初中数学竞赛实数的认识.docx
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初一数学联赛班
7
年级
第6讲实数的认识
知识总结归纳
一.算术平方根：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.特别的，的算术平方根是.
二.平方根：
一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或者二次方根.
三.平方根的性质特点：
（1）正数有两个平方根，和，它们互为相反数；
（2）0的平方根为0；
（3）负数没有平方根；
（4）求一个数的平方根的运算，叫做开平方；平方与开平方互为逆运算.
四.二次根式的性质和计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
五.立方根：
（1）立方根的定义和平方根的定义类似，正如开平方和平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算；
（2）负数没有平方根，但是负数有立方根；
典型例题
一.平方根
例题1求下列各数的算术平方根.
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
例题2求下列各数的平方根.
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
例题3求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
例题4计算下列各式的值
（1）
（2）
（3）
例题5求下列各式中的未知数的值.
（1）
（2）
（3）
例题6
（1）一个正数的平方根为和，求这个正数；
（2）已知和是的平方根，求的值.
例题7比较下列各数的大小
（1）与
（2）与
（3）与
例题8为何值时，下列各式有意义？
（1）
（2）
（3）与
（4）
例题9
（1）已知，为两个连续整数，且，则是多少？
（2）已知为整数，且满足，求的值.
例题10
（1）求的整数部分.
（2）求的小数部分.
例题11
（1）的整数部分是多少？
（2）已知和的小数部分分别是，，求的值.
例题12当时，求的值.
例题13当时，化简
例题14求下列各等式中的，的值.
（1）；
（2）.
二.立方根
例题15下列说法正确的有
（1）的立方根是
（2）是的立方根
（3）的立方根是
（4）的立方根是
例题16求下列各数的立方根.
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）.
例题17求下列各式的值.
（1）；
（2）；（3）；（4）.
例题18下列说法正确的有
（1）立方根等于它本身的数有3个：
，，
（2）负数没有立方根
（3）
（4）任何正数都有两个立方根，它们互为相反数
（5）平方根等于它本身的数有，
例题19比较下列数的大小
（1）与
（2）与
例题20已知的整数部分为，小数部分为，求代数式的值.
例题21求下列各式中的未知数的值.
（1）
（2）
三.实数
例题22下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数.
，，，，，，，，（两个之间依次多一个）
例题23下列命题中正确的有（）
A.实数不是有理数就是无理数；
B.无理数都是无限小数；
C.有理数都是有限小数；
D.不带根号的数都是有理数；
E.带根号的数都是无理数.
例题24
（1）的相反数是多少？
（2）的相反数是多少？
例题25求下列各数的绝对值、倒数.
（1）；
（2）；（3）；（4）.
例题26比较下列各数的大小.
（1）和；
（2）与.
例题27计算：
（1）；
（2）.
例题28如图，点、、是数轴上三个点，、表示的数分别是、，且，则点表示的数是（）
A.B.C.D..
0
1
O
B
C
A
例题29设、互为相反数，和互为倒数，的倒数等于它本身，化简：
.
例题30已知、、为有理数，且，若以、、为三角形的边长，问能构成三角形吗？
四.综合提高
例题31比较下列各组数的大小.
（1）与；
（2）与；（3）；（4）与；
（5）与；（6）与.
例题32求下列式子有意义的的取值范围：
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
例题33
（1）若，求的值.
（2）若与互为相反数，求的值.
（3）已知，求的值.
例题34解方程：
（1）；
（2）；（3）；（4）.
例题35若与互为相反数，求的值.
例题36已知，求的值.
例题37已知实数，，，满足，，求的值.
例题38已知有理数，，且，求、的值.
例题39已知有理数，，且，求的值.
例题40若适合关系式，求的值.
思维飞跃
例题41若，满足，，求的取值范围.
例题42设，为有理数，，，求，间的关系.
作业
1.求下列各数的平方根
（1）
（2）
（3）
2.下列各式无意义的是
A.
B.
C.
D.
3.如果是一个数的算术平方根，那么应该有
A.
B.
C.
D.
4.绝对值小于的个数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.求下列各式中的未知数的值.
（1）
（2）
（3）
6.下列各数，哪些是有理数？
哪些是无理数？
，，，，，，，
7.和数轴上的点一一对应的数是（）
A.整数；B.有理数；C.无理数；D.整数.
8.设为的小数部分，为的小数部分，求的值.
9.已知的小数部分为，的小数部分为，求的值.
10.已知，求的值.
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思维的发掘能力的飞跃
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