上海市初三数学二模金山区第二学期初三期中质量检测及评分标准.docx
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金山区2017学年第二学期初三期中质量检测
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）（2018．4）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：
（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列各数中，相反数等于本身的数是（▲）
（A）；（B）0；（C）1；（D）2．
2．单项式的次数是（▲）
（A）2；（B）3（C）4；（D）5．
3．如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（▲）
（A）；（B）；（C）；（D）．
4．如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（▲）
A
B
D
C
E
图1
（A）1；（B）2（C）5；（D）6．
5．如图1，□ABCD中，E是BC的中点，设，，
那么向量用向量、表示为（▲）
（A）；（B）；（C）；（D）．
O
M
N
A
B
C
图2
P
6．如图2，∠AOB=45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，
垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么的值等于（▲）
（A）；（B）；（C）；（D）．
二、填空题：
（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．因式分解：
▲．
8．函数的定义域是▲．
9．方程的解是▲．
10．一次函数的图像不经过第▲象限．
11．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的
标记，掷这枚骰子，向上一面出现的点数是素数的概率是▲．
12．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
那么的取值范围是▲．
13．如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于▲．
10
14
6
天数
图3
AQI
0
50.5
100.5
150.5
14．空气质量指数，简称AQI，如果AQI在0~50空
气质量类别为优，在51~100空气质量类别为良，
在101~150空气质量类别为轻度污染，按照某市最
近一段时间的AQI画出的频数分布直方图如图3
所示，已知每天的AQI都是整数，那么空气质量
类别为优和良的天数占总天数的百分比为▲％．
15．一辆汽车在坡度为1:
2.4的斜坡上向上行驶
130米，那么这辆汽车的高度上升了▲米．
16．如果一个正多边形的中心角等于30°，那么这个正多边形的边数是▲．
17．如果两圆的半径之比为3:
2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，
A
C
B
图4
D
圆心距d的的取值范围是▲．
18．如图4，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是
AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所
在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，
那么点P和点B间的距离等于▲.
三、解答题：
（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：
．
20．（本题满分10分）
解方程组：
．
21．（本题满分10分，每小题5分）
A
B
C
D
F
E
图5
如图5，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：
AF=BE；
（2）如果BE∶EC=2∶1，求∠CDF的余切值．
22．（本题满分10分，每小题5分）
y（千米）
x（分钟）
50
60
70
10
20
3
4
5
6
30
1
2
40
图6
九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游，一部分学生步行前往，20分钟后另
一部分学生骑自行车前往，设x（分钟）为步行前往的学生离开学校所走的时间，步行
学生走的路程为千米，骑自行车学生骑行的路程为千米，、关于的函数
图像如图6所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）步行的学生和骑自行车的学生谁先
到达百花公园，先到了几分钟？
23．（本题满分12分，每小题6分）
如图7，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延
E
A
F
M
B
D
图7
C
长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：
四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．
24．（本题满分12分，每小题4分）
图8
平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），
与y轴相交于点C，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，
求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下，记抛物线的对称轴为
直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线
上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．
25．（本题满分14分，第
（1）小题4分，第
（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，，P是线段BC上
一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线
CD相交于点E，设BP=x．
（1）求证△ABP∽△ECP；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，
求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．
A
B
P
C
D
Q
E
A
B
C
D
图9
备用图
金山区2017学年第二学期初三数学期中质量检测
参考答案及评分建议2018.4.19
一、选择题：
（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B；2．C；3．D；4．C；5．A；6．B．
二．填空题：
（本大题共12题，满分48分）
7．；8．；9．；10．三；11．；12．；13．4；
14．80；15．50；16．12；17．；18．或10．
三、（本大题共7题,第19~22题每题10分,第23、24题每题12分,第25题14分,满分78分）
19．解：
原式=…………………………………………………………（8分）
=………………………………………………………………（1分）
=．………………………………………………………………………（1分）
20．解：
，
由①得：
③，…………………………………………………………（2分）
