梁德侠 完全平方公式与平方差公式.docx

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梁德侠完全平方公式与平方差公式

8.3完全平方公式与平方差公式

（一）

［复习回顾］

1、多项式与多项式的乘法法则：

.

2、计算：

（1）（a＋b）（a＋b）　　

（2）（a－b）（a－b）

［探索新知］

1、（a＋b）2等于什么？

你能用多项式与多项式相乘法则说明理由吗？

（a－b）2呢？

由此导出两个公式：

（a＋b）2＝　　　　　　　　　　　　　①

（a－b）2＝　　　　　　　　　　　　　②

公式①②称为完全平方公式。

注：

①乘法公式实际是几个特殊形式的多项式乘法结果，掌握这些公式，在遇到形式相同的多项式相乘时，就可以直接写出结果，从而省略了乘法运算的过程，达到简化运算的目的。

　②乘法公式的应用非常广泛，除了要掌握公式的特征，防止用错公式外，还要理解公式中字母的广泛意义。

2、完全平方公式的几何背景

你能用课本P64图

（1）

（2）中图形面积割补的方法，分别说明两个完全平方公式吗？

与同伴交流。

图

（1）中大正方形的面积等于两个小正方形的面积的和再加上两个矩形的面积之和。

图

（2）中阴影（深色的正方形）面积等于大正方形的面积减去两个矩形面积，再加上重复减去的小正方形面积。

［范例讲解］

例1：

利用乘法公式计算

（1）（3a＋2b）2　　

（2）（－4x2－1）2

解：

（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·3a·2b＋（2b）2

（a＋b）2＝a2＋2·a·b＋b2

（2）（－4x2－1）2＝（－4x2）2－2·（－4x2）·1＋12

（a－b）2＝a2－2·a·b＋b2＝16x4＋8x2＋1

本题也可以把原式变形为［－（4x2＋1）］2＝（4x2＋1）2

解法二：

（－4x2－1）2＝（4x2＋1）2

　　　　　　　　　＝（4x2）2－2·4x2·1＋12

　　　　　　　　　＝16x4＋8x2＋1

点拔：

运用完全平方公式的关键在于准确地确定公式中的a和b，首先把原式写成符合公式的结构,然后再运用公式，例如（－a＋b）2＝（b－a）2,（－a－b）2＝（a＋b）2，（a＋b－c）2＝［（a＋b）－c］2或［a＋（b－c）］

例2：

利用乘法公式计算

（1）992　　　　

（2）（50

）2

分析：

要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，

（1）992转化为（100－1）2，

（2）题转化为（50＋

）2

［小试牛刀］

1、下列各式哪些可以用完全平方公式计算？

（1）（5x－3y）（3y－5x）　　

（2）（2a2－3b）（－3b－2a2）

（3）（4a＋b）（－4a－b）　　（4）（

a2－1

）（a2－3）

2、下列计算是否正确，若不正确，请订正。

（1）（－1＋3a）2＝9a2－6a＋1　　（　　）

（2）（3x2－

）＝9x4－

　　　（　　）

（3）（xy＋4）2＝x2y2＋16　　　　（　　）

（4）（a2b－2）2＝a2b2－2a2b＋4　　（　　）

3、利用乘法公式计算。

（1）（3x＋1）2　　

（2）（a－3b）2

（3）（2x＋

）2（4）（－2x＋3y）2

（5）（a＋b＋c）2　　（6）（a－b）3

［课后提高］

1、利用乘法公式计算：

（1）9992　　　

（2）99.82

（3）（

x＋6）2－（

x－6）2　　（4）（a＋1）2（a－1）2

2、如果4x2－mxy＋9y2是一个完全平方式，则m＝　　　

3、已知：

（x＋y）2＝4，（x－y）2＝3，试求：

（1）x2＋y2的值；

（2）xy的值.

4、若a＋b＝5，ab＝6，求a2＋3ab＋b2的值.

5、先化简，再求值：

（a－1）2－a（a＋1），其中a＝

.

6、已知a＝2002，b＝2003，c＝2004，求a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值.

［合作交流］

多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方的形式，那么加上的单项式可以是　　　.

8.3完全平方公式与平方差公式

（一）

［复习回顾］

完全平方公式：

（a±b）2＝　　　

语言叙述：

.

［探索新知］

1、做一做

（1）（x＋1）（x－1）＝x2－x+x－1=x2－1

（2）（a＋2）（a－2）＝　　　　　＝　　　　

（3）（3x＋2）（3x－2）＝　　　　　＝　　　　

（4）（a＋b）（a－b）＝　　　　　＝　　　　

观察以上算式及运算结果，你发现了什么？

再举两例验证你的发现。

点拔：

以上每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，我们把这样特殊形式的多项式相乘，作为乘法公式，今后可以直接使用.

（a＋b）（a－b）＝　　　　　　叫做平方差公式.

用语文叙述为：

两个数的　　　　与这两个数的　　　相乘，等于这两个数的.

注：

（1）认识公式的结构特征，要符合公式的结构特征才能运用平方差公式。

（2）公式中的a、b不仅可以代表数,字母、单项式，还可以是多项式.

（3）有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形后能应用公式.

