切线的判定.doc

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圆常考题集切线的判定

选择题

1、下列说法正确的是（　　）

A、与圆有公共点的直线是圆的切线 B、过三点一定能作一个圆

C、垂直于弦的直径一定平分这条弦 D、三角形的外心到三边的距离相等

2、（2001•陕西）给出下列命题：

①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（　　）

A、1个 B、2个

C、3个 D、4个

3、（2010•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（　　）

A、2 B、

C、 D、3

4、（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（　　）

A、 B、

C、 D、2

5、（2007•成都）如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（　　）

A、45° B、55°

C、65° D、70°

6、（2006•宜昌）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（　　）

A、130° B、100°

C、50° D、65°

7、（2005•宁波）边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为（　　）

A、1：

5 B、2：

5

C、3：

5 D、4：

5

8、如果等边三角形的边长为6，那么它的内切圆的半径为（　　）

A、3 B、

C、2 D、3

9、如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是（　　）

A、 B、

C、2 D、1

10、如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：

甲同学：

如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：

如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：

如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：

如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（　　）

①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．

A、①② B、②③

C、①③ D、①②③

11、下列说法正确的是（　　）

A、垂直于半径的直线是圆的切线 B、圆的切线只有一条

C、圆的切线垂直于圆的半径 D、每个三角形都有一个内切圆

12、△ABC的内切圆和外接圆是两个同心圆，那么△ABC一定是（　　）

A、等腰三角形 B、等边三角形

C、直角三角形 D、钝角三角形

13、若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（　　）

A、 B、

C、 D、

填空题

14、（2008•湖州）如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为　_________　s时，BP与⊙O相切．

15、（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=　_________　．

16、（2009•杭州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．

①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是　_________　；

②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=　_________　．

17、（2008•宿迁）已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是　_________　．

18、如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　_________　处．

19、如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切于△ABC，则阴影部分面积为　_________　．

解答题

20、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．

（1）请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；

②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．

（2）请在

（1）的基础上，完成下列填空：

①写出点的坐标：

C　_________　；D（　_________　）；

②⊙D的半径=　_________　（结果保留根号）；

③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积为　_________　；（结果保留π）

④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系，并说明你的理由．

21、（2006•海淀区）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．

（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；

（3）在

（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线．

22、（2010•黔南州）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．

（1）求证：

AD是半圆O的切线；

（2）若BC=2，CE=，求AD的长．

23、（2010•密云县）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：

直线EF是⊙O的切线；

（2）求sin∠E的值．

24、（2010•包头）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）求证：

BC=AB；

（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．

25、（2010•锦州）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F．

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若DE=3，⊙O的半径为5．求BF的长．

26、（2010•毕节地区）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：

GE是⊙O的切线．

27、（2010•安顺）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．

（1）求证：

∠ADB=∠E；

（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？

请说明理由．

（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

28、（2009•浙江）如图，AB是⊙O的的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．

（1）求证：

点E是的中点；

（2）求证：

CD是⊙O的切线；

（3）若sin∠BAD=，⊙O的半径为5，求DF的长．

29、（2009•漳州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）

30、（2009•孝感）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）已知PA=，BC=1，求⊙O的半径．

答案与评分标准

选择题

1、下列说法正确的是（　　）

A、与圆有公共点的直线是圆的切线 B、过三点一定能作一个圆

C、垂直于弦的直径一定平分这条弦 D、三角形的外心到三边的距离相等

考点：

垂径定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；切线的判定。

分析：

根据相关概念和定理判断．注意：

①圆的切线和圆只有一个公共点即切点；②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．

解答：

解：

A、应为与圆只有一个交点的直线是圆的切线，错误；

B、过不在同一直线上的三点才能作一个圆，错误；

C、正确；

D、到三角形三边距离相等的是三角形的内心，故错误；

故选C．

点评：

本题考查了对切线的定义，垂径定理及三角形的外心等概念的正确理解．

2、（2001•陕西）给出下列命题：

①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（　　）

A、1个 B、2个

C、3个 D、4个

考点：

三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心。

分析：

根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错．三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个．故正确的命题有2个．