把③代入②得：
．………………………………………………（2分）
解得：
…………………………………………………（2分）
把，代入③得：
，……………………………………………………（4分）
21．解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，……………………………………………………………………（1分）
∵AE=BC，DF⊥AE，∴AD=AE，∠AFD=∠EBA=90°，………………………（2分）
∴△ADF≌△EAB，∴AF=EB，………………………………………………………（2分）
（2）设BE=2k，EC=k，则AD=BC=AE=3k，AF=BE=2k，…………………………（1分）
∵∠ADC=90°，∠AFD=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠CDF=∠DAF…………………………………………………………………（2分）
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，DF=
∴cot∠CDF=cot∠DAF=．………………………………（2分）
22．解：
（1）设关于x的函数关系式是，
根据题意，得：
，………………………………………………（2分）
解得：
，，………………………………………………………（2分）
∴关于x的函数关系式是．……………………………………（1分）
（2）设关于x的函数关系式是，
根据题意，得：
，∴，
关于x的函数关系式是，…………………………………………（1分）
当时，，当时，，………………………………（2分）
∴骑自行车的学生先到百花公园，先到了10分钟．…………………………（2分）
23．证明：
（1）∵AE//BC，∴∠AEM=∠DCM，∠EAM=∠CDM，…………………………（1分）
又∵AM=DM，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD，………………………………（1分）
∵BD=CD，∴AE=BD．……………………………………………………………（1分）
∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．……………………………………（2分）
（2）∵AE//BC，∴．………………………………………………………（1分）
∵AE=BD=CD，∴，∴AB=3AF．……………………………（1分）
∵AC=3AF，∴AB=AC，…………………………………………………………（1分）
又∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°．……………………（1分）
∴四边形AEBD是矩形．…………………………………………………………（1分）
24．解：
（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0），
∴，解得：
，．………………………………………（2分）
∴这条抛物线的表达式是…………………………………………（1分）
顶点P的坐标是（2，-1）．…………………………………………………………（1分）
（2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．……（1分）
根据题意得：
，解得：
m=2，……（2分）
∴点E的坐标为（2，2）．……………………………………………………………（1分）
（3）解法一：
设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．
作QD⊥MN，垂足为D，
则，…………………………………（1分）
∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，…………………（1分）
∴，∴，
解得（不合题意，舍去），．……………………………………………（1分）
∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………………（1分）
解法二：
记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，
∵AE=BE，EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，
又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，…………………………………………（1分）
点Q是所求的点，设点Q的坐标为，
作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，
∵EF⊥x轴，∴EF∥QH，∴，∴，……………（1分）
解得（不合题意，舍去），．……………………………………………（1分）
∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………………（1分）
25．解：
（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ＝∠PQA，……………………………………（1分）
∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠APB，∠PQA＝∠QPC，∴∠APB＝∠EPC，……（1分）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B＝∠C，………………………………（1分）
∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………………（1分）
（2）作AM⊥BC，PN⊥AD，
∵AD∥BC，∴AM∥PN，∴四边形AMPN是平行四边形，
∴AM=PN，AN=MP．…………………………………………………………………（1分）
在Rt△AMB中，∠AMB=90°，AB=5，sinB=，
∴AM=3，BM=4，∴PN=3，PM=AN=x-4，…………………………………………（1分）
∵PN⊥AQ，∴AN=NQ，∴AQ=2x-8，……………………………………………（1分）
∴，即，……………………………（1分）
定义域是．………………………………………………………………（1分）
（3）解法一：
由△QED与△QAP相似，∠AQP＝∠EQD，
①如果∠PAQ＝∠DEQ，∵△APB∽△ECP，∴∠PAB＝∠DEQ，
又∵∠PAQ＝∠APB，∴∠PAB＝∠APB，∴BP=BA=5．…………………………（2分）
②如果∠PAQ＝∠EDQ，∵∠PAQ＝∠APB，∠EDQ＝∠C，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠APB，∴AB=AP，∵AM⊥BC，∴BM=MP=4，∴BP=8．…………（2分）
综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………………（1分）
解法二：
由△QAP与△QED相似，∠AQP＝∠EQD，
在Rt△APN中，，
∵QD∥PC，∴，
∵△APB∽△ECP，∴，∴，
①如果，∴，即，
解得………………………………………………………………………………（2分）
②如果，∴，即，
解得………………………………………………………………………………（2分）
综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………………（1分）
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