2、平方差公式的几何背景

你能用下图中图形面积割补的方法，说明这个乘法公式吗？

阴影部分面积等于两个梯形面积之和也等于两个正方形面积的差，即：

2×

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

［范例点睛］

例1：

利用平方差公式计算：

（1）（2x＋y）（2x－y）　　

（2）（－1－3m2）（－3m2＋1）

解：

（1）（2x＋y）（2x－y）＝（2x）2－y2＝4x2－y2

　　　　（a＋b）（a－b）＝a2－b2

例2利用乘法公式计算：

（1）1999×2001　　　　

（2）49

×50

解：

（1）1999×2001＝（2000－1）（2000＋1）

　　　　　　　　　　＝20002－1

　　　　　　　　　　＝4000000－1

　　　　　　　　　　＝3999999

（2）49

×50

=

［随堂练习］

1、下列各式可以用平方差公式计算吗？

若能，说出它的结果。

（1）（2a＋b）（2b－a）　　　

（2）（m－n）（－m＋n）

（3）（2x＋y）（－y＋2x）　　（4）（－5a－

）（5a－

）

2、下列计算是否正确，若不正确，请订正。

（1）（x＋2）（2－x）＝x2－4　　　　　　　　（　　）

（2）（2x＋y2）（2x－y2）＝2x2－y4　　　　　　（　　）

（3）（3x2＋1）（3x2－1）＝9x2－1　　　　　　（　　）

（4）（x＋2）（x－3）＝x2－6　　　　　　　　　（　　）

3、利用平方差公式计算：

（1）（x＋3）（x－3）（x2＋9）　　

（2）（2a＋5b）（2a－5b）

（3）（y－2x）（－2x－y）　　　　（4）（xy＋1）（xy－1）

［课后提高］

1、计算：

（1）（2x＋3y＋1）（2x＋3y－1）,

（2）（x＋y）2（x－y）2（x2＋y2）2

（3）（a＋b＋c）（a－b－c）,（4）99

×

2、已知：

（m＋n）2＝81，（m－n）2＝25，求m2＋n2及mn的值。

3、计算：

（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）

4、计算：

19982－1997×1999

5、先化简，再求值：

（2ab－1）（－2ab－1）＋（3ab－2）（3ab＋2），其中a＝－3，b＝2

6、解方程：

（x－1）（x－2）＋（x－2）（x＋2）＝2（x－1）2－1

8.3完全平方公式与平方差公式（三）

［复习回顾］

1、完全平方公式：

语言叙述：

2、平方差公式：

语言叙述：

3、公式中字母a、b的广泛含义是什么？

4、利用乘法公式计算。

（1）（－3x＋1）2　　　

（2）（3x＋1）2－（3x－1）2

（3）（－2x2＋

）（－2x2－

）　　

（4）（－2x＋5）（－2x－5）－（4＋3x）（3x－4）

［范例典睛］

例1，计算：

（1）（a＋b－1）（a－b－1）　　　

（2）（x＋y－2）2

点拔：

（1）题可以把a-1看作一个整体，把（a＋b－1）（a－b－1）转化为［（a－1）＋b］［（a－1）－b］，就可利用平方差公式计算；

（2）题可以把这个多项式中的两项看作一个整体，原式变形［（x＋y）－2］2，就可利用完全平方公式计算.

解：

（1）（a＋b－1）（a－b－1）＝［（a－1）＋b］［（a－1）－b］

　　　　　　　　　　　　　　＝（a－1）2－b2　（平方差公式）

　　　　　　　　　　　　　　＝a2－2a＋1－b2　（完全平方公式）

（2）（x＋y－2）2＝［（x＋y）－2］2

　　　　　　　＝（x＋y）2－2（x＋y）·2＋22

　　　　　　　＝x2＋2xy＋y2－4x－4y＋4

［变式练习］

计算：

（1）（a－b－2c）（a＋b＋2c）　　　

（2）（2x－y＋

）2

例2，计算：

（1）（x＋2y）（x－2y）（x2＋4y2）　　

（2）（2m－3n）2（2m＋3n）2

分析：

（1）题中（x＋2y）（x－2y）可先利用平方差公式得x2－4y2与x2+4y2可再次利用平方差公式；

（2）题是两个完全平方的积，可先根据积的乘方的性质，转化为［（2m－3n）（2m＋3n）］2，这样可先利用平方差公式后再利用完全平方公式.

［变式练习］

计算：

（1）（2x－

y）（2x＋

y）（4x2－

y2）

（2）（3a＋1）2（3a－1）2

［课后提高］

1、计算：

（1）（x＋

）（x－

）（x2＋

）

（2）（3x＋y－2）（3x＋y＋2）

（3）（a－3b＋c）2（4）（2a－b＋1）（2a＋b－1）

2、已知x－2y＝9，xy＝18，求（x＋2y）2的值。

3、已知x2＋xy＝6，y2＋xy＝10，求：

（1）（x＋y）2的值；

（2）x2－y2的值。

4、已知a＋

＝5，求：

（1）a2＋

；

（2）（a－

）2的值。

5、两个正方形的周长之和为36cm，面积之差为72cm2，求这两个正方形的边长。