解答：

解：

三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①是对的；

反过来说圆的内接三角形可以无数多个，所以②是错的；

三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③是对的；

反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，④是错误的．

所以正确的命题有2个．

故选B．

点评：

考查三角形外心与内心的概念，属于概念题．

3、（2010•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（　　）

A、2 B、

C、 D、3

考点：

三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义。

分析：

欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解．

解答：

解：

过O点作OD⊥AB，则OD=1；

∵O是△ABC的内心，

∴∠OAD=30°；

Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1，

∴AD=OD•cot30°=，

∴AB=2AD=2．

故选B．

点评：

解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数．

4、（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（　　）

A、 B、

C、 D、2

考点：

三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义。

分析：

设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB=10，再根据切线长定理可以求得AE=4．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD=5，DE=1．根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得内切圆的半径是2，从而求得tan∠ODA=2．

解答：

解：

设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10，

∴AE==4．

∵⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，

∴AD=5，则DE=1，

∴r==2

∴tan∠ODA=2．

故选D．

点评：

此题要能够根据切线长定理证明：

作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．

5、（2007•成都）如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（　　）

A、45° B、55°

C、65° D、70°

考点：

三角形的内切圆与内心。

分析：

首先根据三角形的内角和定理求得∠A=70°．再根据切线的性质定理和四边形的内角和定理，得∠EOF=110度．再根据圆周角定理，得∠EDF=55°．

解答：

解：

∵∠B=50°，∠C=60°，

∴∠A=70°，

∴∠EOF=110度，

∴∠EDF=∠EOF=55°．

故选B．

点评：

此题综合运用了切线的性质定理、圆周角定理和三角形的内角和定理、四边形的内角和定理．

6、（2006•宜昌）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（　　）

A、130° B、100°

C、50° D、65°

考点：

三角形的内切圆与内心。

分析：

由三角形内切定义可知：

OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，利用三角形内角和定理和角平分线的性质可得∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值．

解答：

解：

∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣80°）=50°，

∴∠BOC=180°﹣50°=130°．

故选A．

点评：

本题通过三角形内切圆，考查切线的性质．

7、（2005•宁波）边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为（　　）

A、1：

5 B、2：

5

C、3：

5 D、4：

5

考点：

三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心。

分析：

若设该直角三角形的内切圆的半径为r，根据内切圆的性质，圆心与两直角边的切点及直角顶点所组成的四边形是正方形，所以3﹣r+4﹣r=5，解得r=1，即内切圆的半径为1；直径所对的圆周角是直角，所以直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边上，且为斜边的中点，则外接圆的半径为，所以内切圆半径与外接圆半径的比为1：

=2：

5．

解答：

解：

设该直角三角形的内切圆的半径为r，

∵边长分别为3，4，5，

∴3﹣r+4﹣r=5，

解得r=1，即内切圆的半径为1；

∵外接圆的半径为，

∴内切圆半径与外接圆半径的比为1：

=2：

5．

故选B．

点评：

本题考查了直角三角形的内切圆圆心与外接圆圆心的概念．

8、如果等边三角形的边长为6，那么它的内切圆的半径为（　　）

A、3 B、

C、2 D、3

考点：

三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质。

分析：

构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解．

解答：

解：

过O点作OD⊥AB，则AD=3，

因为∠OAD=30°，

所以OD=tan30°•AD=．

故选B．

点评：

本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角．

9、如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是（　　）

A、 B、

C、2 D、1

考点：

三角形的内切圆与内心。

分析：

Rt△ABC中，由勾股定理可求得斜边AB的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式进行计算即可．

解答：

解：

Rt△ABC中，BC=6，AB=8；

由勾股定理得：

AB==10；

设⊙O的半径为R，则：

R==2．

故选C．

点评：

本题需掌握的内容是直角三角形内切圆半径公式：

r=（a、b为直角边，c为斜边）；此公式可由切线长定理推导出．

10、如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：

甲同学：

如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：

如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：

如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：

如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（　　）

①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．

A、①② B、②③

C、①③ D、①②③

考点：

三角形的内切圆与内心。

专题：

综合题。

分析：

分别计算结果再比较大小．具体如下：

若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中S1=；设图2中正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知S2=；在图3中，设半圆的半径为r，根据切线长定理可求得S3=（﹣）π；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得R=1﹣，所以S4=（）π；根据以上计算的值进行比较即可判断．

