各省市中考数学压轴题大全含答案.doc

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2010年部分省市中考数学试题分类汇编压轴题

（一）

24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.

C

P

D

O

B

A

E

【分析】

（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；

F

C

P

D

O

B

A

E

H

G

（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；

（3）由题可知＝DE（AB＋AC＋BC），又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH

中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：

DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．

【答案】解：

（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

F

C

P

D

O

B

A

E

H

G

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．

（2）∠ACB是定值.

理由：

由

（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴

＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝（AB＋BC＋AC）•DE＝l•DE．

∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，

∴△ABC的周长为．

【涉及知识点】垂径定理勾股定理内切圆切线长定理三角形面积

【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题

25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

C

D

B

A

E

O

【分析】

（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．

【答案】

（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝

若直线经过点B（3，1）时，则b＝

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

图1

此时E（2b，0）

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

图2

此时E（3，），D（2b－2，1）

∴S＝S矩－（S△OCD＋S△OAE＋S△DBE）

＝3－[（2b－1）×1＋×（5－2b）·（）＋×3（）]＝

∴

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

图3

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，

设菱形DNEM的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：

，∴

∴S四边形DNEM＝NE·DH＝

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

【涉及知识点】轴对称四边形勾股定理

【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．

26、（宁波市）如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。

（1）求的度数;

（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：

△DEG∽△DHE;

y

x

C

D

A

O

B

E

G

F

（图1）

x

C

D

A

O

B

E

G

H

F

y

（图2）

x

C

D

A

O

B

E

y

（图3）

②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。

x

C

D

A

O

B

E

y

（图3）

Ｍ

解：

（1）

（2）（2，）

（3）①略

②过点E作EM⊥直线CD于点M

∵CD∥AB

∴

∴

∵

∴

∵△DHE∽△DEG

∴即

当点H在点G的右侧时，设，

∴

解：

∴点F的坐标为（，0）

当点H在点Ｇ的左侧时，设，

∴

解：

，（舍）

∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ

∴

∵

∴点Ｆ的坐标为（，0）

综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）

26．（重庆市）已知：

如图

（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图

（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？

若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

解：

（1）过点作于点．（如图①）

∵，，

∴．

∵，，∴．

在Rt中，． （1分）

（ⅰ）当时，,,；

过点作于点．（如图①）

在Rt中，∵，∴，

∴．

即． （3分）

（ⅱ）当时，（如图②）

，．

∵，，∴．

∴．

即．

故当时，，当时，． （5分）

（2）或或或． （9分）

（3）的周长不发生变化．

26题答图③

延长至点，使，连结．（如图③）

∵，

∴≌．

∴，．…（10分）

∴．

∴．

又∵．

∴≌．∴． （11分）

∴．

∴的周长不变，其周长为4． （12分）

24．（义乌市卷）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；

图2

O1

A1

O

y

x

B1

C1

D

M

C

B

A

O

y

x

图1

D

M

（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）对称轴：

直线……………………………………………………..…1分

解析式：

或……………………………….2分

顶点坐标：

M（1，）……….…………………………………………..3分

（2）由题意得

3……………………………………..1分

得：

①…………….………………….……2分

得：

②….………………………………………..………..3分

把②代入①并整理得：

（S＞0）（事实上，更确切为S＞6）4分

当时，解得：

（注：

S＞0或S＞6不写不扣

分）把代入抛物线解析式得∴点A1（6，3）………5分

（3）存在………………………………………………………………….…..……1分

解法一：

易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的

C

B

A

O

y

x

图1-1

D

M

E

P

Q

F

G

交点E的坐标为

∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ=t

当∥时，

得………2分

下面分两种情况讨论:

设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G

①当时，如图1-1∵△FQE∽△FAG∴∠FGA＝∠FEQ

∴∠DPQ＝∠DEB易得△DPQ∽△DEB∴

∴得∴（舍去）…………………………3分

C

B

A

O

y

x

图1-2

D

M

E

F

P

Q

G

②当时，如图1-2

∵△FQE∽△FAG∴∠FAG＝∠FQE

∵∠DQP＝∠FQE∠FAG＝∠EBD

∴∠DQP＝∠DBE易得△DPQ∽△DEB

∴

∴，∴

∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分

解法二：

可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得

,

∴

24．（湖州卷）（本小题12分）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过

（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：

当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．

第24题

B

C

A

x

y

F

O

D

E

解：

（1）由题意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0）,

设所求抛物线的解析式为,

则解得.………………..3分

∴抛物线的解析式为.….……………………..1分

（2）设抛物线的顶点为G，则.过点G作GH⊥AB

，垂足为H，则AH=BH=1，GH=.

