第五章相交线与平行线123小节Word文档下载推荐.docx
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在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。
如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。
图1
图2
图3
2.对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
注意：
两个角互为对顶角的特征是：
（1）角的顶点公共；
（2）角的两边互为反向延长线；
（3）两条相交线形成2对对顶角。
3.对顶角的性质
对顶角相等。
4.邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。
如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°
。
（二）垂线
1.垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
图4
如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点O，则记作AB⊥CD于点O。
其中“⊥”是“垂直”的记号；
是图形中“垂直”（直角）的标记。
垂线的定义有以下两层含义：
（1）∵AB⊥CD（已知）
（2）∵∠1＝90°
（已知）
∴∠1＝90°
（垂线的定义）
∴AB⊥CD（垂线的定义）
2.垂线的性质
（1）性质1：
在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）性质2：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
即垂线段最短。
3.点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
图5
图6
如图5所示，m的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离。
4.垂线的画法（工具：
三角板或量角器）
5.画已知线段或射线的垂线
（1）垂足在线段或射线上
（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上
（三）“三线八角”
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：
可以发现∠1与∠5都处于直线
的同一侧，直线
、
的同一方，这样位置的一对角就是同位角。
图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：
可以发现∠3与∠5都处于直线
的两旁，直线
的两方，这样位置的一对角就是内错角。
图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：
可以发现∠4与∠5都处于直线
的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。
图中的同旁内角还有∠3与∠6。
（四）平行线
1.平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
（1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；
（2）必须是两条直线；
（3）同一平面内两条直线的位置关系是：
相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。
两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数
进行分类的。
名称
公共点个数
在同一个平面内
重合直线
相交直线
平行直线
不在同一个平面内
异面直线
2.平行线的表示方法
平行用“∥”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD。
3.平行线的画法
4.平行线的基本性质
（1）平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
5.平行线的判定方法：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
6.平行线的性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简记：
两直线平行，同位角相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两直线平行，内错角相等。
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
两直线平行，同旁内角互补。
【典型例题】
例1.判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；
（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。
分析：
本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。
（1）、
（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断
（1）、
（2）都是错的；
由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°
，故（3）正确；
同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。
解答：
（1）这种说法是错误的。
因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。
（2）这种说法是错误的。
因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。
（3）这种说法是正确的。
（4）这种说法是错误的。
因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。
如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。
说明：
此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。
例2.如图8所示，指出图中的同位角、内错角和同旁内角。
观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分AD、BC被EB所截，AC、BC被EB所截，AD、BC被AC所截，EB、BC被AC所截，EB、AC被BC所截来讨论。
（1）AD、BC被EB所截，同位角有：
∠B和∠EAD，同旁内角有：
∠B和∠BAD；
（2）AC、BC被EB所截，同位角有：
∠EAC和∠B，同旁内角有：
∠B和∠BAC；
（3）AD、BC被AC所截，内错角有：
∠C和∠DAC；
（4）EB、BC被AC所截，内错角有：
∠C和∠EAC，同旁内角有：
∠C和∠BAC；
（5）EB、AC被BC所截，同旁内角有：
∠B和∠C。
在复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重也不遗漏。
例3.如图9所示，看图填空。
（1）∵∠A＝∠3，∴
∥
，根据是
；
（2）∵∠2＝∠4，∴
；
（3）∵∠5＝
，∴EF∥
（4）∵∠5＝
，∴BC∥
（5）∵∠6＋∠C＝180°
，∴
。
对于第
（1）、
（2）、（5）题，首先判断已知的两角是同位角、内错角，还是同旁内角，然后根据平行线的判定方法判定被截的两直线平行；
对于第（3）、（4）两题，因为条件、结论都不完整，故需要综合考虑。
（1）EF∥AC，同位角相等，两直线平行；
（2）EF∥AC，内错角相等，两直线平行；
（3）∠C，AC，同位角相等，两直线平行；
（4）∠4，ED，内错角相等，两直线平行；
（5）EF∥AC，同旁内角互补，两直线平行；
本例主要考查的是平行线的判定方法，所以要对平行线的几种判定方法理解透彻，要判定哪两条直线平行，一定要辨明是哪两条直线被第三条直线所截。
例4.
（1）如图
，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明为什么吗？
（2）反之，若∠B＋∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？
请证明。
（3）若将点E移至图
所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？
（4）若将点E移至图
所示位置，情况又如何？
（5）在图
中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D又有何关系？
（6）在图
中，若AB∥CD，又得到什么结论？
图
图
解题关键是过E点作AB（或CD）的平行线，利用平行线的判定和性质解决问题，后面地推广主要是学会把复杂的图形化归为基本图形。
（1）过E点作EF∥AB
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF
∵AB∥CD，∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∵∠BED＝∠BEF＋∠FED
∴∠BED＝∠B＋∠D
（2）AB∥CD，证明略，辅助线添法同
（1）；
（3）∠B＋∠D＋∠E＝360°
（4）∠E＝∠B－∠D；
（5）过F作AB的平行线，把图
分成两个基本图形图
，可用
（1）中的结论证明得出∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D；
（6）由图
中基本图形推广可证出
已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置，或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给学生创造性的思考留下了极大的空间。
本题训练学生综合应用平行线的判定和性质。
（五）小结
1.理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；
4.掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质；
5.能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。
【模拟试题】
（答题时间：
30分钟）
一.选择题
1.如图1，直线a、b相交，∠1＝120°
，则∠2＋∠3＝（ ）
A.60°
B.90°
C.120°
D.180°
2.如图2，要得到a∥b，则需要条件（ ）
A.∠2＝∠4
B.∠1＋∠3＝180°
C.∠1＋∠2＝180
D.∠2＝∠3
3.如图3，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.两直线平行，同位角相等
4.如图4，AB∥ED，则∠A＋∠C＋∠D＝（ ）
A.180°
B.270°
C.360°
D.540°
图4
图5
5.如图5所示，
∥
，∠1＝120°
，∠2＝100°
，则∠3＝（
）
A.20°
B.40°
C.50°
D.60°
6.已知：
如图6，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°
，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（
B.80°
C.100°
D.120°
图7
图8
二.填空题
7.如图7，CB⊥AB，∠DBA与∠CBD的度数比是5:
1，则∠DBA＝________度，∠CBD的补角是_________度。
8.如图8，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段_____的长，点B到CD边的距离是线段_____的长，图中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________。
9.如图9，当∠1＝∠_____时，AB∥CD；
当∠D＋∠_____＝180°
时，AB∥CD；
当∠B＝∠_____时，AB∥CD。
图9
图10
10.如图10，AB∥CD，直线l平分∠AOE，∠1＝40°
，则∠2＝___________．
11.若两个角的两边分别平行，而一个角比另一个角的3倍少30°
，则两个角的度数分别是____________________。
三.证明题
12.已知：
如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证∠P＝
．
13.如图，已知∠ADE＝∠B，FG⊥AB，∠EDC＝∠GFB，问：
CD与AB是否垂直？
若垂直，请说明理由。
【试题答案】
1.C
2.C
3.A
4.C
5.B
6.B
7.75°
165°
8.
9.
10.
11.
或
12.略
13.略
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