高中数学第一章集合122集合的运算学案新人教B版必修1Word下载.docx
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阅读教材P17“图1－4”以下～P17“例5”以上部分，完成下列问题.
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝B∩A
A∪B＝B∪A
A∩A＝A
A∪A＝A
A∩∅＝∅
A∪∅＝A
A⊆B⇔A∩B＝A
A⊆B⇔A∪B＝B
（1）集合M＝{直线}与集合N＝{圆}无交集．（ ）
（2）两个集合并集中元素的个数一定大于这两个集合交集中元素的个数．（ ）
（3）若A∩B＝C∩B，则A＝C.（ ）
【解析】
（1）∵M∩N＝∅，∴
（1）对．
（2）∵A∪A＝A∩A，∴
（2）错．
（3）设A＝{0,1}，B＝{1}，C＝{1,2}，则A∩B＝C∩B，但A≠C，故（3）错．
【答案】
（1）√
（2）×
[小组合作型]
求并集
（1）若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝（ ）
A．{0,1}B．{－1,0,1}
C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}
（2）已知集合P＝{x|x<
3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝（ ）
A．{x|－1≤x<
3}B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}
【精彩点拨】
（1）集合M和集合N都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．
（2）欲求P∪Q，只需将P，Q用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得P∪Q.
【自主解答】
（1）因为M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，
所以M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}．
（2）P＝{x|x<
3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，如图，P∪Q＝{x|x≤4}．
【答案】
（1）D
（2）C
1．若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
2．若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍．
[再练一题]
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为______．
【解析】 ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，
∴A∪B中元素个数为5.
【答案】 5
求交集
（1）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝（ ）
A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}
（2）设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6B．5
C．4D．3
【精彩点拨】
（1）欲求A∩B，只需将A，B用数轴表示出来，找出它们的公共元素，即得A∩B.
（2）用列举法表示{x∈Z|1≤x≤5}即可．
【自主解答】
（1）A＝{x|2<
x<
4}，B＝{x|x<
3或x>
5}，
如图A∩B＝{x|2<
3}．
（2）∵A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集．
∴A∩Z＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}．
【答案】
（1）C
（2）B
求两个集合的交集时，要注意：
1求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.
2若集合中元素个数无限，常借助数轴，把集合表示在数轴上，利用交集的定义求解，这样处理比较形象直观.
2．若A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∩B＝________.
【解析】 ∵A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，∴A∩B＝{－1}．
【答案】 {－1}
[探究共研型]
并集、交集的运算性质及应用
探究1 设A、B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有什么关系？
【提示】 A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A⊆B三者为等价关系．
探究2 若A⊆B，那么集合A是否可能为空集？
【提示】 因为空集是任何集合的子集，所以集合A有可能为空集．
探究3 集合{x|x2＋2x－a＝0}是否可能为空集，如果可能是空集，求出实数a的取值范围，若不可能，说明理由？
【提示】 集合{x|x2＋2x－a＝0}可能为空集．当方程x2＋2x－a＝0的判别式Δ＝4＋4a<
0，即a<
－1时，方程x2＋2x－a＝0无解，则集合{x|x2＋2x－a＝0}为空集．
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2（a－1）x＋a2－5＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】
（1）根据条件A∩B＝{2}，得2∈B，建立方程即可求实数a的值．
（2）A∪B＝A等价为B⊆A，然后分别讨论B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【自主解答】
（1）由题可知：
A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将2带入集合B中，得4＋4（a－1）＋a2－5＝0，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2,10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述：
a＝－5，或a＝1.
（2）若A∪B＝A，则B⊆A，∵A＝{1,2}，∴B＝∅或B＝{1}或{2}或{1,2}．
①若B＝∅，则Δ＝4（a－1）2－4（a2－5）＝24－8a＜0，解得a＞3，
②若B＝{1}，则
即
不成立．
③若B＝{2}，则
不成立，
④若B＝{1,2}，
则
此时不成立，
综上a＞3.
1．在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．
2．集合运算常用的性质
（1）A∪B＝B⇔A⊆B；
（2）A∩B＝A⇔A⊆B；
（3）A∩B＝A∪B⇔A＝B等．
3．利用集合的并、交求参数的值或范围时，要注意检验集合元素的互异性．
3．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值集合．
【解】 A＝{1,2}，∵A∪B＝A，
∴B⊆A，故分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．
（1）B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
则Δ＝16－4a<
0，解得a>
4.
