整式乘除与因式分解综合讲义(方法很细很全).doc

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整式的乘除与因式分解专题综合讲义

一、学习目标：

1.掌握与整式有关的概念；

2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；

3.掌握单项式、多项式的相关计算；

4.掌握乘法公式：

平方差公式，完全平方公式。

5..掌握因式分解的常用方法。

二、知识点总结：

1、单项式的概念：

由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：

的系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：

，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：

单项式和多项式统称整式。

注意：

凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则：

（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：

6、幂的乘方法则：

（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：

幂的乘方法则可以逆用：

即

如：

7、积的乘方法则：

（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：

（=

8、同底数幂的除法法则：

（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：

9、零指数和负指数；

，即任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。

如：

10、单项式的乘法法则：

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即（都是单项式）

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]

如：

12、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

13、平方差公式：

注意平方差公式展开只有两项

公式特征：

左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：

14、完全平方公式：

公式特征：

左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

完全平方公式的口诀：

首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

15、三项式的完全平方公式：

（课本外补充）

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：

首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：

18、因式分解：

（重点）

常用方法：

提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

三、知识点精析：

1.同底数幂、幂的乘方运算：

am·an=am+n（m，n都是正整数）.（am）n=amn（m，n都是正整数）.

例题1.若，则a=；若，则n=.

例题2.若，求的值。

例题3.计算

练习1.若，则=.2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。

2.积的乘方

（ab）n=anbn（n为正整数）.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1.计算：

3.乘法公式

平方差公式：

完全平方和公式：

完全平方差公式：

例题1.利用平方差公式计算：

2009×2007－20082

例题2.利用平方差公式计算：

．

例题3.利用平方差公式计算：

例题4.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

变式练习

1．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少

2.已知求的值

3．已知，求xy

4如果a＋b－2a＋4b＋5＝0，求a、b的值

5.试说明两个连续整数的平方差必是奇数

7.一个正方形的边长增加4cm，面积就增加56cm，求原来正方形的边长

4.单项式、多项式的乘除运算

（1）（a－b）（2a＋b）（3a2＋b2）；

（2）[（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．

（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．

5.因式分解：

（必须理解透）

1.提公因式法：

式子中有公因式时，先提公因式。

例1把分解因式．

分析：

把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．

解：

说明：

用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

例2把分解因式．

分析：

按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

说明：

由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2.公式法：

根据平方差和完全平方公式

例题1分解因式

3.配方法：

例分解因式

解：

说明：

这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家尝试一下．

4.十字相乘法：

（1）．型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

例1把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

．

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

例2把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

例3把下列各式因式分解：

（1）

（2）

分析：

（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．

（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．

解：

（1）

（2）

（2）．一般二次三项式型的因式分解

大家知道，．

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

例4把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

强化练习

1、已知，，求的值。

2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值

提高练习

1．（2x2－4x－10xy）÷（　　）＝x－1－y．

2．若x＋y＝8，x2y2＝4，则x2＋y2＝_________．

3．代数式4x2＋3mx＋9是完全平方式则m＝___________．

4．（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于……………………………………………（　　）

（A）a4－1（B）a4＋1（C）a4＋2a2＋1（D）1－a4　

5．已知a＋b＝10，ab＝24，则a2＋b2的值是…………………………………（　　）

（A）148（B）76（C）58（D）52

6．

（2）（＋3y）2－（－3y）2；

（2）（x2－2x－1）（x2＋2x－1）；

7．已知x＋＝2，求x2＋，x4＋的值．

8．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式－ab的值．

9．若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值．

《整式的乘除与因式分解》习题训练

一、逆用幂的运算性质

1．.

2．（）2002×（1.5）2003÷（－1）2004＝________。

3．若，则.

4．已知：

，求、的值。

5．已知：

，，则=________。

二、式子变形求值

1．若，，则.

2．已知，，求的值.

3．已知，求的值。

4．已知：

，则=.

5．的结果为.

6．如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）=63，那么a＋b的值为_______________。

7．已知：

，，，

求的值。

8．若则

9．已知，求的值。

10．已知，则代数式的值是_______________。

11．已知：

，则_________，_________。

三、式子变形判断三角形的形状

1．已知：

、、是三角形的三边，且满足，则该三角形的形状是_________________________.

2．若三角形的三边长分别为、、，满足，则这个三角形是

3．已知、、是△ABC的三边，且满足关系式，试判断△ABC的形状。

四、分组分解因式

1．分解因式：

a2－1＋b2－2ab＝_______________。

2．分解因式：

_______________。

五、其他

1．已知：

m2＝n＋2，n2＝m＋2（m≠n），求：

m3－2mn＋n3的值。

2．计算：

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