解答：

解：

图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，S1=；

图2中，设正方形的边长为x，则3x=，x=，S2=；

图3中，设半圆的半径为r，则1+r=，r=﹣1，S3=（﹣）π；

图4中，设三角形的内切圆半径为R，则2﹣2R=，解得R=1﹣，S4=（）π；

根据以上计算的值进行比较，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正确的是②③．

故选B．

点评：

本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广．

11、下列说法正确的是（　　）

A、垂直于半径的直线是圆的切线 B、圆的切线只有一条

C、圆的切线垂直于圆的半径 D、每个三角形都有一个内切圆

考点：

三角形的内切圆与内心；切线的判定与性质。

分析：

由切线的概念知，垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，圆的半径有无数条，故切线也有无数条，所以A，B，C都错误；每个三角形都有一个内切圆，故D正确．

解答：

解：

垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，圆的半径有无数条，故切线也有无数条．每个三角形都有一个内切圆，所以只有D正确．

故选D．

点评：

本题考查了切线的概念．熟记切线的概念并灵活运用是解题的关键．

12、△ABC的内切圆和外接圆是两个同心圆，那么△ABC一定是（　　）

A、等腰三角形 B、等边三角形

C、直角三角形 D、钝角三角形

考点：

三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心。

分析：

根据三角形内心和外心的概念，即可进行准确的判断．

解答：

解：

因为三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，

所以△ABC的内切圆和外接圆是两个同心圆时，△ABC一定是等边三角形．

故选B．

点评：

考查三角形内心和外心的概念，属于基础题．

13、若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（　　）

A、 B、

C、 D、

考点：

三角形的内切圆与内心。

分析：

连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．

解答：

解：

设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：

S=，

又∵r=，

∴a+b=2r+c，

∴直角三角形的面积是r（r+c）．

又∵内切圆的面积是πr2，

∴它们的比是．

故选B．

点评：

此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．

填空题

14、（2008•湖州）如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为　1或5　s时，BP与⊙O相切．

考点：

切线的判定；切线的性质；弧长的计算。

专题：

动点型。

分析：

根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB=90°，又因为OB=2OP，可得∠B=30°，则∠BOP=60°；根据弧长公式求得长，除以速度，即可求得时间．

解答：

解：

连接OP；

∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，

∵AB=OA，OA=OP，

∴OB=2OP，∠OPB=90°；

∴∠B=30°；

∴∠O=60°；

∵OA=3cm，

∴==π，圆的周长为：

6π，

∴点P运动的距离为π或6π﹣π=5π；

∴当t=1或5时，有BP与⊙O相切．

点评：

本题考查了切线的判定与性质及弧长公式的运用．

15、（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=　2　．

考点：

三角形的内切圆与内心。

分析：

设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：

CE=CF=（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长．

解答：

解：

如图；

在Rt△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6；

根据勾股定理AB==10；

四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；

∴四边形OECF是正方形；

由切线长定理，得：

AD=AF，BD=BE，CE=CF；

∴CE=CF=（AC+BC﹣AB）；

即：

r=（6+8﹣10）=2．

点评：

此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．

16、（2009•杭州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．

①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是　：

2　；

②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=　21　．

考点：

三角形的内切圆与内心。

专题：

综合题。

分析：

①根据圆和正方形的对称性可知：

GH=DG=GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=，从而用含a的代数式表示半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；

②连接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且边长是4，可设BD=x，AD=y，则BD=BH=x，AD=AI=y，分别利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径AB=21．

解答：

解：

①如图，根据圆和正方形的对称性可知：

GH=DG=GF，

H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，

在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=．由此可得，半圆的半径为a，正方形边长为2a，

所以半圆的半径与正方形边长的比是a：

2a=：

2；

②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．

连接EB、AE，OI、OJ，可得OICJ是正方形，且边长是4，

设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，

在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；

在直角三角形AEB中，可以证得△ADE∽△BDE∽△ABE，

于是得到ED2=AD•BD，即102=x•y②．

解①式和②式，得x+y=21，

即半圆的直径AB=21．

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