（2）B≠∅时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；
当Δ>
0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，
由根与系数的关系知矛盾，无解，所以a＝4.
综上，a的取值集合为{a|a≥4}．
1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝（ ）
A．{2,3}B．{0,1}
C．{0,1,4}D．{0,1,2,3,4}
【解析】 因为集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故选A.
【答案】 A
2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝（ ）
A．（2,3）B．[－1,5]
C．（－1,5）D．（－1,5]
【解析】 ∵集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，∴A∪B＝{－1≤x≤5}．故选B.
3．已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是（ ）
A．2B．3
C．4D．8
【解析】 由M∪N＝{－1,0,1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，
又M＝{－1,0}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0,1}或{－1,1}或{0，－1,1}，共4个．故选C.
【答案】 C
4．设集合A＝{（x，y）|y＝ax＋1}，B＝{（x，y）|y＝x＋b}，且A∩B＝{（2,5）}，则（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2D．a＝－2，b＝－3
【解析】 ∵A∩B＝{（2,5）}，∴
解得
故选B.
5．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，求：
（1）A∪B；
（2）C∩B.
【解】
（1）由集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，把两集合表示在数轴上如图所示：
得到A∪B＝{x|2＜x＜10}．
（2）由集合B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，
则C∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
第2课时 补集及其综合应用
1．了解全集的含义及其符号表示．（易错点）
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．（重点、难点）
3．熟练掌握集合的交、并、补运算．（重点）
教材整理1 全集与补集
阅读教材P18“补集”以下部分，完成下列问题．
1．全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定集合为全集，通常用符号U表示．
2．补集
自然语言
如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA，读作A在U中的补集．
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×
（1）一个集合的补集一定含有元素．（ ）
（2）集合∁ZN与集合∁ZN＋相等．（ ）
（3）集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素．（ ）
【解析】
（1）∵∁UU＝∅，∴
（1）错；
（2）∵0∉∁ZN，而0∈∁ZN＋，∴
（2）错；
（3）由补集定义知（3）正确．
（3）√
2．已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞2}，则∁MN＝________.
【解析】 由补集定义可得
∁MN＝{x|1＜x≤2}．
【答案】 {x|1＜x≤2}
3．已知全集为R，集合A＝{x|x<
1，或x≥5}，则∁RA＝
________.
【解析】 如图所示，集合A＝{x|x<
1，或x≥5}的补集是∁RA＝{x|1≤x<
5}．
【答案】 {x|1≤x<
5}
教材整理2 补集的性质
阅读教材P19“例6”以上部分，完成下列问题．
1．A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U（∁UA）＝A.
2．∁UA∩∁UB＝∁U（A∪B），∁UA∪∁UB＝∁U（A∩B）．
设全集为U，A＝{1,2,4,5}，∁UA＝{3}，则U等于（ ）
A．∅ B．{1,2,4,5}
C．{1,2,3,4,5}D．{3}
【解析】 因为A∪∁UA＝U，所以U＝{1,2,3,4,5}．
求补集
（1）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则∁UA＝（ ）
A．∅B．{1,3,6,7}
C．{2,4,6}D．{1,3,5,7}
（2）已知全集U＝{x|x>
0}，∁UA＝{x|1<
x≤2}，则A＝________.
【精彩点拨】
（1）根据补集的定义求解；
（2）利用补集的性质求解．
【自主解答】
（1）∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则由集合的补集的定义可得∁UA＝{1,3,6,7}，故选B.
（2）A＝∁U（∁UA）＝{x|0<
x≤1，或x>
2}．
【答案】
（1）B
（2）{x|0<
2}
如果全集及其子集是用列举法表示的，可根据补集的定义求解，如果较为复杂，还可借助于Venn图求解；
如果全集及其子集是用不等式表示的，常借助于数轴求解.
1．
（1）设全集U＝{1,2,3,4}，且M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{2,3}，则实数p的值为（ ）
A．－4B．4
C．－6D．6
（2）已知A＝{x||x|<
4，x∈Z}，B＝{－2,1,3}，则∁AB＝________.
【解析】
（1）由全集U＝{1,2,3,4}，∁UM＝{2,3}，得到集合M＝{1,4}，即1和4是方程x2－5x＋p＝0的两个解，则实数p＝1×
4＝4.
（2）易知A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，
所以∁AB＝{－3，－1,0,2}．
【答案】
（1）B
（2）{－3，－1,0,2}
集合并、交、补集的综合运算
（1）已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥3}，则图121中阴影部分所表示的集合为（ ）
图121
A．{0,1,2}B．{0,1}
C．{1,2}D．{1}
（2）已知集合A＝{x|x≥－2}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则集合∁RB∩A＝________.
