初一七年级下数学相交线与平行线探究题含答案详细解析v1.doc

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初一三线八角探究题V1

一．解答题（共30小题）

1．（2013春•海陵区期末）如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．

（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图

（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？

证明你的结论．

（2）当点P移动到AB的外侧时，如图

（2），是否仍有

（1）的结论？

如果不是　　　　　　，请写出你的猜想（不要求证明）．

（3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？

能否利用

（1）的结论来证明？

还有其他的方法吗？

请写出一种．

2．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB；

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？

说明理由．

3．（2005•陕西）已知：

直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点．

（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM=QN．请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等；

（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”．把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）．请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等；

（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ=m，下底MN=n，且m＜n．现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻．为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？

请说明理由．

4．（2016春•北流市校级期中）

（1）如图甲，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么，为什么？

（2）如图乙，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗？

为什么？

（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大？

为什么？

你能将它们推广到一般情况吗？

请写出你的结论．

5．（2015•凉山州一模）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…

（1）10条直线交于一点，对顶角有　　　　　　对．

（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有　　　　　　对．

6．（2015•长春二模）探究：

如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：

BC⊥AD．

应用：

如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，交∠MAB的平分线AD于点C；作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结BC、BE．若∠MAN=150°，则∠CBE的大小为　　　　　　度．

7．（2015秋•东明县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°．

（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；

（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．

8．（2015秋•麒麟区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．

（1）若∠EON=18°，求∠AOC的度数．

（2）试判断∠MON与∠AOE的数量关系，并说明理由．

9．（2015春•苏州期末）如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．

（1）填空：

∠OBC+∠ODC=　　　　　　；

（2）如图1：

若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：

DE⊥BF：

（3）如图2：

若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．

10．（2015秋•吴江区期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．

（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，

（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，

（3）线段PH的长度是点P到　　　　　　的距离，线段　　　　　　是点C到直线OB的距离．

（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是　　　　　　（用“＜”号连接）

11．（2015秋•内江期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：

（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为　　　　　　；

②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；

（2）由

（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？

若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．

12．（2015秋•江西期末）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD+∠OBF=180°，∠DBC=∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．

13．（2015秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：

∠EOD=2：

3．

（1）求∠BOD的度数；

（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：

OE∥GH．

14．（2015秋•蓝田县期末）如图，已知∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC=∠F，求证：

EC∥DF．

15．（2015春•天河区期末）已知：

如图，AD⊥BC，FG⊥BC．垂足分别为D，G．且∠ADE=∠CFG．

求证：

DE∥AC．

16．（2015春•霸州市期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）

17．（2015春•东莞校级期末）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

18．（2015春•荣昌县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．

（1）求∠DOF的度数；

（2）试说明OD平分∠AOG．

19．（2015春•澧县期末）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：

（1）∠1+∠2=　　　　　　；

（2）∠1+∠2+∠3=　　　　　　；

（3）∠1+∠2+∠3+∠4=　　　　　　；

（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=　　　　　　．

20．（2015春•成都校级月考）如图：

（1）已知AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°，求∠2和∠4的度数；

（2）本题隐含着一个规律，请你根据

（1）的结果进行归纳，试着用文字表述出来；

（3）利用

（2）的结论解答：

如果两个角的两边分别平行，其中一角是另一个角的两倍，求这两个角的大小．

21．（2015春•晋安区期末）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF

（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC：

∠OFC的值是否随之发生变化？

若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？

若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

22．（2015春•微山县校级期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图

（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；

（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

23．（2015春•芦溪县期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合下图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．

（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：

　　　　　　，理由：

　　　　　　；

（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：

　　　　　　，理由：

　　　　　　．

（3）由

（1）

（2）你得出的结论是：

如果　　　　　　，那么　　　　　　．

（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角度数的分别是　　　　　　

24．（2015春•垦利县校级期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图

（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

25．（2015春•繁昌县期末）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？

并说明理由；

（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？

猜想结论并说明理由．

26．（2015春•开江县期末）如图，已知直线m∥n，A、B是直线m上的任意两点，C、D是直线n上的任意两点，连AD、BC，∠ABC与∠ADC的平分线相交于点E，若∠BAD=80°．

（1）求∠EDC的度数；

（2）若∠BCD=30°，试求∠BED的度数．

27．（2015春•下城区期末）如图，已知AB∥DE∥MN，AD平分∠CAB，CD⊥DE．

（1）∠DAB=15°，求∠ACD的度数；

（2）判断等式∠CDA=∠NCD+∠DAB是否成立，并说明理由．

28．（2015秋•黄岛区期末）如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D﹣∠B．

探究一：

将点P移到AB，CD内部，如图②，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？

并证明你的结论；

探究二：

在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠PDQ，∠BQD之间又有何数量关系？

并证明你的结论；

探究三：

在图④中，直接根据探究二的结论，写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

29．（2015春•盐都区期末）

（1）AB∥CD，如图1，点P在AB、CD外面时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．如图2，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？

若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？

请证明你的结论．

（2）如图3，若AB、CD相交于点Q，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系（不需证明）？

（3）根据

（2）的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

（4）若平面内有点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8，连结A1A3、A2A4、A3A5、A4A6、A5A7、A6A8、A7A1、A8A2，如图5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8的度数是多少（直接写出结果）？

若平面内有n个点A1、A2、A3、A4、A5、…，An，且这n个点能围成的多边形为凸多边形，连结A1A3、A2A4、A3A5、A4A6、A5A7，…，An﹣1A1、AnA2，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+…+∠An﹣1+∠An的度数是多少（直接写出结果，用含n的代数式表示）？