∵EA⊥AB,GH⊥AB,∴EA∥GH,

∴GH是△EBA的中位线，

∴.………………2分

过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB.

∵∠EBF=∠ABM=90º，∴∠EBA=∠FBM=90º-∠ABF，

∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴.

∵CM=OC-OM=3-2=1，∴CF=FM+CM=.…………….2分

（3）设CF=a，则FM=a-1或1-a，

∴BF2=FM2+BM2=（a-1）2+22=a2-2a+5.

∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF.

则，….1分

又∵，……….1分

∴，即，….1分

∴当a=2（在0

∴.…………….1分

25．（湖州卷）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E

（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？

若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

A

B

C

第25题

D

P

E

解：

（1）假设存在这样的点Q．

∵PE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90º,

∵∠D=90º,∴∠DPC+∠DCP=90º,

∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90º，

∴△APE∽△DCP，∴，.

同理可得.

∴，即,

∴，∴,

∴，

∵，∴.……………2分

∵，∴，即P不能是AD的中点.

∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．

故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，

此时．……………1分

（2）设AP=x，AE=y.由可得，

∴.

∴当（在0

∴BE的取值范围为≤BE＜2.……………2分

24．（嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．

（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；

（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

解：

（1）令，得，即，

解得，，所以．令，得，所以．

设直线AB的解析式为，则，解得，

所以直线AB的解析式为．…5分

（2）当点在直线AB上时，，解得，

当点在直线AB上时，，解得．

所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则．…4分

（3）当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）

，解得．

①当时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，

（第24题）

此时，，

又，

所以，

从而，

．

因为，所以当时，．

②当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，

（第24题备用）

此时，，

又，

所以，

即．

其中当时，．

综合①②得，当时，．…5分

24．（台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：

△DHQ∽△ABC；

（第24题）

H

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

解:

（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，…………………………………………………………………………3分

（图1）

（图2）

∴△DHQ∽△ABC．……………………………………………………………………1分

（2）①如图1，当时，

ED=，QH=，

此时．…………………………………………3分

当时，最大值．

②如图2，当时，

ED=，QH=，

此时．…………………………………………2分

当时，最大值．

∴y与x之间的函数解析式为

y的最大值是．……………………………………………………………………1分

（3）①如图1，当时，

若DE=DH，∵DH=AH=，DE=，

∴=，．

显然ED=EH，HD=HE不可能；……………………………………………………1分

②如图2，当时，

若DE=DH，=，；…………………………………………1分

若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；………………………1分

若ED=EH，则△EDH∽△HDA，

∴，，．……………………………………1分

∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.

（其他解法相应给分）

26．（临沂市本小题满分13分）

如图：

二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

A

C

B

第26题图

解：

（1）根据题意，将，B（2，0）代入中，

得解这个方程，得

∴该抛物线的解析式为………………………………………………（2分）当时，.

∴点的坐标为.

∴在中，

.

在中，

.

.

∵，

∴是直角三角形.……………………………………………………………………（4分）

（2）点的坐标为………………………………………………………………（6分）

（3）存在.……………………………………………………………………………………（7分）

由

（1）知，.

①若以BC为底边，则BC∥AP，如图5所示.

可求得直线BC的解析式为.…………………………………………………（8分）

直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，

所以设直线AP的解析式为.

把点代入直线的解析式，

求得，

∴直线AP的解析式为

.………………………………………………………（9分）

∵点既在抛物线上，又在直线上,

∴点的纵坐标相等，

即

解得（不合题意，舍去）.

当时，.

∴点的坐标为.…………………………………………………………………（10分）

②若以为底边，则BP∥AC，如图6所示.

可求得直线的解析式为

.……………………………………………（11分）

直线可以看作是由直线平移得到的，

所以直线的解析式为.

把点代入直线的解析式，求得

∴直线的解析式为

.………………………………………（12分）

∵点既在抛物线上，又在直线上.

∴点的纵坐标相等,

即.

解得（不合题意，舍去）.

当时，.

∴点的坐标为.

综上所述，满足题目条件的点为或.……………………………（13分）

24．（楚雄州本小题13分）已知：

如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交轴于点B（－4，0）．

（1）求切线BC的解析式；

（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；

（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？

若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）如图1所示，连接AC，则AC=

在Rt△AOC中，AC=，OA=1，则OC=2

∴点C的坐标为（0，2）

设切线BC的解析式为，它过点C（0，2），B（−4，0）