1＋λ（e2－e1）＝λe2＋e1，

∵M、N、C共线，∴与共线，

∵e1与e2不共线，∴＝，∴λ＝.

20．（本题满分12分）是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx－1＋a在闭区间上最大值为1？

若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由．

[解析]　y＝－cos2x＋acosx＋

＝－（cosx－）2＋＋，

∵0≤x≤，∴0≤cosx≤1，

∵最大值为1，

∴（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），

由（Ⅰ）解得a＝，（Ⅱ）（Ⅲ）无解，

∴a＝.

[点评]　此类问题一般把cosx（或sinx）看成未知数整理为二次函数，然后由x的范围，得出cosx（或sinx）的取值范围A后，分为①A在对称轴左侧（或右侧），用单调性讨论；②对称轴在A内，在顶点处取得最值．试一试解答下题：

是否存在实数λ，使函数f（x）＝－2sin2x－4λcosx＋1的最小值是－？

若存在，求出对应的λ值，若不存在，试说明理由．

答案为λ＝或.

21．（本题满分12分）

（1）角α的终边经过点P（sin150°，cos150°），求tanα.

（2）角α的终边在直线y＝－3x上，求sinα、cosα.

[解析]　

（1）∵P，∴tanα＝＝－.

（2）在角α终边上任取一点P（x，y），则y＝－3x，

P点到原点距离r＝＝|x|，

当x>0时，r＝x，∴sinα＝＝＝－，

cosα＝＝＝，

当x<0时，r＝－x，∴sinα＝＝，

cosα＝＝－.

22．（本题满分14分）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的一段图象如图所示．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；

（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

[解析]　

（1）由图知A＝3，T＝4π－＝，

∴T＝5π，∴ω＝，∴f（x）＝3sin，

∵过（4π，－3），∴－3＝3sin，

∴＋φ＝2kπ－，∴φ＝2kπ－，

∵|φ|<，∴φ＝－，∴f（x）＝3sin.

（2）由2kπ＋≤x－≤2kπ＋得，

5kπ＋≤x≤5kπ＋4π　（k∈Z），

∴函数f（x）的单调减区间为　（k∈Z）．

函数f（x）的最大值为3，取到最大值时x的集合为

{x|x＝5kπ＋，k∈Z}．

（3）解法一：

f（x）＝3sin

＝3cos＝3cos

＝3cos，

故至少须左移个单位才能使所对应函数为偶函数．

解法二：

f（x）＝3sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋，∴x＝＋，当k＝0时，x＝，k＝－1时，x＝－π，故至少左移个单位．

解法三：

函数f（x）在原点右边第一个最大值点为－＝，∴x＝，把该点左移到y轴上，需平移个单位．

解法四：

观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把点变为或把点（4π，－3）变为等，可知应左移个单位．