高考数学函数专题习题及详细答案.doc
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函数专题练习
1.函数的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知是上的减函数，那么的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
3.在下列四个函数中，满足性质：
“对于区间上的任意，恒成立”的只有
（A） （B）（C） （D）
4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则
（A） （B） （C） （D）
5.函数的定义域是
A.B.C.D.
6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.B.C.D.
7、函数的反函数的图像与轴交于点
（如右图所示），则方程在上的根是
A.4B.3C.2D.1
8、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是
（A）是奇函数（B）是奇函数
（C）是偶函数（D）是偶函数
9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A．B．
C．D．
10、设
（A）0 （B）1（C）2（D）3
11、对a，bR，记max{a，b}＝，函数f（x）＝max{|x＋1|，|x－2|}（xR）的最小值是
（A）0（B）（C）（D）3
12、关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
（一）填空题（4个）
1.函数对于任意实数满足条件，若则_______________。
2设则__________
3.已知函数，若为奇函数，则________。
4.设，函数有最小值，则不等式的解集为。
（二）解答题（6个）
1.设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合.试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：
在区间上，的图像位于函数图像的上方.
2、设f（x）＝3ax，f（0）＞0，f
（1）＞0，求证：
（Ⅰ）a＞0且－2＜＜－1；
（Ⅱ）方程f（x）＝0在（0，1）内有两个实根.
3.已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
4.设函数f（x）＝其中a为实数.
（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围;
（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单减区间.
5.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：
（）．
6.已知函数，是方程f（x）＝0的两个根，是f（x）的导数；设，（n＝1，2，……）
（1）求的值；
（2）证明：
对任意的正整数n，都有＞a；
（3）记（n＝1，2，……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解答：
一、选择题
1解：
由得：
，所以为所求，故选D。
２解：
依题意，有07a－1，当x>1时，logax<0，所以7a－1³0解得x³故选C
３解：
|>1<1\|<|x1－x2|故选A
４解：
已知是周期为2的奇函数，当时，设，，＜0，∴，选D.
５解：
由，故选B.
６解：
B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A.
７解：
的根是2，故选C
８解：
A中则，
即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，
C中，，即函数为奇函数，D中，，即函数为偶函数，故选择答案D。
９解：
函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即＝，∴，选D.
１０解：
f（f
（2））＝f
（1）＝2，选C
１１解：
当x<－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－3<0，所以2－x>－x－1；当－1£x<时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－1<0，x＋1<2－x；当£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1>x－2；
故据此求得最小值为。
选C
１２解：
关于x的方程可化为…
（1）
或（－1（2）
①当k＝－2时，方程
（1）的解为±，方程
（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
②当k＝时，方程
（1）有两个不同的实根±，方程
（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根
③当k＝0时，方程
（1）的解为－1，＋1，±，方程
（2）的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根
④当k＝时，方程
（1）的解为±，±，方程
（2）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根
选A
二、填空题。
１解：
由得，所以，则。
２解：
.
３解：
函数若为奇函数，则，即，a＝.
４解：
由，函数有最小值可知a>1，所以不等式可化为x－1>1，即x>2.
三、解答题
１解：
（1）
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
.
由于.
（3）[解法一]当时，.
，
.又，
①当，即时，取，
.
，
则.
②当，即时，取，＝.
由①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二]当时，.
由得，
令，解得或，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；当时，的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
2（I）证明：
因为，所以.
由条件，消去，得；
由条件，消去，得，.
故.
（II）抛物线的顶点坐标为，
在的两边乘以，得.
又因为而
所以方程在区间与内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.
3解：
（Ⅰ）因为是奇函数，所以＝0，即
又由f
（1）＝－f（－1）知
（Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。
又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：
，
从而判别式
解法二：
由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即 ：
，
整理得
上式对一切均成立，从而判别式
4解：
（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
（Ⅱ），令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
5解：
（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：
，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
6解析：
（1）∵，是方程f（x）＝0的两个根，
∴；
（2），
＝，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n＝1，2，……），
（3），而，即，
，同理，，又
四、创新试题
１解：
依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，\x12解：
令c＝π，则对任意的x∈R，都有f（x）＋f（x−c）＝2，于是取，c＝π，则对任意的x∈R，af（x）＋bf（x−c）＝1，由此得。
选Ｃ。
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