二次函数动点问题解答方法技巧分析.doc
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函数解题思路方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线（a≠0）与轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？
若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
注意：
第
（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
07
08
09
动点个数
两个
一个
两个
问题背景
特殊菱形两边上移动
特殊直角梯形三边上移动
抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函数关系式
探究等腰三角形
考
点
①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线、抛物线解析式
④相似三角形
⑤不等式
①求直线解析式
②四边形面积的表示
③动三角形面积函数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标
②探究平行四边形
③探究动三角形面积是定值
④探究等腰三角形存在性
特
点
①菱形是含60°的特殊菱形；
△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积
②动点按到拐点时间分段分类
③画出矩形必备条件的图形探究其存在性
①直角梯形是特殊的（一底角是45°）
②点动带动线动
③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
共同点：
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；
④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．
（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？
若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．
[解]
（1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．
设抛物线的解析式是
，
则解得
所以所求抛物线的解析式是．
（2）由
（1）可计算得点．
过点作，垂足为．
当运动到时刻时，，．
根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．
所以．
所以，四边形的面积．
因为运动至点与点重合为止，据题意可知．
所以，所求关系式是，的取值范围是．
（3），（）．所以时，有最大值．
提示：
也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形能形成矩形．
由
（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形．
所以．所以．
所以．解之得（舍）．
所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，点的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，于点．若，且．
（1）确定的值：
；
（2）写出点的坐标（其中用含的式子表示）：
；
（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？
若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
[解]
（1）
（2）
（3）存在的值，有以下三种情况
①当时
，则
②当时，得
③当时，如图解法一：
过作，又
则又
解法二：
作斜边中线
则，此时
解法三：
在中有
（舍去）
又当或或时，为等腰三角形．
解法四：
数学往往有两个思考方向：
代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。
代数讨论：
计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去
3.如图1，已知直线与抛物线交于两点．
（1）求两点的坐标；
（2）求线段的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？
如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
P
A
图2
图1
[解]
（1）解：
依题意得解之得
（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）
图1
D
M
A
C
B
第26题
Ｅ
由
（1）可知：
过作轴，为垂足
由，得：
，
同理：
设的解析式为
的垂直平分线的解析式为：
．
（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．
P
A
图2
H
G
B
抛物线与直线只有一个交点，
，
在直线中，
设到的距离为，
到的距离等于到的距离．
另解：
过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h与PC夹角固定），则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值，设P（x,）,C（x,）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。
最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
4.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求正方形的边长．
（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度．
（3）求
（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）若点保持
（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使的点有 个．
（抛物线的顶点坐标是．
图②
图①
[解]
（1）作轴于．
，
．
．
（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．
又．
两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：
作轴于，则．
，即．
．
．
，
．
即．
，且，
当时，有最大值．
此时，
点的坐标为． （8分）
方法二：
当时，．
设所求函数关系式为．
抛物线过点，
．
，且，
当时，有最大值．
此时，
点的坐标为．
（4）．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
．
5.如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求的度数．
（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．
（3）求
（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）如果点保持
（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？
请说明理由．
（第29题图①）
A
C
B
Q
D
O
P
x
y
30
10
O
5
t
S
（第29题图②）
解:
（1）．
（2）点的运动速度为2个单位/秒．
（3）（）
．
当时，有最大值为，
此时．
（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．
①当点与点重合时，，
当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，
作交轴于点，作轴于点，
由得：
，
所以，从而．
第29题图①
所以当点在边上运动时，的点有1个．
②同理当点在边上运动时，可算得．
而构成直角时交轴于，，
所以，从而的点也有1个．
所以当点沿这两边运动时，的点有2个．
6.（本题满分14分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；
（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S.
①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
③设是②中函数S的最大值，那么=.
解：
（1）令，则；
令则．∴．
∵二次函数的图象过点，
∴可设二次函数的关系式为
又∵该函数图象过点．
∴
解之，得，．
∴所求二次函数的关系式为
（2）∵
=
∴顶点M的坐标为
过点M作MF轴于F
∴
=
∴四边形AOCM的面积为10
（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．
设点E的坐标为∴，∴∵，
∴∴
∵>2，不满足．
∴不存在．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为
（秒）
现分情况讨论如下：
ⅰ）当时，；
ⅱ）当时，设点E的坐标为
∴，∴
∴
ⅲ）当2<<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得
设点D的坐标为
∴，
∴
∴
=
③
7.关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方．
（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；
（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．
参考资料：
抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．
解：
（1）据题意得：
，
．
当时，．
当时，．
又抛物线与轴的交点在轴上方，．
抛物线的解析式为：
．
函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）
（2）解：
令，得．
不时，，，
．
4
3
2
1
1
2
3
4
（第26题）
当时，，
．
．
关于的函数关系是：
当时，；
当时，．
（3）解法一：
当时，令，
得．
解得（舍），或．
将代入，
得．
当时，令，得．
解得（舍），或．
将代入，得．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
解法二：
当时，同“解法一”可得．
正方形的周长．
当时，同“解法一”可得．
正方形的周长．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
解法三：
点在轴右侧的抛物线上，
，且点的坐标为．
令，则．
，①或②
由①解得（舍），或；
由②解得（舍），或．
又，
当时；
当时．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
第26题图
解：
（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
第26题图（批卷教师用图）
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴＝ 即＝
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝ ∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m
自变量m的取值范围是0＜m＜8
（4）存在．
理由：
∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
9.（14分）如图：
抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在
（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：
抛物线的对称轴为）
（1）解法一：
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）
因为B（0，4）在抛物线上，所以4=a（0+3）（0-4）解得a=-1/3
所以抛物线解析式为
解法二：
设抛物线的解析式为，
依题意得：
c=4且解得
所以所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD= 7–5=2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。
∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB
即
所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–=，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：
因为抛物线的对称轴为
所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线对称
连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小
过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900
DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO
即
所以QE=，DE=，所以OE=OD+DE=2+=，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为
则由此得
所以直线AQ的解析式为联立
由此得所以M
则：
在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。
10.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
（1）方法一：
由已知得：
C（0，－3），A（－1，0）…1分
将A、B、C三点的坐标代入得……………………2分
解得：
……………………3分
所以这个二次函数的表达式为：
……………………3分
方法二：
由已知得：
C（0，－3），A（－1，0）………………………1分
设该表达式为：
……………………2分
将C点的坐标代入得：
……………………3分
所以这个二次函数的表达式为：
……………………3分
（注：
表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：
存在，F点的坐标为（2，－3）……………………4分
理由：
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：
AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3）……………………5分
方法二：
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）………………………4分
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）
代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3）………………………5分
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得…………6分
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得………7分
∴圆的半径为或．……………7分
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．……………8分
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
……………………9分
当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，．……………………10分
11．（本小题12分）解：
（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8
（3）∵AB＝8，OC＝8
∴S△ABC＝×8×8=32
（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴＝ 即＝∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝ ∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）
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