【精彩点拨】
（1）由图观察阴影部分所代表的集合，然后求解．
（2）先求∁RB，借助于数轴求解；
【自主解答】
（1）由题意，阴影部分表示A∩∁UB.
因为∁UB＝{x|x<
3}，所以A∩∁UB＝{1,2}．
（2）因为B＝{x|－2≤x≤2}，所以∁RB＝{x|x<
－2，或x>
2}，∁RB∩A＝{x|x>
【答案】
（1）C
（2）{x|x>
1．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．
2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；
当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．
2．已知全集U＝{x|1≤x≤8且x∈N*}，集合A＝{1,2,5,7}，B＝{2,4,6,7}，求A∩B，∁UA∪B，A∩∁UB.
【解】 因为集合A＝{1,2,5,7}，B＝{2,4,6,7}，所以A∩B＝{2,7}，
因为全集U＝{x|1≤x≤8且x∈N*}，
则∁UA＝{3,4,6,8}，∁UB＝{1,3,5,8}，
所以∁UA∪B＝{2,3,4,6,7,8}，A∩∁UB＝{1,5}．
根据补集的运算求参数的值或范围
探究1 如果“a∈∁UB”，那么元素a与集合B有什么关系？
“a∈A∩∁UB”意味着什么？
【提示】 如果“a∈∁UB”，那么a∉B.“a∈A∩∁UB”意味着a∈A且a∉B.
探究2 是否存在元素a，使得a∈A且a∈∁UA？
若集合A＝{x|－2<
x≤3}，则∁UA是什么？
【提示】 不存在．若集合A＝{x|－2<
x≤3}，则∁RA＝{x|x≤－2或x>
（1）已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩∁UA＝{2}，A∩∁UB＝{4}，U＝R，求实数a，b的值；
（2）已知集合A＝{x|2a－2<
a}，B＝{x|1<
2}，且A
∁RB，求a的取值范围．
【精彩点拨】
（1）由条件可判断元素2和4所在的集合，代入到对应的方程中，解方程组可以解出实数a，b的值．
（2）求出∁RB，根据A
∁RB，列出不等式组，可求a的取值范围．
【自主解答】
（1）∵B∩∁UA＝{2}，∴2∈B，但2∉A.∵A∩∁UB＝{4}，∴4∈A，但4∉B.
∴
∴a，b的值分别为
，－
.
（2）∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅.
∵A
∁RB，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．
①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠∅，则有
或
∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
1．已知元素与已知集合补集的关系，一般要转化为元素与该集合的关系求解．
2．已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值的取舍．
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．
【解】 若B＝∅，此时∁UB＝R，且A⊆∁UB；
则a＋1>
2a－1，所以a<
2，
若B≠∅，则a＋1≤2a－1，
即a≥2，
此时∁UB＝{x|x<
a＋1，或x>
2a－1}，
由于A⊆∁UB，
如图，
5，∴a>
4，
所以实数a的取值范围为{a|a<
2，或a>
4}.
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝（ ）
A．{1,2}B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5}D．∅
【解析】 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴∁UA＝{3,4,5}．
2．设全集U＝R，集合A＝{x|1<
4}，集合B＝{x|2≤x<
5}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{x|1≤x<
2}B．{x|x<
C．{x|x≥5}D．{x|1<
【解析】 ∁UB＝{x|x<
2，或x≥5}，A∩∁UB＝{x|1<
【答案】 D
3．已知A＝{x|x＋1>
0}，B＝{－2，－1,0,1}，则∁RA∩B＝（ ）
A．{－2，－1}B．{－2}
C．{－1,0,1}D．{0,1}
【解析】 因为集合A＝{x|x>
－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，则∁RA∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．
4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.
【解析】 ∵A＝{x|1≤x＜a}，∁UA＝{x|2≤x≤5}，
∴A∪∁UA＝U＝{x|1≤x≤5}，
且A∩∁UA＝∅，因此a＝2.
【答案】 2
5．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，∁UA∩∁UB，A∩∁UB，∁UA∪B.
【解】 法一 由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．
∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}，
∴∁UA∩∁UB＝{1,2,6}，A∩∁UB＝{3,5}，
∁UA∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
法二 画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁UA∩∁UB＝{1,2,6}，
A∩∁UB＝{3,5}，∁UA∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
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