30．（2015春•高新区期末）已知：

直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．

（1）如图1，∠BME，∠E，∠END的数量关系为　　　　　　；（直接写出答案）

（2）如图2，∠BME=m°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．（用含m的式子表示）

（3）如图3点G为CD上一点，∠BMN=n•∠EMN，∠GEK=n•∠GEM，EH∥MN交AB于点H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含n的式子表示）

初一三线八角探究题V1

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2013春•海陵区期末）如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．

（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图

（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？

证明你的结论．

（2）当点P移动到AB的外侧时，如图

（2），是否仍有

（1）的结论？

如果不是　∠P=∠C﹣∠A　，请写出你的猜想（不要求证明）．

（3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？

能否利用

（1）的结论来证明？

还有其他的方法吗？

请写出一种．

【专题】压轴题．

【分析】

（1）延长AP后通过外角定理可得出结论．

（2）利用外角定理可直接得出答案．

（3）延长BA到E，延长DC到F，利用内角和定理解答．

【解答】

证明：

（1）∠P=∠A+∠C，

延长AP交CD与点E．

∵AB∥CD，∴∠A=∠AEC．

又∵∠APC是△PCE的外角，

∴∠APC=∠C+∠AEC．

∴∠APC=∠A+∠C．

（2）否；∠P=∠C﹣∠A．

（3）∠P=360°﹣（∠A+∠C）．

①延长BA到E，延长DC到F，

由

（1）得∠P=∠PAE+∠PCF．

∵∠PAE=180°﹣∠PAB，∠PCF=180°﹣∠PCD，

∴∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）．

②连接AC．

∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°．

∵∠PAC+∠PCA=180°﹣∠P，

∴∠CAB+∠ACD+∠PAC+∠PCA=360°﹣∠P，

即∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）．

【点评】本题考查平行线的性质，难度不大，注意图形的变化带来的影响，不要有惯性思维．

（1）当t为何值时，PE∥AB；

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？

说明理由．

【专题】压轴题．

【分析】

（1）若要PE∥AB，则应有，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；

（2）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．由题意知，四边形CDEF是平行四边形，可证得△DEQ∽△BCD，得到，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到，求得PN的值，利用S△PEQ=EQ•PN得到y与t之间的函数关系式；

（3）利用S△PEQ=S△BCD建立方程，求得t的值；

（4）易得△PDE≌△FBP，故有S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD，即五边形的面积不变．

【解答】解：

（1）当PE∥AB时，

∴．

而DE=t，DP=10﹣t，

∴，

∴当（s），PE∥AB．

（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，

∴EF平行且等于CD，

∴四边形CDEF是平行四边形．

∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．

∵BC=BD=10，

∴△DEQ∽△BCD．

∴．

．

∴．

过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，

∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，

∴CM=CD=2cm，

∴cm，

∵EF∥CD，

∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，

又∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，

∴∠BQF=∠BFG，

∵ED∥BC，

∴∠DEQ=∠QFB，

又∵∠EQD=∠BQF，

∴∠DEQ=∠DQE，

∴DE=DQ，

∴ED=DQ=BP=t，

∴PQ=10﹣2t．

又∵△PNQ∽△BMD，

∴．

∴S△PEQ=EQ•PN=××．

（3）S△BCD=CD•BM=×4×4=8，

若S△PEQ=S△BCD，

则有﹣t2+t=×8，

解得t1=1，t2=4．

（4）在△PDE和△FBP中，

∵DE=BP=t，PD=BF=10﹣t，∠PDE=∠FBP，

∴△PDE≌△FBP（SAS）．

∴S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=8．

∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

【点评】本题利用了平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．

3．（2005•陕西）已知：

直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点．

请说明理由．

【专题】压轴题．

【分析】

（1）根据夹在两条平行线间的线段相等，进行画图或构造等腰三角形等均可；

（2）只要画出一个轴对称图形和两条平行线相交形成一个轴对称图形即可；

（3）根据题意，即是比较（S1+S2）和（S3+S4）的大小，根据平行得到相似三角形，进一步求得相似三角形的相似比，根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，运用其中一个三角形的面积表示出其它三个三角形的面积，再进一步运用求差法进行比较大小．

【解答】解：

（1）（3分）

（2）（6分）

（3）∵△PMN和△QMN同底等高，

∴S△PMN=S△QMN．

∴S3+S2=S4+S2．

∴S3=S4．（7分）

∵△POQ∽△NOM，

∴==，

．（8分）

∴S2=．

∵，

∴．（9分）

∴（S1+S2）﹣（S3+S4）=S1+S1﹣2•S1=S1（1+﹣2•）=S1（1﹣）2（10分）

∵m＜n，

∴（）2＞0．

∴S1+S2＞S3+S4．（11分）

故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的面积之和大于另两块地的面积之和．（12分）

【点评】此题中能够根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比是相似比的平方找到三角形中的面积关系．

4．（2016春•北流市校级期中）

（1）如图甲，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么，为什么？

（2）如图乙，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗？

为什么？

（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大？

为什么？

你能将它们推广到一般情况吗？

请写出你的结论．

【分析】

（1）首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，易得∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；

（2）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．

（3）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．

【解答】解：

（1）∠2=∠1+∠3．

过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，

∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；

（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．

分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，

∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；

（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．

分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，

∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．

归纳：

开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．

【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注

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